Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Asymptote“

Hier geht's zum Video „Ganzrationale Funktionen“

Hier geht's zum Video „Gebrochen rationale Funktionen“

Hier geht's zum Video „Wurzelfunktion“

Hier geht's zum Video „Ungleichungen lösen“

Hier geht's zum Video „ln Funktion“

Hier geht's zum Video „Wertebereich“

Definitionsmenge bestimmen

Du musst eine Definitionsmenge bestimmen? Hier erfährst du, welche Regeln es dafür gibt und wie du sie auf verschiedene Funktionstypen anwendest.

Inhaltsübersicht

Was ist die Definitionsmenge?

Die Definitionsmenge beschreibt alle Werte, die du für x in eine Funktion einsetzen darfst.

➡️ Beispiel

– In die Funktion $f(x) = {x^2}$ darfst du jedes beliebige x einsetzen. Denn egal welche Zahl du einsetzt, du bekommst immer ein Ergebnis. Die Definitionsmenge umfasst daher alle reellen Zahlen.

Es gibt aber auch Funktionen, bei denen du nicht alle Zahlen für x einsetzen darfst.

➡️ Beispiel

– Bei Brüchen gilt die Regel, dass der Nenner des Bruchs niemals Null sein darf. Bei der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ darfst du für x also nicht 0 einsetzen. Deshalb besteht die Definitionsmenge hier aus allen Zahlen außer 0.

Wenn es um die Definitionsmenge geht, überlegst du dir also immer: Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?

Unterschied: Definitionsbereich und Wertebereich

Der Definitionsbereich beschreibt alle Zahlen, die du für x in eine Funktion einsetzen darfst. Wenn du alle erlaubten $x$ -Werte in die Funktion einsetzt, bekommst du die entsprechenden $y$ -Werte heraus. Alle diese y-Werte zusammen bilden den Wertebereich, also die Zahlen, die die Funktion annehmen kann.

So schreibst du eine Definitionsmenge auf

Die Definitionsmenge gibst du immer mit dem Zeichen $\mathbb{D}$ an. Dahinter beschreibst du genau, welche Zahlen erlaubt sind und welche ausgeschlossen werden müssen.

➡️ Beispiel: Bei der Funktion $f(x) = \frac{2}{x-1}$ darfst du kein x=1 einsetzen, weil der Nenner sonst null wird. In Kurzschreibweise notierst du das so:

$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

So liest du die einzelnen Zeichen:

$\mathbb{R}$ steht für die Menge der reellen Zahlen — also alle Zahlen, die du dir auf einer Zahlengeraden vorstellen kannst (ganze Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen usw.).
Der Querstrich „∖“ bedeutet „außer“.
Die geschweiften Klammern {} zeigen die Werte, die nicht erlaubt sind. In diesem Beispiel heißt das also, dass alle reellen Zahlen Teil der Definitionsmenge sind, außer der Wert 1.

Alternative Schreibweise

Es gibt auch eine zweite Möglichkeit, dieselbe Definitionsmenge aufzuschreiben:

$\mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1 \}$

Das liest du so: „x gehört zu den reellen Zahlen und ist ungleich 1.“

Wie bestimmst du die Definitionsmenge für verschiedene Funktionstypen?

Es gibt für jeden Funktionstypen klare Regeln, die du dir für die Definitionsmenge merken kannst. In den nächsten Abschnitten siehst du, wie du sie für die wichtigsten Arten von Funktionen bestimmst.

So bestimmst du die Definitionsmenge für ganzrationale Funktionen

Zu den ganzrationalen Funktionen gehören lineare, quadratische und Funktionen höheren Grades. Sie sind immer gleich aufgebaut und bestehen nur aus Termen mit x, die addiert oder multipliziert werden. Beispiele sind

lineare Funktionen:
Funktionen höheren Grades:

Für ganzrationale Funktionen ist die Definitionsmenge ganz einfach zu bestimmen. Denn du darfst jede Zahl für x einsetzen. Die Definitionsmenge ist deshalb immer

$\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Das bedeutet, dass alle reellen Zahlen erlaubt sind — egal ob positiv, negativ, Bruch oder Kommazahl.

