Warum quadriert man beim Effektivwert das Signal und zieht am Ende wieder die Wurzel?

Beim Effektivwert quadriert man das Signal, weil die umgesetzte Wärmeleistung im ohmschen Widerstand von bzw. abhängt und sich negative und positive Halbwellen sonst gegenseitig aufheben würden. Danach mittelt man über die Zeit. Die Wurzel bringt die Einheit wieder auf oder .

Spielt es beim Effektivwert eine Rolle, ob die Spannung oder der Strom auch negative Werte annimmt?

Für den Effektivwert spielt es keine Rolle, ob Spannung oder Strom zeitweise negativ sind, weil in der Definition bzw. eingeht und damit alle Beiträge positiv werden. Deshalb hängt die Heizwirkung im Widerstand nicht vom Vorzeichen ab. Ein Wechsel zwischen Plus und Minus kann trotzdem einen großen Effektivwert ergeben.

Ist 230 Volt der Effektivwert?

Die Angabe „“ bei der Netzspannung ist der Effektivwert der sinusförmigen Spannung. Der Effektivwert ist der Gleichspannungswert, der im gleichen Widerstand die gleiche Wärmeleistung erzeugen würde. Der zugehörige Spitzenwert der Sinusspannung liegt bei .

Wann verwendet man die Effektivwert-Formeln für Sinus, Rechteck und Dreieck statt des Integrals?

Die Effektivwert-Formeln für Sinus, symmetrisches Rechteck und Dreieck verwendet man, wenn der Spannungsverlauf genau diese Standardform hat und der Spitzenwert bekannt ist. Dann reicht die passende feste Beziehung zwischen und . Weicht die Signalform ab oder ist sie abschnittsweise definiert, berechnet man über das Integral über eine Periode.

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Effektivwert

Wichtige Inhalte in diesem Video

Effektivwert einfach erklärt

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Effektivwert Formel

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Effektivwerte von Wechselspannungen

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Effektivwert berechnen Beispiel

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In diesem Beitrag erfährst du, wie die Formel für den Effektivwert aussieht, wie du ihn berechnen kannst und wie die Effektivwerte für wichtige Signalformen aussehen. Wenn du das Ganze anschaulich erklärt haben willst, schau einfach in unser Video rein.

Inhaltsübersicht

Effektivwert einfach erklärt

Der Effektivwert oder auch im Englischen RMS (root mean square)-Wert gibt für elektrische Wechselspannungen und Wechselströme den Wert an, den eine Gleichspannung, beziehungsweise Gleichstrom haben müsste, um die selbe Wärmeleistung in einem rein ohmschen Verbraucher umzusetzen.

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Merke

Eine Gleichspannung von 5V erzeugt in einem Widerstand also die selbe Leistung wie eine Wechselspannung mit einem Effektivwert von 5V. Dabei ist die Berechnung des Effektivwerts abhängig von der Signalform der Wechselspannung (Sinus, Rechteck, Dreieck).

Effektivwert Formel

Im folgenden Stellen wir dir die allgemeine Formel zur Berechnung des Effektivwerts vor und zeigen dir außerdem ihre Lösung für häufige Signalformen.

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Allgemeine Formel des Effektivwerts

Der Effektivwert der Spannung eines beliebigen kontinuierlichen Signal ergibt sich aus folgender Formel.

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u(t)^2 dt}$

Gleiches gilt auch für den Strom:

$I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i(t)^2 dt}$

Mathematisch betrachtet entspricht der Effektivwert also dem quadratischen Mittel. Handelt es sich um ein nicht periodisches Signal muss das Integral strenggenommen über die komplette Signaldauer T erfolgen. In diesem Fall geht die T gegen unendlich( $T \rightarrow \infty$ ).

Effektivwert periodischer Signale

Häufig werden allerdings periodische Signale betrachtet. Für sie ist es ausreichend über eine Periode T zu integrieren um ihren Effektivwert zu erhalten.

