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Strömung mit Reibung

Stell dir vor, du baust dir eine Gartendusche mit einem Schlauch. Aber das Wasser läuft trotz der Pumpe ohne Druck heraus. Hier zeigen wir dir, wie du diesen Druckverlust bestimmen kannst.

Inhaltsübersicht

Strümung mit Reibung: Druckverlust

Als Erstes wiederholen wir, was du bereits zu den physikalischen Eigenschaften einer Flüssigkeit gelernt hast. Stell dir eine Platte vor, die auf einer Flüssigkeit liegt und an der mit einer Kraft gezogen wird. Dabei ist die Geschwindigkeit der einzelnen Fluidteilchen an der Platte maximal und am Boden gleich null. Das liegt daran, dass die Fluidteilchen am Boden durch die innere Reibung abgebremst werden. Je weiter du vom Boden wegkommst, desto geringer ist die Reibung und desto höher ist dann die Geschwindigkeit.

Vielleicht weißt du auch noch, dass auf die Fluidteilchen zwischen der Platte und dem Boden die sogenannte Schubspannung wirkt. Diese lässt sich mit der Formel $\tau = \frac{F}{A}$ berechnen. ist dabei die Kontaktfläche am Boden.

Bei Fluiden, die durch ein Rohr fließen, ist das dasselbe. Auch dort werden die Teilchen entlang des Rohres durch die Reibung abgebremst. In der Mitte dagegen fließen diese mit höchster Geschwindigkeit. Im Video siehst du das Geschwindigkeitsprofil in einer Skizze.

Du fragst dich, was die Geschwindigkeit mit dem Druckverlust zu tun hat? Das erklären wir dir gleich. Um diesen aber berechnen zu können, musst du erst einmal wissen, wie du die Geschwindigkeit des Fluides im Rohr mit Reibung bestimmen kannst. Schauen wir uns das an einer Skizze an. Die findest du im Video.

Hier siehst du ein Rohr, durch das eine Flüssigkeit fließt. Das Geschwindigkeitsprofil sowie die Wirkungsrichtung der Schubspannung $F_{\tau}$ sind ebenfalls eingezeichnet. Damit die Kräfte, die auf das Fluid wirken, vollständig erfasst sind, musst du auch den Druck einzeichnen. Dabei musst du betrachten, dass am Anfang der vollständige Druck wirkt und dass am Ende des betrachteten Abschnitts mit Länge der Druckverlust mit einbezogen werden muss.

Um die Geschwindigkeit nun berechnen zu können, musst du zuerst alle Kräfte in x‑Richtung aufsummieren. Da $p = \frac{F}{A}$ sowie $\tau = \frac{F}{A}$ gilt, erhältst du:

$\sum F_X = 0 = A_1 \cdot p - A_1 \cdot (p + dp) + A_2 \cdot \tau$

A_1 ist dabei die Fläche des Fluides, auf die der Druck wirkt, hier also die Kreisfläche:
$A_1 = \pi \cdot r^2$

A_2 dagegen ist die Kontaktfläche des Fluides mit dem Rohr und beträgt, auf die Länge bezogen:

$A_2 = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot dx$

Wenn du das nun in die Kräfteformel einsetzt und A_1 ausklammerst, erhältst du folgende Formel.

$\sum F_X = 0 = \pi \cdot r^2 \cdot (-dp) + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \tau$

Da $\tau = \eta \cdot \frac{du}{dr}$ ist, wird die Formel zu:

$\sum F_X = 0 = \pi \cdot r^2 \cdot (-dp) + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \eta \cdot \frac{du}{dr}$

Wenn du diese nun nach $\frac{dp}{dx}$ auflöst, erhältst du:

$\frac{dp}{dx} = \frac{2 \cdot r \cdot \pi}{r^2 \cdot \pi} \cdot \eta \cdot \frac{du}{dr} = \frac {2}{r} \cdot \eta \cdot \frac{du}{dr}$

Da $\frac{dp}{dx}$ die ganze Zeit über konstant ist, kannst du auch schreiben:

