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Umkehrfunktion

Wichtige Inhalte in diesem Video

Umkehrfunktion — einfach erklärt

Umkehrfunktion bilden

Umkehrfunktion bestimmen — lineare Funktion

Umkehrfunktion bestimmen — quadratische Funktion

Umkehrfunktion bestimmen — ex

Du fragst dich, was eine Umkehrfunktion ist und wie du sie berechnest? Dann bist du bei unserem Beitrag und Video genau richtig! Hier erfährst du alles, was du wissen musst!

Inhaltsübersicht

Umkehrfunktion — einfach erklärt

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Eine Funktion f(x) ordnet jedem x-Wert einen y-Wert zu. Eine Umkehrfunktion ordnet hingegen jedem y-Wert einen x-Wert zu. Das bedeutet, dass du die Zuordnung der Werte einfach vertauschst. Die Umkehrfunktion kennzeichnest du als f^-1(x).

Im Koordinatensystem erkennst du die Umkehrfunktion f^-1(x) daran, dass sie an der Winkelhalbierenden zur Funktion f(x) gespiegelt ist.

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Zum Beispiel geht die Funktion f(x) durch den Punkt P (0|1). Für den dazugehörigen Punkt P’ auf der Umkehrfunktion f^-1(x) vertauschst du einfach x und y und erhältst P'(1|0).

Wichtig: Die Funktion sollte eindeutig sein, damit du sie umkehren kannst. Das bedeutet, dass jedem x-Wert nur ein y-Wert zugeordnet sein darf.

Umkehrfunktion bilden

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Um eine Umkehrfunktion zu bestimmen, kannst du dich immer an diese Anleitung halten:

Vorgehensweise

Schritt 1: Funktionsgleichung nach x auflösen
Schritt 2: Die Variablen x und y vertauschen

Schauen wir uns an, wie du die Umkehrfunktion für verschiedene Funktionstypen berechnen kannst.

Umkehrfunktion bestimmen — lineare Funktion

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Zum Beispiel möchtest du die Umkehrfunktion der linearen Funktion f(x) = 0,5x + 1 bestimmen. Da es sich dabei um eine Gerade handelt, ist die Funktion eindeutig. Du kannst die Umkehrfunktion also problemlos berechnen:

1. Löse die Gleichung nach x auf. Statt f(x) schreibst du einfach y.

y = 0,5x + 1 | – 1

y – 1 = 0,5x | : 0,5

2y – 2 = x

2. Vertausche x und y.

x = 2y – 2

y = 2x – 2

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Die Funktion f(x) = 0,5x + 1 hat also die Umkehrabbildung f^-1(x) = 2x -2.

Umkehrfunktion bestimmen — quadratische Funktion

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Um die Umkehrfunktion bei quadratischen Funktionen zu bilden, musst du hingegen etwas beachten. Denn hier können jedem y-Wert immer zwei x-Werte zugeordnet werden. Quadratische Funktionen sind also nicht eindeutig. Beispielsweise gehören bei der Funktion $\textcolor{blue}{f(x) = \frac{1}{3}x^2}$ zum y-Wert 3 die x-Werte 3 und -3.

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Um hier die Umkehrfunktion zu bilden, musst du daher den Definitionsbereich einschränken. Du betrachtest also nur einen Teil der Funktion. In diesem Fall ist das am einfachsten, wenn du f(x) nur für positive x-Werte betrachtest.

Definitionsbereich D_f = $x \in \mathbb{R}$ , x ≥ 0

Jetzt kannst du die Umkehrfunktion bilden:

1. Löse die Gleichung nach x auf.

$y= \frac{1}{3}x^2\quad \quad | \div \frac{1}{3}$

$3y = x^2 \quad \quad | \sqrt{\quad}$

$+\sqrt{3y} = x$

2. Vertausche x und y.

$x = +\sqrt{3y}$

$y = +\sqrt{3x}$

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Als Umkehrfunktion erhältst du also $\textcolor{violet}{f^{-1}(x) = +\sqrt{3x}}$ . Weil du hier nur positive x-Werte betrachtest, kannst du bei der Wurzel auch nur positive Werte herausbekommen.

Tipp: Um die Umkehrfunktion für den Teil mit x ≤ 0 zu bestimmen, tauschst du einfach das Plus in ein Minus: $f^{-1}(x) = -\sqrt{3x}$ für D_f = $x \in \mathbb{R}$ , x ≤ 0.