So bestimmst du die Definitionsmenge für gebrochenrationale Funktionen

Bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es einen wichtigen Unterschied zu ganzrationalen: Sie bestehen immer aus einem Bruch. Grundsätzlich darfst du hier auch alle reellen Zahlen für x einsetzen, es gibt nur eine wichtige Regel: Der Nenner eines Bruchs darf niemals Null sein, denn man darf nicht durch 0 teilen. Du überlegst dir also, bei welchen Zahlen der Nenner der Funktion Null wird. Diese Zahlen gehören nicht zur Definitionsmenge.

Um die Zahlen herauszufinden, bei denen der Nenner gleich Null wird, setzt du den Nenner des Bruchs einfach gleich 0.

➡️ Beispiel:

$f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 4}$

Der Nenner lautet f(x) = x^2 - 4 . Wenn wir ihn gleich null setzen, ergibt sich:

$x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{oder} \quad x = -2$

Damit sind die Werte x=2 und x=-2 nicht Teil der Definitionsmenge. Denn wenn du sie in die Funktion einsetzen würdest, würde im Nenner null stehen — das ist nicht erlaubt. Die Definitionsmenge lautet also

$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

Graph, Funktion 1 durch x, gebrochenrationale Funktion, Definitionslücke, Definitionslücke bei x =0, x=0, Asymptote, Mathe, Mathematik, Kurve, Achsen, Definitionsmenge, Definitionsmenge bestimmen, Definitionsbereich positiv, Definitionsbereich negativ — Definitionslücken gebrochenrationale Funktion

Auch im Graphen kannst du die Definitionslücken erkennen.

So bestimmst du die Definitionsmenge für Wurzelfunktionen

Bei Wurzelfunktionen gibt es eine klare Regel. Der Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Aus negativen Zahlen kannst du nämlich keine reelle Wurzel ziehen.

Um die Definitionsmenge zu finden, gehst du Schritt für Schritt vor. Zuerst schaust du dir den Term an, der unter der Wurzel steht. Diesen Teil setzt du in eine Ungleichung und schreibst, dass er größer oder gleich null ist. Danach löst du die Ungleichung. Das Ergebnis zeigt dir genau, welche Werte für x erlaubt sind.

Tipp: Wie du Ungleichungen richtig löst, erklären wir dir hier Schritt für Schritt!

➡️ Beispiel 1:

$f(x) = \sqrt{x-2}$

Unter der Wurzel steht x – 2. Diesen Ausdruck setzt du in die Ungleichung. Das heißt, du setzt den Ausdruck größer oder gleich 0:

$x - 2 \geq 0$

Um die Ungleichung zu lösen, rechnest du auf beiden Seiten +2.

$x - 2 +2 \geq 0 +2 \Rightarrow x \geq 2$

Damit lautet die Definitionsmenge:

$\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}$

Das bedeutet, dass du alle Zahlen ab 2 einsetzen darfst. Das kannst du hier im Graphen auch nochmal gut sehen.

Graph, f(x)=√x, f(x)=√(x-2), Wurzelfunktion, Definitionslücke, Definitionslücke bei x ≥ 2, x ≥ 2, Nullstelle, Mathe, Mathematik, Achsen, Definitionsmenge, Definitionsmenge bestimmen, Definitionsbereich positiv — Definitionsmenge einer Wurzelfunktion

➡️ Beispiel 2:

$f(x) = \sqrt{5-x}$

Hier steht 5 – x unter der Wurzel. Also stellst du die Ungleichung auf. Du setzt also den Ausdruck wieder größer oder gleich null:

$5 - x \geq 0$

Dann rechnest du +x auf beiden Seiten, um die Gleichung zu lösen.

$5 - x + x \geq 0 +x \Rightarrow 5 \geq x$

Wenn du das x links stehen haben möchtest, drehst du das größer oder gleich null Zeichen um.

$x \leq 5$ .

Die Definitionsmenge lautet also:

$\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 5\}$

In diesem Fall sind alle Zahlen bis 5 erlaubt.

