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Freie Konvektion / natürliche Konvektion

Die natürliche Konvektion bereitet dir nach wie vor Sorgen und du möchtest endlich wissen, wie man die freie Konvektion berechnen kann? Dann lehn dich jetzt entspannt zurück, denn hier erklären wir dir kurz und präzise, was es mit der freien Konvektion auf sich hat.

Inhaltsübersicht

Die freie Konvektion anhand eines Alltagsbeispiels anschaulich erklärt

Du fragst dich, was genau hinter der freien Konvektion steckt und wie dieser Vorgang funktioniert? Stell dir vor, du kommst an einem kalten Wintertag in dein Wohnzimmer – die Heizung läuft, aber die Luft fühlt sich noch kühl an. Nach ein paar Minuten spürst du, wie es langsam wärmer wird. Der Grund dafür ist freie Konvektion.

So funktioniert das: Direkt über dem Heizkörper wird die Luft warm. Warme Luft hat eine geringere Dichte als kalte Luft – deshalb steigt sie nach oben. Gleichzeitig sinkt die kühlere Luft vom Fenster oder von den kalten Wänden nach unten. So entsteht ein Kreislauf: warme Luft steigt auf, kühle Luft sinkt ab. Dieser Luftstrom verteilt die Wärme ganz ohne Hilfe von Ventilatoren oder Wind – das ist freie Konvektion.

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Freie Konvektion – Berechnungsarten

Wie du die freie Konvektion berechnest, schauen wir uns jetzt an. Jedoch sollten wir zuerst noch klären, zu welcher Art unsere Berechnung zählt. Die Vorgehensweisen sind nämlich für vertikale Wände und Zylinder, geneigte Platten, horizontale Platten und horizontale Zylinder unterschiedlich.

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In unserem Beispiel mit dem Heizkörper handelt es sich um eine vertikale Fläche, an der die warme Luft aufsteigt. Deshalb wendest du für die Berechnung die Formeln für vertikale Wände oder Zylinder an.

Freie Konvektion berechnen – Beispiel Vertikale Wand

Zuallererst, um die freie Konvektion zu berechnen, musst du die Nusselt-Zahl bestimmen. Mit dieser kannst du dann den Wärmeübergang berechnen. Die Formel für Nu lautet:

$Nu=\left(0,825+\frac{0,387*{Ra}^\frac{1}{6}}{\left(1+\left(\frac{0,492}{Pr}\right)^\frac{9}{16}\right)^\frac{8}{27}}\right)^2$

Wie du die Prandtl-Zahl Pr berechnest, weißt du sicher schon, nämlich mit $Pr=\ \frac{\eta\ast cp}{\lambda}$ . Stellt sich nur noch die Frage, was Ra für eine Zahl ist. Das ist die sogenannte Rayleigh-Zahl und wird berechnet mit $Ra=Gr\ast Pr$ .

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Gr ist die Grashof-Zahl und wird in diesem Fall berechnet mit:

$Gr=\frac{g*\beta*H^3*\left(T_w-T_\infty\right)}{\nu^2}$

G ist dabei der Ortsfaktor und H die Platten- beziehungsweise Zylinderhöhe. $\beta$ beschreibt den volumetrischen, thermischen Ausdehnungskoeffizienten, der mit der Formel $\beta=\frac{1}{T_{bez}}$ berechnet wird. Die Bezugstemperatur in der Berechnung der freien Konvektion ist hier $T_{bez}=\frac{T_w+T_\infty}{2}$ .

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So, jetzt kannst du alle Komponenten bestimmen und damit die Nusselt-Zahl berechnen. Wie in all den Rechnungen zuvor, gilt auch hier wieder $Nu\ =\frac{\alpha\ast H}{\lambda}$ . Nach $\alpha$ umgestellt, lautet die Formel dann $\alpha=\frac{Nu\ast\lambda}{H}$ . Mit diesen Formeln kannst du nun berechnen, wie gut die warme Oberfläche deines Heizkörpers durch freie Konvektion die Luft im Raum erwärmt.