$\frac{dp}{dx} = \frac{p_2 - p_1}{l} = \frac{\Delta p}{l}$

Damit ist:

$\frac{\Delta p}{l} = \frac {2}{r} \cdot \eta \cdot \frac{du}{dr}$

Wenn du das nach $\frac{du}{dr}$ auflöst, erhältst du:

$\frac{du}{dr} = \frac{\Delta p}{2 \cdot \eta \cdot l} \cdot r$

Damit du nun auf die Geschwindigkeit kommst, musst du das Ganze noch integrieren. Somit erhalten wir:

$u(x) = \frac{\Delta p}{4 \cdot \eta \cdot l} \cdot r^2 } u_{max}$

Die mittlere Geschwindigkeit ist dann:

$\overline{u} = \frac{1}{2} \cdot u_{max} = \frac{\Delta p}{8 \cdot \eta \cdot l} \cdot r^2$

Da wir aber eigentlich wissen wollen, wie man den Druckverlust in einem Rohr mit Reibung berechnet, musst du diese Formeln noch nach $\Delta p$ umformen. Du erhältst also:

$\Delta p = \frac{8 \cdot l \cdot \eta}{r^2} \cdot \overline{u}$

Da Druckverluste immer dimensionslos angegeben werden sollen, das heißt, dass sie keine Einheit besitzen, müssen wir noch durch $\frac{\rho}{2} \cdot \overline{u}^2$ teilen. Wenn du das machst, erhältst du gleichzeitig die Druckverlustziffer ζ_R:

$\zeta_R = \frac{\Delta p}{\frac{\rho}{2} \cdot \overline{u}^2} = 16 \cdot \frac{\eta \cdot l}{\rho \cdot r^2 \cdot \overline{u}}$

Wenn du nun für $r = \frac{1}{2} \cdot D$ schreibst, erhältst du:

$\zeta_R = 64 \cdot \frac{\eta \cdot l}{\rho \cdot D^2 \cdot \overline{u}} = 64 \cdot \frac{\eta}{\rho \cdot D \cdot \overline{u}} \cdot \frac{l}{D}$

Der Bruch $\frac{\eta}{\rho \cdot D \cdot \overline{u}}$ drückt den Kehrwert der sogenannten Reynolds-Zahl Re aus. Diese ist oftmals schon als Zahlenwert gegeben und du musst sie nur noch einsetzen, ohne erst noch den Bruch zu berechnen.

Für die Druckverlustziffer bedeutet dies also:

$\zeta_R = \frac{64}{Re} \cdot \frac{l}{D}$

Der Bruch $\frac{64}{Re}$ wiederum ist die sogenannte Rohrwiderstandszahl λ_R und wird ebenfalls oft schon als Zahlenwert angegeben. Somit erhalten wir für

$\zeta_R = \lambda_R \cdot \frac{l}{D} = \frac{\Delta p}{\frac{\rho}{2} \cdot \overline{u}^2}$

Jetzt musst du das nur noch nach $\Delta p$ auflösen, und schon hast du die fertige Formel zur Berechnung des Druckverlustes:

$\zeta_R = \frac{\rho}{2} \cdot \overline{u}^2 \cdot \lambda_R \cdot \frac{l}{D}$

Nun weißt du also, dass der Schlauch daran schuld ist, dass deine Gartendusche nicht richtig funktioniert. Mit der gerade eben hergeleiteten Formel kannst du jetzt den Druckverlust ausrechnen und die Pumpe anschließend passend einstellen.

Strömungslehre verstehen

Strömung mit Reibung gehört zur Strömungslehre und beschreibt, wie sich Fluide in Rohren und Leitungen verhalten. Wer sich mit Strömungslehre beschäftigt, vergleicht Druck, Geschwindigkeit, Dichte und Viskosität in verschiedenen Strömungen. Dabei wird klar, wovon Größen wie Druckverlust und Reynolds-Zahl abhängen und wie du Strömungen physikalisch einordnest. Im Ingenieurwissenschaftenbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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