So bestimmst du die Definitionsmenge für Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen sind unkompliziert. Egal, welche Zahl du für x einsetzt — der Ausdruck im Exponenten ist immer erlaubt. Deshalb gilt für eine Funktion wie f(x) = e^x immer die Definitionsmenge

$\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Das bedeutet: x kann jede reelle Zahl annehmen.

Logarithmusfunktionen
Anders sieht es bei Logarithmusfunktionen aus. Hier gibt es eine wichtige Einschränkung: Der Ausdruck in der Klammer des Logarithmus muss größer als null sein. Null oder negative Zahlen sind nicht erlaubt.

➡️ Beispiel:

$f(x) = \ln(x-1)$

Hier darf der Ausdruck x – 1 nicht kleiner oder gleich null sein. Du stellst also die Ungleichung auf:

x - 1 > 0

Daraus folgt x > 1. Damit lautet die Definitionsmenge:

$\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}$

Das heißt: x darf jede reelle Zahl sein, solange sie größer als 1 ist. Das kannst du auch am Graphen erkennen.

Graph, ln-Funktion, natürlicher Logarithmus, f(x)=ln(x-1), Definitionslücke bei x > 1, x > 1, Definitionsmenge, Definitionsmenge bestimmen, Mathematik, Mathe, Definitionsbereich positiv — Definitionsmenge der ln-Funktion

Gut zu wissen: Die $e$ -Funktion ist die Umkehrfunktion der $ln$ -Funktion. Das bedeutet, dass die Definitionsmenge der $e$ -Funktion der Wertebereich der ln-Funktion ist – und umgekehrt.

So bestimmst du die Definitionsmenge für trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus
Bei Sinus und Kosinus musst du keine Einschränkungen beachten. Egal, welchen Wert du für x einsetzt — es gibt immer ein Ergebnis. Deshalb gilt:

$\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Definitionsmenge Sinus, Definitionsmenge Kosinus, Definitionsmenge sin, Definitionsmenge cos — Sinus und Kosinus

Tangens
Beim Tangens sieht es anders aus. Er ist als $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ definiert. Da der Nenner niemals null werden darf, musst du alle Werte ausschließen, bei denen cos(x)=0 ist. Das ist bei

$x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{mit} \quad k \in \mathbb{Z}$

der Fall.

Die Definitionsmenge des Tangens lautet also:

$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \tfrac{\pi}{2} + k\pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z} \right\}$

Die Definitionslücken siehst du auch nochmal am Graphen.

Graph, Tangensfunktion, tan(x), Definitionslücken, senkrechte Asymptoten, Periode, Definitionslücke, Definitionsmenge, Definitionsmenge bestimmen, Mathematik, Mathe, Definitionsmenge: reelle Zahlen ohne π/2 + kπ — Definitionsmenge der Tangensfunktion

Das Wichtigste auf einen Blick

Hier findest du eine Übersicht über die Definitionsmengen der wichtigsten Funktionstypen. So kannst du schnell nachschauen, welche Regeln gelten:

Funktionstyp	Definitionsmenge
Ganzrationale Funktionen	$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Gebrochenrationale Funktionen $f(x) = \tfrac{1}{x-2}$	$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{x \mid \text{Nenner } = 0\}$
Wurzelfunktionen $f(x) = \sqrt{x+3}$	$\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x+3 \geq 0\} = [-3,\infty)$
Exponentialfunktionen	$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Logarithmusfunktionen $f(x) = \ln(x-1)$	\ $\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x-1 > 0\} = (1,\infty)$
Sinus- und Kosinusfunktionen $f(x) = \sin(x)$ $f(x) = \cos(x)$	$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Tangensfunktion $f(x) = \tan(x)$	$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \tfrac{\pi}{2} + k\pi \,\middle\|\, k \in \mathbb{Z} \right\}$

Wertebereich

Neben der Definitionsmenge spielt auch der Wertebereich einer Funktion eine wichtige Rolle. Wie du ihn bestimmst und was es dabei zu beachten gibt, erfährst du in unserem Video dazu.

Zum Video: Wertebereich

zur Videoseite: Definitionsmenge bestimmen

Beliebte Inhalte aus dem Bereich Mathe Grundlagen

Was ist eine Funktion?

Definitionsbereich

Definitionsmenge bestimmen

Koordinatensystem

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Bitte .