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Freie Konvektion berechnen – Beispiel Geneigte Platte

Aber sicherlich interessieren dich auch noch die anderen Fälle der freien Konvektion. Bei der geneigten Platte musst du lediglich die Grashof-Zahl anders berechnen. Denn dabei muss noch der Winkel, um den die Platte geneigt ist, miteingebracht werden, um die freie Konvektion berechnen zu können. Die Formel lautet dann:

$Gr=\frac{g*cos\gamma*\beta*H^3*\left(T_w-T_\infty\right)}{\nu^2}$

$\gamma$ ist dabei der Neigungswinkel der Platte. Die restlichen Kennzahlen kannst du dann genauso berechnen, wie bei der natürlichen Konvektion der vertikalen Wände.

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Freie Konvektion berechnen – Beispiel Horizontale Platte

Bei den horizontalen Platten ändert sich in Bezug auf die freie Konvektion auch die Formel für die Nusselt-Zahl, da es darauf ankommt, wie die Plattenoberflächen jeweils erwärmt beziehungsweise gekühlt werden. Die Formel lautet ${Nu=x\ast Ra}^n$ , wobei x und n von der Rayleigh-Zahl abhängen. Für den Fall, dass die Plattenoberseite beheizt oder die Plattenunterseite gekühlt wird, ist x gleich 0,54 und n gleich 0,25 falls ${10}^4\le\ Ra\le{10}^7$ . x ist 0,15 und n ist 0,33, falls ${10}^7\le\ Ra\le{10}^{11}$ .

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Wenn wir den umgekehrten Fall haben, also dass die Plattenoberseite gekühlt, beziehungsweise die Plattenunterseite gewärmt wird, dann ist x gleich 0,52 und n gleich 0,20 falls ${10}^4\le\ Ra\le{10}^9$ ist. x ist 0,27 und n ist 0,25, falls ${10}^5\le\ Ra\le{10}^{10}$ . Die Rayleigh-Zahl berechnest du wieder mit $Ra=Gr\ast Pr$ . Allerdings ist bei der Grashof-Zahl dieses Mal die Bezugslänge nicht H, sondern L‘. L‘ ist das Verhältnis von wärmeabgebender Oberfläche zu äußerer Umrandung, also $L'=\frac{A}{U}$ . Somit lautet dann die Formel für die Grashof-Zahl:

$Gr=\frac{g*\beta*{L'}^3*\left(T_w-T_\infty\right)}{\nu^2}$

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Mit diesen Größen kannst du dann die Nusselt-Zahl berechnen und somit auch den Wärmeübergang mit:

$\alpha=\frac{Nu\ast\lambda}{L\prime}$

Die Berechnung des Wärmeübergangkoeffizienten für horizontale Zylinder ist der der vertikalen Berechnung in Bezug auf die freie Konvektion wieder ähnlicher. Hier ändert sich auch erneut die Grashof-Zahl hinsichtlich der Bezugslänge. Statt H ist hier der Außendurchmesser D die richtige Größe, wodurch sich die Formel verändert zu:

$Gr=\frac{g*\beta*D^3*\left(T_w-T_\infty\right)}{\nu^2}$

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Bei der Nusselt-Zahl ändern sich lediglich die Vorfaktoren, so dass sich für die Berechnung ergibt:

$Nu=\ \left(0,6+\frac{0,387*{Ra}^\frac{1}{6}}{\left(1+\left(\frac{0,559}{Pr}\right)^\frac{9}{16}\right)^\frac{8}{27}}\right)^2$

Wie du dir wahrscheinlich denken kannst, musst du auch für den Wärmeübergang wieder die passende Bezugslänge einsetzen. Dadurch kommst du dann mit $\alpha=\frac{Nu\ast\lambda}{D}$ auf deinen Wärmeübergangskoeffizienten.

Jetzt bist du umfassend über die natürliche Konvektion informiert und weißt auch, wie man die freie Konvektion berechnen kann.

Erzwungene Konvektion – längsumströmte, ebene Platte

Neben der freien Konvektion spielt auch die erzwungene Konvektion eine wichtige Rolle – besonders wenn Luft gezielt an einer Oberfläche vorbeiströmt. Wie du die Wärmeübertragung bei einer längsumströmten, ebenen Platte berechnest, erfährst du hier.

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