Gewinnfunktion und Erlösfunktion Klausuraufgabe

Gewinnfunktion und Erlösfunktion: Klausuraufgabe

In einer Klausur ist folgende Aufgabenstellung gegeben:
Die Fixkosten eines Autoreifenherstellers belaufen sich auf jährlich 50.000 € und die variablen Kosten eines einzelnen Reifens liegen bei 30 €. Verkauft wird ein Reifen zu einem Stückpreis von 80 €. Stelle anhand dieser Informationen die Kosten- und die Erlösfunktion auf. Drücke jetzt auf Pause, damit du die Aufgabe durchrechnen kannst.

Schauen wir uns das Vorgehen gemeinsam an. Deine Kostenfunktion K setzt sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten in Abhängigkeit von der Stückzahl x zusammen.

K(x) = K_f + k_v · x

Im Fall des Autoreifenproduzenten besteht die Kostenfunktion also aus dem fixen Kostenanteil von 50.000 € plus den variablen Kosten von 30 € mal der Stückzahl x.

K(x) = 50.000 + 30x

Kommen wir zur Erlösfunktion. Ganz allgemein setzt sie sich zusammen aus dem Verkaufspreis p mal der verkauften Menge an Produkten x.

E(x) = p · x

Du musst also für das Autoreifenunternehmen den Stückpreis deines Reifens p in Höhe von 80 € mit der abgesetzten Menge x multiplizieren.

E(x) = 80x

Die Aufgabe soll nun weitergeführt werden. Aus Unternehmersicht bist du natürlich daran interessiert, ab welcher Absatzmenge ein Gewinn erzielt wird. Die Stückzahl, bei der weder Gewinn noch Verlust gemacht wird, heißt Gewinnschwelle oder Break-even-Point. Die Kosten- und Erlösfunktion des Autoreifenherstellers sind dir ja nun bekannt. Berechne auf Grundlage dieser Funktionen den Break-even-Point. 

 Schauen wir uns den Lösungsweg genauer an. Beim Break-even-Point lassen sich die Gesamtkosten durch die Erlöse decken. Die Gewinnschwelle erhältst du, indem du die Erlös- und die Kostenfunktion gleichsetzt. Du setzt also K(x) = E(x).

50.000 + 30x = 80x

Um diese Gleichung dann nach der kostenneutralen Stückzahl x aufzulösen, bringst du zunächst die 30x auf die andere Seite. Dann löst du die Gleichung auf, indem du durch 50 teilst.

⇔ xG = 1.000

Als Ergebnis für deinen Break-even-Point erhältst du die Absatzmenge von 1.000 Stück.

Bei einer Absatzmenge von 1.000 Produkten wäre der Erlös also gleich den Kosten und dein Gewinn beziehungsweise dein Verlust gleich null. Der Autoreifenhersteller macht demnach ab dem 1.001. verkauften Reifen Gewinn, da ab dieser Anzahl der Erlös die Kosten übersteigt.

Um für beliebige Stückzahlen den Gewinn berechnen zu können, will der Reifenhersteller nun die Gewinnfunktion ermitteln. Es gelten weiterhin die berechneten Funktionen. Stelle die passende Gewinnfunktion auf.

Um den Gewinn zu ermitteln, musst du die Kosten vom Erlös abziehen.

G(x) = E(x) – K(x)

Mit den tatsächlichen Werten für die Kosten und den Erlös sieht die Gewinnfunktion dann so aus:

G(x) = 80x – (50.000 + 30x)

Damit du weiterrechnen kannst, musst du nun die Klammer aufheben und nach x auflösen. Du erhältst also eine Gewinnfunktion von

G(x) = 50x – 50.000.

In diese Funktion könntest du jetzt jeden beliebigen x-Wert, also jede beliebige Stückmenge, einsetzen und daraus dann den konkreten Gewinn ermitteln.

Verkauft das Unternehmen beispielsweise 3.000 Reifen, so würde der Gewinn bei 100.000 € liegen. Du konntest die Aufgaben problemlos lösen? Perfekt. Dann hast du die Gewinn- und Erlösfunktion für anstehende Klausuren auf dem Kasten.

Kostenrechnung verstehen

Gewinnfunktion und Erlösfunktion gehören zur Kostenrechnung und zeigen, wie Unternehmen Einnahmen und Ausgaben gegenüberstellen. Wer sich mit der Kostenrechnung beschäftigt, arbeitet mit Kosten, Erlösen und Mengen und ordnet sie in passende Funktionen ein. Dabei wird klar, ab wann ein Unternehmen die Gewinnschwelle erreicht und wie sich Gewinn oder Verlust aus einer Stückzahl ergeben. Im Wirtschaftsbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.