Wie entscheide ich schnell, ob ich bei einer Aufgabe ein Baumdiagramm brauche oder ob die Laplace-Formel reicht?

Die Laplace-Formel reicht, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich und gut zählbar sind. Ein Baumdiagramm brauchst du, sobald es mehrere Stufen gibt (mehrere Ziehungen) oder sich Wahrscheinlichkeiten unterwegs ändern. Beispiel: Zweimal ziehen ohne Zurücklegen geht am schnellsten mit einem Baumdiagramm.

Wie erkenne ich in Textaufgaben, ob zwei Ereignisse wirklich unabhängig sind?

Unabhängig sind zwei Ereignisse nur, wenn das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht verändert. In Textaufgaben erkennst du Abhängigkeit oft an „ohne Zurücklegen“, „unter der Bedingung, dass…“ oder an gemeinsamen Ressourcen. Beispiel: Zwei Karten ohne Zurücklegen sind nicht unabhängig.

Welche typischen Fehler passieren bei bedingter Wahrscheinlichkeit, wenn ich das Ereignis vertausche?

Beim Vertauschen verwechselst du oft mit , obwohl das meist unterschiedliche Werte sind. Das passiert, wenn du die Bedingung „gegeben B“ nicht als neue Grundgesamtheit behandelst. Beispiel: „krank gegeben Test positiv“ ist nicht dasselbe wie „Test positiv gegeben krank“.

Wie entscheide ich bei Kombinatorik-Aufgaben, ob die Reihenfolge wichtig ist?

Die Reihenfolge ist wichtig, wenn verschiedene Anordnungen als unterschiedliche Ergebnisse zählen. Hinweise sind Wörter wie „Reihenfolge“, „Plätze“, „Code“, „Sitzordnung“ oder „nacheinander“. Wenn nur eine Auswahl gefragt ist („Team bilden“, „k aus n wählen“), ist die Reihenfolge egal.

Wie merke ich in Aufgaben, ob Ziehen mit Zurücklegen gemeint ist?

Mit Zurücklegen ist gemeint, dass das gezogene Objekt wieder in die Menge kommt und die Wahrscheinlichkeiten gleich bleiben. Typische Formulierungen sind „mit Zurücklegen“, „wird zurückgelegt“ oder „nach jedem Zug wieder auffüllen“. Ohne solche Hinweise ist in Urnenaufgaben oft „ohne Zurücklegen“ gemeint.

Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Baumdiagramm“

Hier geht's zum Video „Wahrscheinlichkeit“

Hier geht's zum Video „Laplace Experiment“

Hier geht's zum Video „Bedingte Wahrscheinlichkeit“

Hier geht's zum Video „Stochastische Unabhängigkeit“

Hier geht's zum Video „Satz von Bayes“

Hier geht's zum Video „Kombinatorik“

Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln

Mit Formeln zur Wahrscheinlichkeitsrechnung kannst du Wahrscheinlichkeiten ganz leicht ermitteln. Hier siehst du alle wichtigen Formeln auf einen Blick!

Inhaltsübersicht

Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie entscheide ich schnell, ob ich bei einer Aufgabe ein Baumdiagramm brauche oder ob die Laplace-Formel reicht?

Die Laplace-Formel reicht, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich und gut zählbar sind. Ein Baumdiagramm brauchst du, sobald es mehrere Stufen gibt (mehrere Ziehungen) oder sich Wahrscheinlichkeiten unterwegs ändern. Beispiel: Zweimal ziehen ohne Zurücklegen geht am schnellsten mit einem Baumdiagramm.
Wie erkenne ich in Textaufgaben, ob zwei Ereignisse wirklich unabhängig sind?

Unabhängig sind zwei Ereignisse nur, wenn das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht verändert. In Textaufgaben erkennst du Abhängigkeit oft an „ohne Zurücklegen“, „unter der Bedingung, dass…“ oder an gemeinsamen Ressourcen. Beispiel: Zwei Karten ohne Zurücklegen sind nicht unabhängig.
Welche typischen Fehler passieren bei bedingter Wahrscheinlichkeit, wenn ich das Ereignis vertausche?

Beim Vertauschen verwechselst du oft $P(A\mid B)$ mit $P(B\mid A)$ , obwohl das meist unterschiedliche Werte sind. Das passiert, wenn du die Bedingung „gegeben B“ nicht als neue Grundgesamtheit behandelst. Beispiel: „krank gegeben Test positiv“ ist nicht dasselbe wie „Test positiv gegeben krank“.
Wie entscheide ich bei Kombinatorik-Aufgaben, ob die Reihenfolge wichtig ist?

