Wann ist das geometrische Mittel sinnvoller als das arithmetische Mittel?

Das geometrische Mittel ist sinnvoller als das arithmetische Mittel, wenn sich Werte über mehrere Perioden miteinander verketten, also „multiplizieren“, wie bei Wachstumsfaktoren, Zinsen oder Preissteigerungen. Dann beschreibt der gesuchte Durchschnitt eine konstante durchschnittliche Veränderung pro Periode und nicht eine durchschnittliche Differenz.

Wie wandelt man prozentuale Veränderungen in die Zahlen um, die man beim geometrischen Mittel multipliziert?

Prozentuale Veränderungen wandelt man in Wachstumsfaktoren um, indem man aus die Zahl (Anstieg) oder (Rückgang) macht. Konkret: Aus „+5%“ wird und aus „−2%“ wird , diese Faktoren werden dann multipliziert.

Wie fließen Häufigkeiten in das gewogene geometrische Mittel ein?

Häufigkeiten fließen in das gewogene geometrische Mittel ein, indem ein Wert, der -mal vorkommt, im Produkt so zählt, als würde er -mal mitmultipliziert. Rechnerisch entspricht das einer Potenz, also zum Beispiel statt nur . Die Wurzel bezieht sich auf die Gesamtzahl aller Beobachtungen.

Was macht man, wenn in Daten eine 0 oder ein negativer Wert vorkommt?

Beim geometrischen Mittel dürfen die verwendeten Werte in der üblichen Definition nicht 0 oder negativ sein, weil das Produkt dann 0 wird oder die Wurzel im Reellen nicht sinnvoll definiert ist. In so einem Fall muss man die Daten fachlich begründet anders aufbereiten oder statt des geometrischen Mittels einen anderen Mittelwert verwenden.

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Geometrisches Mittel

Wichtige Inhalte in diesem Video

Geometrisches Mittel einfach erklärt

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Geometrisches Mittel berechnen

(00:16)

Geometrisches Mittel Beispiel

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Hier erhältst du eine Antwort auf die Frage „Was ist das geometrische Mittel“? Als geometrisches Mittel wird ein weiterer wichtiger Mittelwert in der deskriptiven Statistik bezeichnet. Wie du das geometrische Mittel berechen kannst, zeigen wir dir in diesem Beitrag!

Lange Beschreibungen und unübersichtliche Formeln sind nichts für dich? Unser Video zum Thema verschafft Abhilfe und erklärt dir unter anderem die Punkte geometrisches Mittel Formel und Berechnung anschaulich an einem Beispiel!

Inhaltsübersicht

Geometrisches Mittel einfach erklärt

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(00:10)

Das geometrische Mittel, auch mittlere Proportionale genannt, ist ein Lagemaß von quantitativen Beobachtungswerten der deskriptiven Statistik. Man erhält ihn durch die Berechnung der n-ten Wurzel aus dem Produkt der betrachteten positiven Zahlenwerte. Einfach gesagt bedeutet das, dass du mit dem geometrischen Mittel zum Beispiel die durchschnittliche prozentuale Veränderungen von Wachstumsraten bestimmen kannst.

Geometrisches Mittel Statistik

Dieser Mittelwert ist stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Allgemein ist die Aufgabe der deskriptiven Statistik umfangreiche Mengen an Daten durch Maßzahlen zusammenzufassen. Komplexe Sachverhalte sollen so möglichst geordnet und übersichtlich dargestellt werden.

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Geometrisches Mittel Anwendung

Das geometrische Mittel als Lageparameter gehört folglich zu den Mittelwerten und wird bei der Berechnung von prozentualen Veränderungen verwendet. Wenn man beispielsweise mit Wachstumsraten wie Preissteigerungen oder Zinsraten zu tun hat, sollte man dieses Mittel hernehmen. Irrtümlicherweise wird hierfür häufig das arithmetische Mittel verwendet.

Geometrisches Mittel berechnen

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(00:16)

Bei der Berechnung muss man unterscheiden, ob es sich bei den vorhandenen Daten um Beobachtungswerte oder und absolute und relative Häufigkeiten handelt. Letzteres bezeichnet man als gewogenes geometrisches Mittel. Handelt es sich um Beobachtungswerte spricht man von einem ungewogenen geometrischem Mittel.

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Geometrisches Mittel Formel

Allgemein berechnet man den Mittelwert aus der n-ten Wurzel aus dem Produkt aller verwendeten Beobachtungswerte. In Formelschreibweise sieht das so aus:

Gewogenes geometrisches Mittel

Bei der Berechnung des gewogenen geometrischen Mittels müssen die Wahrscheinlichkeiten der Häufigkeiten noch zusätzlich berücksichtigt werden. Die Formel bleibt grundsätzlich die selbe, lediglich steht im Exponenten jedes Faktors seine absolute Häufigkeit. Einfach gesagt heißt das, dass du jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit hoch nimmst vor der Multiplikation.