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} u(t)^2 dt}$

$I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} i(t)^2 dt}$

Effektivwerte von Wechselspannungen

Für gängige periodische Signalformen (Sinusspannung, Rechteckspannung, Dreieckspannung) ist die Berechnung über die allgemeine Formel nicht zwingend erforderlich. Der Effektivwert dieser Signale ist von ihrer Amplitude abhängig. Es folgt eine Übersicht über die wichtigsten Wechselspannungen.

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Effektivwert, Effektivwert Rechteck, Effektivwert Dreieck, Effektivwert Sägezahn, Effektivwert berechnen — Effektivwert von Rechtecks, Dreiecks und Sägezahn Signalen

Sinusspannung

Für eine Sinusspannung ergibt sich der Effektivwert aus der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert $\hat{U}$ .

$U_{eff}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$

Symmetrische Rechteckspannung

Für eine periodisches symetrische Rechteckspannung entspricht der Effektivwert der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert $\hat{U}$ :

$U_{eff}=\hat{U}}$

Dreieckspannung

Für eine Dreieckspannung ergibt sich der Effektivwert aus der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert $\hat{U}$ .

$U_{eff}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{3}}$

Sägezahnspannung

Für eine Sägezahnspannung ergibt sich der Effektivwert aus der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert $\hat{U}$ .

$U_{eff}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{3}}$

Pulssignal/Rechteckssignal

Effektivwert, Effektivwert Puls, Effektivwert Rechteck, Effektivwert berechnen — Effektivwert eines gepulsten Rechtecksignals

Für ein Pulssignal der Amplitude $\hat{U}$ und dem Duty Cycle beziehungsweise Taskgrad D ergibt sich der Effektivwert als.

$U_{eff}= \hat{U} \cdot \sqrt{D}$

Effektivwert berechnen Beispiel

In diesem Beispiel wird der Effektivwert einer weniger häufig vorkommenden Spannungsverlaufs ermittelt. Hier ist es wichtig darüber klarzuwerden, dass die Funktion dieses Spannungsverlaufs abschnittsweise definiert werden kann.

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(02:54)

Effektivwert Beispiel, Effektivwert berechnen — Effektivwert Beispiel

In diesem Fall können die beiden Abschnitte durch Geradengleichungen beschrieben werden:

$u(t)=\begin{cases} \frac{20V}{T} \cdot t , & 0 \leq t \leq \frac{T}{2}} \\ \frac{-10V}{T} \cdot t , & \frac{T}{2} \leq t \leq T \end{cases}$

Im ersten Schritt wird die allgemeine Berechnungsformel angesetzt.

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u(t)^2 dt}$

Bei Spannungsverläufen die Abschnittsweise definiert werden können, ist es sinnvoll auch das Integral abschnittsweise zu bilden. Mit dieser Überlegung folgt:

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u(t)^2 dt}=\sqrt{\frac{1}{T} \left( \int_{0}^{\frac{T}{2}} \left( \frac{20V}{T}\cdot t \right)^2 dt + \int_{\frac{T}{2}}^{T} \left( \frac{-10V}{T}\cdot t \right)^2 dt} \right)$

Nach dem Quadrieren der Klammern ergibt sich:

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \left(\int_{0}^{\frac{T}{2}} \frac{400V^2}{T^2}\cdot t^2 dt + \int_{\frac{T}{2}}^{T} \frac{100V^2}{T^2}\cdot t^2 dt} \right)$

An dieser Stelle können die Integrale gelöst werden:

$U_{eff}= \sqrt{\frac{1}{T} \left(\left[\left \frac{400V^2}{3T^2}\cdot t^3\right]_0^\frac{T}{2} + \left[\left\frac{100V^2}{3T^2}\cdot t^3\right]_\frac{T}{2}^T } \right) }$

Nach Einsetzten der Integrationsgrenzen ergibt sich:

$U_{eff}= \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{400V^2}{3T^2}\cdot \left(\frac{T}{2} \right) ^3 - 0 + \frac{100V^2}{3T^2}\cdot T^3 - \frac{100V^2}{3T^2}\cdot \left( \frac{T}{2} \right)^3 \right) }$