Umkehrfunktion bestimmen — ganzrationale Funktion

Betrachte jetzt die ganzrationale Funktion f(x) = x³ – 1. Da diese Funktion eindeutig ist, musst du den Definitionsbereich nicht einschränken und gehst normal vor:

1. Löse die Gleichung nach x auf.

y = x³ – 1 | + 1

y + 1 = x³ | $\sqrt[3]{}$

$\sqrt[3]{y + 1}$ = x

2. Vertausche x und y.

x = $\sqrt[3]{y + 1}$

y = $\sqrt[3]{x+1}$

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Die Umkehrfunktion von f(x) ist $\textcolor{purple}{f^{-1}{x} = \sqrt[3]{x + 1}}$ . Hier gibt es jedoch etwas zu beachten: Setzt du in die Umkehrfunktion einen negativen x-Wert ein, wird der dazugehörige y-Wert aufgrund der dritten Wurzel immer positiv. Da die Umkehrfunktion aber auch negative x- und y-Werte annehmen kann, musst du sie je nach Fall anpassen:

f^-1(x) = $\sqrt[3]{x + 1}$ für x ≥ 0
f^-1(x) = $- \sqrt[3]{-x + 1}$ für x ≤ 0

Umkehrfunktion bestimmen — e^x

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Für die e-Funktion f(x) = e^x musst du die Umkehrabbildung überhaupt nicht berechnen! Hier hast du sie direkt durch die ln-Funktion f^-1(x) = ln(x) gegeben. Sie sind nämlich das Gegenteil voneinander.

Das siehst du auch direkt an den Funktionsgraphen:

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Übrigens: Bei Umkehrfunktionen ist nicht nur die Zuordnung von x- und y-Wert vertauscht, sondern auch Definitions- und Wertebereich. Während der Wertebereich von e^x nur positive y-Werte annimmt, enthält der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ln(x) nur positive x-Werte.

Umkehrfunktion bestimmen — Sinus

Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) ist nicht eindeutig, da es zu jedem y-Wert im Wertebereich [-1, 1] unendlich viele x-Werte gibt. Um die Umkehrfunktion zu bilden, betrachtest du daher nur den Definitionsbereich [ $- \frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2}$ ].

1. Löse die Gleichung nach x auf. Dafür brauchst du hier den sin^-1, auch Arcussinus (Arcsin) genannt.

y = sin(x) | sin^-1 ( )

sin^-1 (y) = x

2. Vertausche x und y.

x = sin^-1 (y)

y = sin^-1 (x)

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Die Umkehrfunktion des Sinus für [ $- \frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2}$ ] ist also f^-1(x) = sin^-1 (x).

Umkehrfunktion bestimmen — Cosinus

Dasselbe gilt auch für die Cosinusfunktion: Zu jedem y-Wert gibt es unendlich viele x-Werte. Damit du die Umkehrfunktion bilden kannst, schaust du dir bei f(x) = cos(x) nur den Definitionsbereich [0, $\pi$ ] an.

1. Löse die Gleichung nach x auf. Dafür brauchst du hier den cos^-1, auch Arcuscosinus (Arccos) genannt.

y = cos(x) | cos^-1 ( )

cos^-1 (y) = x

2. Vertausche x und y.

x = cos^-1 (y)

y = cos^-1 (x)

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Du erhältst dann die Umkehrfunktion des Cosinus: f^-1 (x) = cos^-1 (x) für [0, $\pi$ ].

Umkehrfunktion — häufigste Fragen

Was ist eine Umkehrfunktion?
Eine Umkehrfunktion (inverse Funktion) ist eine Funktion, die die Zuordnung einer ursprünglichen Funktion umkehrt. Die ursprüngliche Funktion f(x) ordnet jedem x-Wert einen y-Wert zu. Die Umkehrfunktion hingegen ordnet jedem y-Wert einen x-Wert zu.
Was ist eine Umkehrfunktion Beispiel?
Das heißt, dass du die x-Werte und y-Werte deiner Funktion vertauschst. Du kannst eine Funktion nur umkehren, wenn sie jeden y-Wert höchstens einmal annimmt. Geht f(x) zum Beispiel durch den Punkt P (0|1), dann vertauschst du x und y und erhältst den gespiegelten Punkt P'(1|0).
Wie kann man eine Umkehrfunktion berechnen?
Um eine Umkehrfunktion zu berechnen, gehst du so vor:
1. Löse die Gleichung f(x) nach x auf. Statt f(x) schreibst du hier einfach „y“.
2. Vertausche dann x und y. Das Ergebnis ist die Umkehrfunktion.

Arcustangens

Neben Sinus und Cosinus kannst du auch die Umkehrfunktion vom Tangens bilden. Wie du den Arcustangens bestimmst, zeigen wir dir in unserem Video dazu!

Zum Video: Arcustangens

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