Wie invertiert man eine Matrix?

Eine Matrix invertierst du, indem du (nachdem du geprüft hast, dass sie überhaupt eine Inverse haben kann) den Gauß-Algorithmus auf die erweiterte Matrix anwendest und links zur Einheitsmatrix umformst. Dann steht rechts . Zum Beispiel: Für berechnest du zuerst die Determinante . Für eine -Matrix gilt dann . Damit ergibt sich .

Wann ist eine Matrix nicht invertierbar?

Eine Matrix ist nicht invertierbar, wenn sie nicht quadratisch ist oder wenn ihre Determinante ist. Zum Beispiel ist nicht invertierbar, weil sie nicht quadratisch ist. Und ist nicht invertierbar, weil .

Warum gilt bei Matrizen, dass die Inverse des Produkts AB gleich der Inversen von B mal der Inversen von A ist?

gilt, weil eine Matrixmultiplikation Schritt für Schritt wirkt und du diese Schritte beim Rückgängigmachen in umgekehrter Reihenfolge aufheben musst. Wenn auf einen Vektor wirkt, passiert zuerst und danach . Deshalb machst du zuerst mit rückgängig und danach mit .

Video

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Inverse Matrix

Wichtige Inhalte in diesem Video

Inverse Matrix einfach erklärt

(00:11)

Invertierbare Matrix

(00:55)

Inverse Matrix Aufgabe

(02:13)

Du willst wissen, was eine inverse Matrix ist? Dann bist du hier genau richtig! Alles Wichtige erfährst du in kürzester Zeit, wenn du unser Video anschaust!

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Inhaltsübersicht

Inverse Matrix einfach erklärt

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(00:11)

Erinnere dich kurz an die Potenzgesetze. Da gab es die Zahl hoch minus 1, das steht für den Kehrwert einer Zahl.

$3 \cdot 3^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

So eine ähnliche Regel gibt es auch für Matrizen. Eine Matrix hoch minus 1 steht dabei für die inverse Matrix. Multiplizierst du eine Matrix mit ihrer inversen Matrix $A^{-1}$ , dann erhältst du die Einheitsmatrix . Das ist die Matrix, bei der alle Einträge auf der Hauptdiagonalen 1 sind.

$A \cdot A^{-1}=E$

$\left(\begin{array}{rrr}3&1&0\\-1&3&-1\\0&-3&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}0&-1&*-1\\1&3&3\\3&9&10\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)$

Merke

Die inverse Matrix $A^{-1}$ ist die Matrix, die multipliziert mit der ursprünglichen Matrix die Einheitsmatrix ergibt.

Zum Berechnen der Inversen bietet sich der Gauß-Algorithmus , die Adjunkte oder die Cramersche Regel an. Mehr dazu findest du im Video zum Thema Inverse Matrix berechnen .

Invertierbare Matrix

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(00:55)

Leider ist nicht jede beliebige Matrix invertierbar, sondern nur solche Matrizen, die bestimmte Voraussetzungen erfüllen. Es stellt sich also die Frage, wann ist eine Matrix invertierbar? Dazu musst du prüfen, ob du eine quadratische Matrix vorliegen hast und ob die Determinante der Matrix ungleich Null ist.

$A=\left(\begin{array}{rrr}3&1&0\\-1&3&-1\\0&-3&1\\\end{array}\right)$

Die Beispielmatrix hat drei Zeilen und drei Spalten, sie ist also eine quadratische Matrix. Außerdem gilt $\det(A)=1$ und damit ist $\det(A) \neq 0$ . Die Matrix ist damit eine invertierbare Matrix. Die inverse Matrix zu A sieht dabei wie folgt aus

$A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}0&-1&-1\\1&3&3\\3&9&10\\\end{array}\right)$ .

Wie du die Inverse genau bestimmen kannst, erfährst du in unserem Video Inverse Matrix berechnen .

Meistens lohnt es sich, vorher kurz die Invertierbarkeit der Matrix zu überprüfen.

Hinweis: Übrigens, eine invertierbare Matrix nennt man regulär. Ist eine Matrix nicht invertierbar, so nennt man sie singulär.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Inverse Matrix Eigenschaften

Ist eine Matrix invertierbar, dann kannst du natürlich auch weiter mit ihr rechnen. Hier haben wir die wichtigsten Regeln und Eigenschaften für dich zusammengefasst.

Bei der Multiplikation von zwei Matrizen kannst du erst das Produkt bilden und davon die inverse Matrix bestimmen. Oder du multiplizierst gleich die inversen Matrizen, dann aber in umgekehrter Reihenfolge.

$\left(A \cdot B\right)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$

Ganz ähnlich funktioniert es, wenn du die Matrix mit einer Zahl multiplizierst. Da brauchst du dann den Kehrwert $k^{-1}$ der Zahl , also zum Beispiel $\frac{1}{2}$ für k=2 .

$\left(k \cdot A\right)^{-1}=k^{-1} \cdot A^{-1}$

Eine inverse Matrix ist selbst wieder eine invertierbare Matrix. Und die Inverse der inversen Matrix ist wieder die ursprüngliche Matrix.

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$

Du kannst eine inverse Matrix auch transponieren. Das Ergebnis ist das Gleiche, wie wenn du die Inverse einer transponierten Matrix bildest.

$\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1}$

Bei einer orthogonalen Matrix sind die beiden sogar gleich.

$A^{-1}=A^T$

Der Rang einer Matrix ändert sich nicht, es gilt also

$Rang(A^{-1})=Rang(A)$ .

Und es gibt auch einen Zusammenhang zwischen der Determinante einer Matrix und der Determinante der inversen Matrix.

$\det(A^{-1})=\left(\det(A)\right)^{-1}$

Inverse Matrix Aufgabe

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(02:13)

Prüfe die Matrix auf Invertierbarkeit.

$A=\left(\begin{array}{rr}-2&0\\2&1\\\end{array}\right)$

Lösung

Die Matrix ist eine invertierbare Matrix, weil sie quadratisch ist und es gilt

$\det(A)=-2\neq0$ .

Inverse Matrix — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie invertiert man eine Matrix?

Eine Matrix invertierst du, indem du (nachdem du geprüft hast, dass sie überhaupt eine Inverse haben kann) den Gauß-Algorithmus auf die erweiterte Matrix $[A\mid E]$ anwendest und links zur Einheitsmatrix umformst. Dann steht rechts $A^{-1}$ . Zum Beispiel: Für $A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ berechnest du zuerst die Determinante $\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=-2$ . Für eine $2\times2$ -Matrix gilt dann $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}4 & -2\\-3 & 1\end{pmatrix}$ . Damit ergibt sich $A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4 & -2\\-3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ .
Wann ist eine Matrix nicht invertierbar?

Eine Matrix ist nicht invertierbar, wenn sie nicht quadratisch ist oder wenn ihre Determinante ist. Zum Beispiel ist $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix}$ nicht invertierbar, weil sie nicht quadratisch ist. Und $\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}$ ist nicht invertierbar, weil $\det\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-2\cdot2=0$ .
Warum gilt bei Matrizen, dass die Inverse des Produkts AB gleich der Inversen von B mal der Inversen von A ist?

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ gilt, weil eine Matrixmultiplikation Schritt für Schritt wirkt und du diese Schritte beim Rückgängigmachen in umgekehrter Reihenfolge aufheben musst. Wenn auf einen Vektor wirkt, passiert zuerst und danach . Deshalb machst du zuerst mit $A^{-1}$ rückgängig und danach mit $B^{-1}$ .