Du kommst mit dem Informatik-Teil deines Studiums ganz gut klar, hast aber immer noch Probleme mit der b-adischen Darstellung von Zahlen? Im Folgenden zeigen wir dir genauer, was es mit den Stellenwertsysteme auf sich hat.
Inhaltsübersicht
Stellenwertsysteme umrechnen: B-adische Darstellung von Zahlen
Stellenwertsystme werden auch als Positionssysteme oder polyadische Systeme bezeichnet. Die b-adische Darstellung von Zahlen wird allgemein definiert mit: Für alle 
Element N-Null und alle 
Element N-Null mit b größer 1 gibt es eindeutige, ganze Zahlen 
, …., 
mit gleich die Summe von null bis k, 
ist definiert als bis zur Basis B.
Doch was ist eine Basis überhaupt? Wenn wir eine Potenz vorliegen haben, hat diese immer eine Basis und einen Exponenten. Die Basis einer B-adischen Darstellung ist nichts anderes als diese Basis, mit dem entsprechenden Exponenten angewendet auf die einzelnen Ziffern einer Zahl. Das heißt: B ist die Basis der Darstellung. Um das noch deutlicher zu machen: Alle Zahlen, die du im täglichen Leben gebrauchst, sind 10-adische Zahlen oder auch dekadische Zahlen, denn sie verwenden als Basis die Zehn.
Stellenwertsystem Dezimalzahlen
Das lässt sich ganz leicht an einem Beispiel zeigen: Nehmen wir einmal die Zahl 63. Wenn wir sie, ähnlich der Primfaktorenzerlegung in Zehnerpotenzen zerlegen, erhalten wir:
Dreiundsechzig gleich sechs mal zehn hoch eins plus drei mal zehn hoch null ist gleich dreiundsechzig zur Basis zehn oder dreiundsechzig dekadisch.
Die Klammern und die Angabe der Basis fällt im Alltag weg, da die meisten Menschen ihr Leben lang nur dekadische Zahlen benötigen und diese damit zum Standard geworden sind.
Wollen wir jetzt von einer dekadischen Basis in eine andere umrechnen, geht das ganz einfach: Wir nehmen unsere Zahl –die 63 – und teilen sie wieder auf. Diesmal nehmen wir beim Aufteilen aber die gewünschte B-adische Basis als Potenz-Basis. Das ist in unserem Fall die drei. Wenn du dir bei dieser Rechnung noch unsicher bist, dann schau dir doch unser Video zu Zahlensystemen an.
Schneller geht das Umrechnen allerdings, wenn wir einfach so vorgehen: Wir teilen 63 durch unsere gewünschte Basis 3 und erhalten als Ergebnis 21 Rest 0. Nun nehmen wir die 21 und teilen diese wiederum durch 3. Wir erhalten 7 Rest 0. Teilen wir die 7 erneut durch 3, so bekommen wir 2 Rest 1. Teilen wir diese 2 ein letztes Mal durch 3, so erhalten wir 0 Rest 2.
Zuletzt müssen wir nur noch die Restbeträge von unten nach oben anordnen und wir bekommen unsere Ternär-Zahl oder auch 3-adische Zahl.
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Anwendung der 3-adischen Zahl
Jetzt haben wir also eine 3-adische Zahl. Das tolle an der b-adischen Darstellung ist, dass sie nichts an den Eigenschaften unserer Zahl ändert. Damit können wir mit ihr genauso rechnen, wie mit dekadischen Zahlen. Es gelten genau dieselben Regeln und Gesetze. Das Einzige, was vielen am Anfang Schwierigkeiten macht, ist das schriftliche Rechnen.
Addieren wir zwei 3-adische Zahlen 2100 und 221, so erhalten wir – wenn wir das Ergebnis wieder in Dezimalzahlenschreibweise übersetzen – ein falsches Ergebnis. Das liegt daran, dass sich mit der Änderung der Basis auch der Punkt ändert, an dem wir einen Übertrag setzen müssen. Wir müssen also nicht länger eine Stelle übertragen, wenn zwei Ziffern 10 oder mehr ergeben, sondern, wenn unsere Ziffern 3 oder mehr ergeben. So gesehen setzen wir einen Übertrag bei Ergebnissen größer gleich b. Genauso ist es auch bei anderen Rechenarten, also pass gut auf, wenn du mit Zahlen anderer Basis rechnest. Für Informatiker sind davon vor allem die Binär-, Oktal- und Hexadezimalzahlen wichtig.
So, da du nun weißt, wie das mit den Basen funktioniert, hast du den ersten Schritt getan, um dein mathematisches Verständnis aufzupolieren.
B-adische Darstellung ganzer Zahlen — häufigste Fragen
(ausklappen)
B-adische Darstellung ganzer Zahlen — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Welche Ziffern darf man in einer b-adischen Zahl verwenden?In einer b-adischen Zahl darf man genau die Ziffern 0 bis
verwenden. Größere Ziffern würden nicht als einzelne Stelle passen, weil eine Stelle sonst mehr „wert“ wäre als in dieser Basis vorgesehen und man sie als mehrere Stellen mit Übertrag schreiben müsste.
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Wie rechnet man eine Zahl zur Basis b ins Dezimalsystem um?Eine Zahl zur Basis
rechnet man ins Dezimalsystem um, indem man jede Ziffer mit der passenden Potenz 
ihrer Stelle multipliziert und alles addiert. Zum Beispiel: 2100 zur Basis 3 ist 
.
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Wann verwendet man das Teilen-mit-Rest-Verfahren statt des Zerlegens in Potenzen?Das Teilen-mit-Rest-Verfahren verwendet man vor allem, wenn man eine Dezimalzahl systematisch in eine andere Basis umrechnen will, ohne passende Potenzen „erraten“ zu müssen. Das Zerlegen in Potenzen eignet sich eher, wenn die benötigten Potenzen schnell klar sind und man die Darstellung direkt aufbauen kann.
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Warum liest man beim Umrechnen durch wiederholtes Teilen die Reste von unten nach oben?Beim Umrechnen durch wiederholtes Teilen ist der erste Rest die niedrigste Stelle (die Einerstelle) in der neuen Basis, weil die Division genau diese Stelle „abtrennt“. Die späteren Reste gehören zu höheren Stellen, deshalb ergibt die richtige Ziffernfolge erst die Reihenfolge von unten nach oben, z.B. Reste
zur Basis 3.
Zahlensysteme verstehen
Die b-adische Darstellung ganzer Zahlen gehört zu den Zahlensystemen und ist ein Grundthema der Informatik. Wer sich mit Zahlensystemen beschäftigt, vergleicht Basen, Ziffern und Stellenwerte in verschiedenen Darstellungen. Dabei wird klar, wie Zahlen je nach Basis aufgebaut sind und warum Rechenregeln wie der Übertrag immer von der Basis abhängen. Weitere Videos dazu findest du in unserem Informatikbereich.