$= \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{400V^2}{3T^2}\cdot \frac{T^3}{8} -0 + \frac{100V^2}{3T^2}\cdot T^3 - \frac{100V^2}{3T^2}\cdot \frac{T^3}{8} \right)}$

Nun können die einzelnen Brüche multipliziert und T gekürzt werden:

$U_{eff}= \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{400V^2 T}{24} -0 + \frac{100V^2 T}{3} - \frac{100V^2 T}{24}\right) }\\ = \sqrt{ \frac{400V^2 }{24} -0 + \frac{100V^2 }{3} - \frac{100V^2 }{24}}$

Im letzten Schritt können die Brüche einfach addiert werden. Die Einheit des Ergebnisses, in diesem Fall Volt kann als Hinweis für die korrekte Berechnung herangezogen werden.

$U_{eff}= \sqrt{\frac{275}{6}}V =6,77V$

Weitere Anwendungen des Effektivwerts

Der Effektivwert ist eine zentrale Größe in der Elektrotechnik. Mit ihm kannst du zum Beispiel die Scheinleistung berechnen. Das ist die Leistung, die eine Quelle einem Verbraucher zu Verfügung stellen muss. Du berechnest sie aus dem Produkt der Effektivwerte von elektrischer Spannung und Stromstärke $S = U \cdot I$ . In unserem Beitrag zur Schein-, Blind- und Wirkleistung erfährst du mehr darüber, was sie ausmacht und wie genau du sie berechnest!

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Zum Video: Scheinleistung, Wirkleistung, Blindleistung

Effektivwert — häufigste Fragen

(ausklappen)

Warum quadriert man beim Effektivwert das Signal und zieht am Ende wieder die Wurzel?

Beim Effektivwert quadriert man das Signal, weil die umgesetzte Wärmeleistung im ohmschen Widerstand von bzw. abhängt und sich negative und positive Halbwellen sonst gegenseitig aufheben würden. Danach mittelt man über die Zeit. Die Wurzel bringt die Einheit wieder auf $\text{V}$ oder $\text{A}$ .
Spielt es beim Effektivwert eine Rolle, ob die Spannung oder der Strom auch negative Werte annimmt?

Für den Effektivwert spielt es keine Rolle, ob Spannung oder Strom zeitweise negativ sind, weil in der Definition bzw. eingeht und damit alle Beiträge positiv werden. Deshalb hängt die Heizwirkung im Widerstand nicht vom Vorzeichen ab. Ein Wechsel zwischen Plus und Minus kann trotzdem einen großen Effektivwert ergeben.
Ist 230 Volt der Effektivwert?

Die Angabe „ $230\,\text{V}$ “ bei der Netzspannung ist der Effektivwert der sinusförmigen Spannung. Der Effektivwert ist der Gleichspannungswert, der im gleichen Widerstand die gleiche Wärmeleistung erzeugen würde. Der zugehörige Spitzenwert der Sinusspannung liegt bei $230\,\text{V}\cdot\sqrt{2}\approx 325\,\text{V}$ .
Wann verwendet man die Effektivwert-Formeln für Sinus, Rechteck und Dreieck statt des Integrals?

Die Effektivwert-Formeln für Sinus, symmetrisches Rechteck und Dreieck verwendet man, wenn der Spannungsverlauf genau diese Standardform hat und der Spitzenwert $\hat{U}$ bekannt ist. Dann reicht die passende feste Beziehung zwischen $\hat{U}$ und $U_\mathrm{eff}$ . Weicht die Signalform ab oder ist sie abschnittsweise definiert, berechnet man $U_\mathrm{eff}$ über das Integral über eine Periode.

Wechselgrößen verstehen

Der Effektivwert ist eine wichtige Größe bei Wechselspannungen und Wechselströmen und gehört zum Themenfeld der Wechselgrößen. Du vergleichst in diesem Themenfeld Spannungen, Ströme und Signalformen und ordnest ihre Werte in technischen Anwendungen ein. So wird klar, wie sich zeitlich veränderliche elektrische Größen beschreiben und bewerten lassen. Im Elektrotechnikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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