Die Reihenfolge ist wichtig, wenn verschiedene Anordnungen als unterschiedliche Ergebnisse zählen. Hinweise sind Wörter wie „Reihenfolge“, „Plätze“, „Code“, „Sitzordnung“ oder „nacheinander“. Wenn nur eine Auswahl gefragt ist („Team bilden“, „k aus n wählen“), ist die Reihenfolge egal.
Wie merke ich in Aufgaben, ob Ziehen mit Zurücklegen gemeint ist?

Mit Zurücklegen ist gemeint, dass das gezogene Objekt wieder in die Menge kommt und die Wahrscheinlichkeiten gleich bleiben. Typische Formulierungen sind „mit Zurücklegen“, „wird zurückgelegt“ oder „nach jedem Zug wieder auffüllen“. Ohne solche Hinweise ist in Urnenaufgaben oft „ohne Zurücklegen“ gemeint.

Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln einfach erklärt

Schau dir zuerst zwei grundlegende Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung an:

Laplace-Experiment : Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A ist
$P(A) = \frac{\textcolor{red}{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse für A}}}{\textcolor{blue}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}}$

Baumdiagramm : Um die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis A zu berechnen, bestimmst du alle Pfade, die zu A gehören. Dann multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang jedes Pfades (1. Pfadregel ). Um die verschiedenen Pfade zusammenzufassen, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel )

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Ergebnisse und Ereignisse

Für Ereignisse gibt es einige wichtige Formeln, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Schau sie dir gleich an!

Normierung: Wenn A₁, A₂, A₃, … die verschiedenen Ergebnisse eines Zufallsexperiments sind, dann ist

P(A₁) + P(A₁) + P(A₃) + … = 1

Gegenereignis: Die Wahrscheinlichkeit , dass das Gegenereignis zu A eintritt, also $\overline{A}$ , ist
$\bold{P(\overline{A}) = 1 - P(A)}$

Additionsregel für disjunkte Ereignisse: Zwei Ereignisse A und B sind disjunkt, wenn sie nie gleichzeitig eintreten können. Dann gilt

P(A oder B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Additionsregel für nicht disjunkte Ereignisse:

P(A oder B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Abhängige und unabhängige Ereignisse

Stochastische Unabhängigkeit (Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse): Du nennst zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, so groß ist wie P(A) mal P(B). Als Formel sind A und B statistisch (stochastisch) unabhängig, wenn

P(A ∩ B) = P(A) • P(B) oder anders formuliert: P_B(A) = P(A)

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P_B(A) (Multiplikationsregel für Ereignisse):
$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad \text{oder anders formuliert} \qquad P(A \cap B) = P_B(A) \cdot P(B)$

Satz von Bayes : Für zwei Ereignisse A und B gilt
$P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}$

Bernoulli -Wahrscheinlichkeitsformel

Die Bernoulli Formel sagt dir: Die Wahrscheinlichkeit, bei n Durchgängen genau k Treffer zu ziehen bei einer Trefferwahrscheinlichkeit p, ist

$P(X=\textcolor{red}{k}) = \left( \begin{array}{c} \textcolor{blue}{n}\\\textcolor{red}{k} \end{array}\right) \cdot {\textcolor{orange}{p}}^{\textcolor{red}{k}} \cdot (1-\textcolor{orange}{p}})^{\textcolor{blue}{n}-\textcolor{red}{k}}$

Kombinatorik

Auch zur Kombinatorik solltest du einige Stochastik Formeln kennen:

Permutation ohne Wiederholung : Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte auf n Plätzen anzuordnen:

Permutation mit Wiederholung : n Objekte sind in m Gruppen unterteilt. Die erste Gruppe hat n₁ Objekte, die m-te Gruppe n_m Objekte. Innerhalb einer Gruppe kannst du die Objekte nicht unterscheiden. Dann kannst du die Anzahl der (unterscheidbaren) Möglichkeiten berechnen, die n Objekte anzuordnen:
$\frac{\textcolor{blue}{n}!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...\cdot n_\textcolor{red}{m}!}$
Kombination ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen, wenn du ein Objekt nicht mehrfach wählen darfst:
$\binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{red}{k}}$
Kombination mit Wiederholung (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen, wenn du Objekte mehrfach wählen darfst:
$\binom{\textcolor{blue}{n}+\textcolor{red}{k}-1}{\textcolor{red}{k}}$
Variation ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen und anzuordnen, wenn du ein Objekt nicht mehrfach wählen darfst:
$\frac{\textcolor{blue}{n}!}{(\textcolor{blue}{n}-\textcolor{red}{k})!}$
Variation mit Wiederholung (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen und anzuordnen, wenn du Objekte mehrfach wählen darfst: