Assoziativgesetz
Du fragst dich, was das Assoziativgesetz ist und wie du es anwendest? Das erfährst du hier und im Video!
Inhaltsübersicht
Was ist das Assoziativgesetz?
In Mathe bestimmt eine Klammer, welchen Teil einer Rechnung du zuerst lösen musst. Das Assoziativgesetz besagt jedoch, dass die Reihenfolge bei der reinen Addition oder reinen Multiplikation keine Rolle spielt. Das bedeutet: Du darfst Klammern beliebig setzen oder weglassen. Die Reihenfolge der Berechnung ändert sich, aber das Ergebnis bleibt gleich.
| ➡️ Beispiel für die Addition | ➡️ Beispiel für die Multiplikation |
|
2 + (4 + 5) = 2 + 9 = 11 |
2 · (4 · 5) = 2 · 20 = 40 |
Wie du in den Beispielen siehst, verändert sich das Ergebnis nicht. Es ist also egal, wo die Klammern stehen oder ob du sie ganz weglässt.
Mit der allgemeinen Formel des Assoziativgesetzes kannst du das auf andere Aufgaben übertragen, egal welche Zahlen du bei der Addition und Multiplikation verwendest.
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
Beispiele zur Anwendung des Assoziativgesetzes
Mit dem Assoziativgesetz kannst du Klammern so verschieben, dass dir das Rechnen leichter fällt. Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.
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Beispiel für die Addition
Schau dir diese Aufgabe an:
12 + (8 + 5) = ?
Die Klammer zeigt dir, dass du zuerst 8 + 5 rechnest. Das ist schwieriger im Kopf zu rechnen, weil die Zahlen zusammen keinen vollen Zehner ergeben.
Die Aufgabe ist einfacher, wenn du die Klammern so setzt:
(12 + 8) + 5
Hier ergeben 12 und 8 eine runde Zahl — nämlich 20. Das kannst du meist schneller im Kopf rechnen.
12 + 8 = 20
Erst danach addierst du 5:
20 + 5 = 25
Schon bist du fertig!
Beispiel für die Multiplikation
Bei der Multiplikation funktioniert das genauso. Schau dir diese Aufgabe an:
(6 · 25) · 4 = ?
Durch die Klammer musst du zuerst 6 · 25 rechnen. Das ist gar nicht so leicht im Kopf zu berechnen. Hier lohnt es sich, die Klammern anders zu setzen:
6 · (25 · 4) = ?
Jetzt ergibt 25 mal 4 direkt 100:
25 · 4 = 100
Mit der 100 kannst du schneller im Kopf weiterrechnen:
6 · 100 = 600
Fortgeschrittene Beispiele: Assoziativgesetz mit Brüchen
Das Assoziativgesetz kann dir bei allen Rechenaufgaben helfen — so auch bei Brüchen.
➡️ Beispiel für die Addition von Brüchen
Schau dir diese Aufgabe an:
(
+ 
) + 
= ?
+ ist schwierig zu rechnen, weil du beide Brüche erstmal auf einen Nenner bringen müsstest. Es geht einfacher, wenn du nach dem Assoziativgesetz die Klammern verschiebst:
+ ( + )
So kannst die Aufgabe viel schneller ausrechnen:
+ 1 = 
bzw. 
➡️ Beispiel für die Multiplikation von Brüchen
Schau dir diese Aufgabe an:
(
· 
) · 
= ?
Um Brüche zu multiplizieren, musst du Zähler und Zähler und Nenner und Nenner miteinander multiplizieren. Um es dir leichter zu machen, kannst du das Assoziativgesetz anwenden und Klammern versetzen:
· ( · )
= · (
)
= · 
= 
Grenzen des Assoziativgesetzes
Das Assoziativgesetz gilt nur bei Addition und Multiplikation. Bei Subtraktion und Division funktioniert es nicht.
| ➡️ Beispiele für die Subtraktion | ➡️ Beispiele für die Division |
|
(14 − 9) − 2 ≠ 14 − (9 − 2) |
18 : (6 : 3) ≠ (18 : 6) : 3 18 : 2 ≠ 3 : 3 9 ≠ 1 |
Das Assoziativgesetz funktioniert hier nicht, weil es bei der Subtraktion und der Division auf die Reihenfolge ankommt. Wenn du die Klammern verschiebst, änderst du die Rechnung und die Ergebnisse sind nicht mehr gleich.
Assoziativgesetz — häufigste Fragen
(ausklappen)
Assoziativgesetz — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Woran erkennt man, ob man Klammern verschieben darf?Klammern verschieben darfst du beim Assoziativgesetz nur, wenn in dem Teil der Rechnung nur Plus oder nur Mal vorkommt. Sobald Minus oder Geteilt dabei ist, ändert sich beim Klammernverschieben das Ergebnis. Zum Beispiel:
, aber 
.
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Wie erkennt man beim Assoziativgesetz, welche Zahlen man zusammenklammern sollte?Beim Assoziativgesetz klammerst du die Zahlen zusammen, die zusammen besonders leicht zu rechnen sind. Bei der Addition suchst du Paare, die einen vollen Zehner oder Hunderter ergeben. Bei der Multiplikation suchst du Paare, die eine einfache Zahl wie 10 oder 100 ergeben. Zum Beispiel:
wird als 
leichter.
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Wie setzt man bei einer Formel mit Klammern Zahlen ein, ohne durcheinanderzukommen?Zahlen in eine Formel mit Klammern setzt du ein, indem du jedem Buchstaben genau eine Zahl zuordnest und diese Zahl überall an die Stelle des Buchstabens schreibst. Danach rechnest du zuerst die Klammer aus. Zum Beispiel: Für
mit 
, 
, 
rechnest du 
.
Kommutativgesetz
Jetzt weißt du, wie dir das Assoziativgesetz hilft, Rechnungen zu vereinfachen. Aber was ist eigentlich der Unterschied zum Kommutativgesetz? Das erfährst du in unserem Video.