Geometrisches Mittel negative Zahlen

Was man außerdem wissen muss ist, dass keiner der Werte negativ sein darf. So wird ein insgesamt negatives Vorzeichen unter der Wurzel zu vermieden. Außerdem darf keiner der Werte 0 sein, da auch in diesem Fall die Berechnung nicht möglich wäre. Durch die Multiplikation wäre das Gesamtergebnis ebenfalls 0.

Geometrisches Mittel Beispiel

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Wie vorhin bereits erwähnt wird das geometrische Mittel in der Praxis zur Berechnung von prozentualen Veränderungen von Zahlenreihen verwendet. Mit diesem Lagemaß der Statistik können durchschnittliche Wachstumsfaktoren berechnet werden. Ein Beispiel aus der Praxis sind unter anderem Zinsraten, das Wachstum des BIP oder das durchschnittliche Wachstum von Unternehmensgewinnen.

Geometrisches Mittel Wachstumsfaktor

Um das Ganze verständlicher zu machen, erklären wir dir die Berechnung direkt an einem Beispiel: Stell dir vor, dein Kontostand entwickelt sich während des Semesters folgendermaßen:

Du hast also von Monat zu Monat diese Wachstumsraten:

Jetzt möchtest du gerne wissen, um wieviel Prozent sich dein Konto durchschnittlich verändert hat. Und für genau so einen Fall gibt es das geometrische Mittel. Es ist sehr wichtig darauf zu achten die Auf- beziehungsweise Abzinsungsfaktoren und nicht die Verzinsungen zu multiplizieren. Andernfalls erhälst du ein falsches Ergebnis.

Wir rechnen also:

${\bar{x}}_{geom}=\ \sqrt[4]{0,95*1,0842*1,0194*1,1429}\ \approx1,047$

Du siehst, das Vermögen auf deinem Konto ist während des Semesters um durchschnittlich 4,7% gestiegen. Um dein Ergebnis zu überprüfen, kannst du auch nochmal gegenrechnen:

Tada, du kommst auf die gleiche Lösung!

Geometrisches Mittel Mittenfrequenz

Ein weiteres Beispiel ist die sogenannte Mittenfrequenz f_0 : sie ist das geometrische Mittel aus der unteren und der oberen Grenzfrequenz f_1 und f_2 eines Frequenzbands mit einer festgelegten Filterbandbreite. Sie berechnet sich wie folgt:

$f_0=\sqrt{f_1*{\ f}_2}$

Hier wäre es falsch das arithmetische Mittel für beide Grenzfrequenzen herzunehmen. Generell verwendet man das geometrische Mittel in dem Fall, dass sich der Unterschied zweier Größen eines Merkmals besser über Quotienten als über Differenzen beschreiben lässt.

Jetzt weißt du, dass das geometrische Mittel einfach die prozentuale Veränderung einer Zahlenreihe wiedergibt.

Geometrisches Mittel — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wann ist das geometrische Mittel sinnvoller als das arithmetische Mittel?

Das geometrische Mittel ist sinnvoller als das arithmetische Mittel, wenn sich Werte über mehrere Perioden miteinander verketten, also „multiplizieren“, wie bei Wachstumsfaktoren, Zinsen oder Preissteigerungen. Dann beschreibt der gesuchte Durchschnitt eine konstante durchschnittliche Veränderung pro Periode und nicht eine durchschnittliche Differenz.
Wie wandelt man prozentuale Veränderungen in die Zahlen um, die man beim geometrischen Mittel multipliziert?

Prozentuale Veränderungen wandelt man in Wachstumsfaktoren um, indem man aus $p\%$ die Zahl $1+\frac{p}{100}$ (Anstieg) oder $1-\frac{p}{100}$ (Rückgang) macht. Konkret: Aus „+5%“ wird und aus „−2%“ wird , diese Faktoren werden dann multipliziert.
Wie fließen Häufigkeiten in das gewogene geometrische Mittel ein?

Häufigkeiten fließen in das gewogene geometrische Mittel ein, indem ein Wert, der -mal vorkommt, im Produkt so zählt, als würde er -mal mitmultipliziert. Rechnerisch entspricht das einer Potenz, also zum Beispiel statt nur . Die Wurzel bezieht sich auf die Gesamtzahl aller Beobachtungen.
Was macht man, wenn in Daten eine 0 oder ein negativer Wert vorkommt?

Beim geometrischen Mittel dürfen die verwendeten Werte in der üblichen Definition nicht 0 oder negativ sein, weil das Produkt dann 0 wird oder die Wurzel im Reellen nicht sinnvoll definiert ist. In so einem Fall muss man die Daten fachlich begründet anders aufbereiten oder statt des geometrischen Mittels einen anderen Mittelwert verwenden.

Mittelwerte verstehen

Das geometrische Mittel ist ein wichtiger Mittelwert in der Statistik und gehört zum Themenfeld der Mittelwerte. Wer sich mit Mittelwerten beschäftigt, vergleicht verschiedene Arten von Durchschnittswerten und ihren Einsatz bei Daten und Wachstumsraten. So wird klar, warum nicht jeder Mittelwert für jede Aufgabe passt und warum Faktoren oft anders behandelt werden als einzelne Zahlen. Im Statistikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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