Wie rechne ich die Bogenlänge, wenn der Winkel in Bogenmaß ist?

Die Bogenlänge berechnest du bei einem Winkel im Bogenmaß mit , wobei der Zentriwinkel in Radiant ist. Das funktioniert, weil im Bogenmaß der Winkel direkt als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius definiert ist. Zum Beispiel gilt bei und : .

Wie finde ich den Zentriwinkel, wenn ich Radius und Bogenlänge kenne?

Den Zentriwinkel erhältst du aus Radius und Bogenlänge durch Umstellen der passenden Formel. Im Bogenmaß gilt , in Grad gilt . Zum Beispiel ist bei und der Winkel .

Welche Fehler passieren oft, wenn ich Grad und Bogenmaß verwechsle?

Häufige Fehler sind, Gradwerte direkt in einzusetzen oder Radiantwerte in zu verwenden. Zum Beispiel ist nicht , sondern ; sonst wird die Bogenlänge viel zu groß.

Wie unterscheide ich Bogenlänge, Sehnenlänge und Kreissektorfläche?

Die Bogenlänge ist die Länge entlang der Kreislinie, die Sehnenlänge ist die gerade Verbindung zwischen den Bogenendpunkten und die Kreissektorfläche ist die Fläche des „Tortenstücks“. Beispiel: Bei gleichem Zentriwinkel ist die Sehne immer kürzer als der zugehörige Bogen, weil die Gerade abkürzt.

Wann muss ich den Durchmesser statt den Radius in die Rechnung einsetzen?

Den Durchmesser setzt du nur ein, wenn eine Formel ausdrücklich den Durchmesser verwendet oder wenn nur gegeben ist und du erst umrechnest. Für die Bogenlänge brauchst du normalerweise den Radius; bei gegebenem Durchmesser gilt . Beispiel: Aus folgt .

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Bogenlänge berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Bogenlänge berechnen einfach erklärt

(00:13)

Bogenlänge Formel — Herleitung

(01:03)

Du suchst die Formel zum Bogenlänge berechnen eines Kreises? Hier und im Video zeigen wir dir die Formel und wie du sie herleitest.

Inhaltsübersicht

Bogenlänge berechnen einfach erklärt

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(00:13)

Die Bogenlänge b eines bestimmten Kreisabschnittes berechnest du, indem du π mal den Radius r durch 180 teilst und mit dem Zentriwinkel α multiplizierst.

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Die mathematische Formel für die Bogenlänge sieht dann so aus:

$\textcolor{blue}{b} = \frac{\textcolor{red}{r} \cdot \pi}{180} \cdot \textcolor{orange}{\alpha}$

Bogenlänge Formel — Herleitung

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(01:03)

Hier zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du die Formel zum Bogenlänge berechnen herleiten kannst.

Zuerst berechnest du den Umfang U eines ganzen Kreises. Das ist die Länge des Kreisbogens für den Zentriwinkel α = 360°. Um den Umfang zu berechnen, brauchst du außerdem den Radius r.

U = 2 • r • π

Wende nun den Dreisatz an, um die Bogenlänge b eines beliebigen Zentriwinkels zu berechnen. Als erstes teilst du die Bogenlänge des gesamten Kreises durch 360°. So erhältst du die Länge des Kreisbogens bei einem Winkel von α = 1°.

$\textcolor{blue}{b} = \frac{2 \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \pi}{360}$

Diese Gleichung multiplizierst du nun mit dem gegebenen Winkel α.

$\textcolor{blue}{b} = \frac{2 \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \pi}{360} \cdot \textcolor{orange}{\alpha}$

Zum Schluss kürzt du noch die 2 im Zähler mit der 360 im Nenner. Als Ergebnis erhältst du die Bogenlänge Formel:

$\textcolor{blue}{b} = \frac{\textcolor{red}{r} \cdot \pi}{180} \cdot \textcolor{orange}{\alpha}$

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Bogenlänge berechnen — Beispiel

Du hast vor dir einen Kreis mit dem Radius 5 cm gegeben. Gesucht ist die Bogenlänge für einen Zentriwinkel α = 51°. Verwende die Formel für den Kreisbogen, um das Ergebnis zu berechnen.

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Um die Kreisbogenlänge berechnen zu können, setzt du die beiden Angaben für r und α in die Formel für b ein:

$\begin{align*} \textcolor{blue}{b} &= \frac{\textcolor{red}{r} \cdot \pi}{180} \cdot \textcolor{orange}{\alpha} \\ \textcolor{blue}{b} &= \frac{\textcolor{red}{5} \cdot \pi}{180} \cdot \textcolor{orange}{51} \\ \textcolor{blue}{b} &\approx 4,45 \: cm \end{align*}$

Die Bogenlänge b beträgt also gerundet 4,45 cm.

Bogenlänge berechnen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie rechne ich die Bogenlänge, wenn der Winkel in Bogenmaß ist?

Die Bogenlänge berechnest du bei einem Winkel im Bogenmaß mit $b = r \cdot \varphi$ , wobei $\varphi$ der Zentriwinkel in Radiant ist. Das funktioniert, weil im Bogenmaß der Winkel direkt als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius definiert ist. Zum Beispiel gilt bei und $\varphi = 2$ : .
Wie finde ich den Zentriwinkel, wenn ich Radius und Bogenlänge kenne?

Den Zentriwinkel erhältst du aus Radius und Bogenlänge durch Umstellen der passenden Formel. Im Bogenmaß gilt $\varphi = \frac{b}{r}$ , in Grad gilt $\alpha = \frac{180 \cdot b}{\pi \cdot r}$ . Zum Beispiel ist bei und der Winkel $\varphi = 2$ .
Welche Fehler passieren oft, wenn ich Grad und Bogenmaß verwechsle?

Häufige Fehler sind, Gradwerte direkt in $b = r \cdot \varphi$ einzusetzen oder Radiantwerte in $b = \frac{r\pi}{180}\cdot \alpha$ zu verwenden. Zum Beispiel ist $\alpha = 60^\circ$ nicht $\varphi = 60$ , sondern $\varphi = \frac{\pi}{3}$ ; sonst wird die Bogenlänge viel zu groß.
Wie unterscheide ich Bogenlänge, Sehnenlänge und Kreissektorfläche?

Die Bogenlänge ist die Länge entlang der Kreislinie, die Sehnenlänge ist die gerade Verbindung zwischen den Bogenendpunkten und die Kreissektorfläche ist die Fläche des „Tortenstücks“. Beispiel: Bei gleichem Zentriwinkel ist die Sehne immer kürzer als der zugehörige Bogen, weil die Gerade abkürzt.
Wann muss ich den Durchmesser statt den Radius in die Rechnung einsetzen?

Den Durchmesser setzt du nur ein, wenn eine Formel ausdrücklich den Durchmesser verwendet oder wenn nur gegeben ist und du erst umrechnest. Für die Bogenlänge brauchst du normalerweise den Radius; bei gegebenem Durchmesser gilt $r = \frac{d}{2}$ . Beispiel: Aus folgt .

Kreisbogen und Kreisausschnitt

Prima! Jetzt kennst du die Formel zum Berechnen der Bogenlänge und kannst sie anwenden. Willst du noch mehr über den Kreisbogen und Kreisausschnitt erfahren? Dann schau direkt in unser Video .