Was berechnet man in der Stochastik?

In der Stochastik berechnet man bei Zufallsexperimenten, wie wahrscheinlich bestimmte Ergebnisse oder Ereignisse sind, zum Beispiel „mindestens einmal Treffer“ oder „A oder B“. Außerdem zählt man oft, wie viele mögliche und günstige Ergebnisse es gibt, um daraus Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Wie rechnet man Wahrscheinlichkeitsrechnungen?

Wahrscheinlichkeitsrechnungen löst man, indem man zuerst das gesuchte Ereignis festlegt und dann das passende Modell wählt: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen zählt man „günstig“ und „möglich“, bei mehrstufigen Experimenten nutzt man ein Baumdiagramm und rechnet Pfadwahrscheinlichkeiten durch Multiplizieren und Addieren aus.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A und Ereignis B?

Mit „Ereignis A und Ereignis B“ ist meist gemeint, dass beide gleichzeitig eintreten, also . Sind und unabhängig, rechnet man . Sind sie abhängig, nutzt man für die bedingte Wahrscheinlichkeit: .

Wie berechnet man die Gewinnwahrscheinlichkeit?

Die Gewinnwahrscheinlichkeit berechnet man, indem man „Gewinn“ als Ereignis festlegt und dann die Wahrscheinlichkeit aller Ergebnisse bestimmt, die zu diesem Gewinn zählen. Gibt es mehrere Gewinnmöglichkeiten, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert. Oft geht es schneller über das Gegenereignis: .

Video

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Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln

Mit Formeln zur Wahrscheinlichkeitsrechnung kannst du Wahrscheinlichkeiten ganz leicht ermitteln. Hier siehst du alle wichtigen Formeln auf einen Blick!

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Inhaltsübersicht

Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln einfach erklärt

Schau dir zuerst zwei grundlegende Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung an:

Laplace-Experiment : Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A ist
$P(A) = \frac{\textcolor{red}{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse für A}}}{\textcolor{blue}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}}$

Baumdiagramm : Um die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis A zu berechnen, bestimmst du alle Pfade, die zu A gehören. Dann multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang jedes Pfades (1. Pfadregel ). Um die verschiedenen Pfade zusammenzufassen, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel )

Ergebnisse und Ereignisse

Für Ereignisse gibt es einige wichtige Formeln, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Schau sie dir gleich an!

Normierung: Wenn A₁, A₂, A₃, … die verschiedenen Ergebnisse eines Zufallsexperiments sind, dann ist

P(A₁) + P(A₁) + P(A₃) + … = 1

Gegenereignis: Die Wahrscheinlichkeit , dass das Gegenereignis zu A eintritt, also $\overline{A}$ , ist
$\bold{P(\overline{A}) = 1 - P(A)}$

Additionsregel für disjunkte Ereignisse: Zwei Ereignisse A und B sind disjunkt, wenn sie nie gleichzeitig eintreten können. Dann gilt

P(A oder B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Additionsregel für nicht disjunkte Ereignisse:

P(A oder B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

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Abhängige und unabhängige Ereignisse

Stochastische Unabhängigkeit (Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse): Du nennst zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, so groß ist wie P(A) mal P(B). Als Formel sind A und B statistisch (stochastisch) unabhängig, wenn

P(A ∩ B) = P(A) • P(B) oder anders formuliert: P_B(A) = P(A)

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P_B(A) (Multiplikationsregel für Ereignisse):
$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad \text{oder anders formuliert} \qquad P(A \cap B) = P_B(A) \cdot P(B)$

Satz von Bayes : Für zwei Ereignisse A und B gilt
$P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}$

Bernoulli -Wahrscheinlichkeitsformel

Die Bernoulli Formel sagt dir: Die Wahrscheinlichkeit, bei n Durchgängen genau k Treffer zu ziehen bei einer Trefferwahrscheinlichkeit p, ist

$P(X=\textcolor{red}{k}) = \left( \begin{array}{c} \textcolor{blue}{n}\\\textcolor{red}{k} \end{array}\right) \cdot {\textcolor{orange}{p}}^{\textcolor{red}{k}} \cdot (1-\textcolor{orange}{p}})^{\textcolor{blue}{n}-\textcolor{red}{k}}$

Kombinatorik

Auch zur Kombinatorik solltest du einige Stochastik Formeln kennen:

Permutation ohne Wiederholung : Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte auf n Plätzen anzuordnen:

Permutation mit Wiederholung : n Objekte sind in m Gruppen unterteilt. Die erste Gruppe hat n₁ Objekte, die m-te Gruppe n_m Objekte. Innerhalb einer Gruppe kannst du die Objekte nicht unterscheiden. Dann kannst du die Anzahl der (unterscheidbaren) Möglichkeiten berechnen, die n Objekte anzuordnen:
$\frac{\textcolor{blue}{n}!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...\cdot n_\textcolor{red}{m}!}$
Kombination ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen, wenn du ein Objekt nicht mehrfach wählen darfst:
$\binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{red}{k}}$
Kombination mit Wiederholung (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen, wenn du Objekte mehrfach wählen darfst:
$\binom{\textcolor{blue}{n}+\textcolor{red}{k}-1}{\textcolor{red}{k}}$
Variation ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen und anzuordnen, wenn du ein Objekt nicht mehrfach wählen darfst:
$\frac{\textcolor{blue}{n}!}{(\textcolor{blue}{n}-\textcolor{red}{k})!}$
Variation mit Wiederholung (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen und anzuordnen, wenn du Objekte mehrfach wählen darfst:

n^k

Diese Formeln zur Stochastik gingen dir zu schnell? Dann schau dir ganz in Ruhe unser Video zur Kombinatorik an. Viel Spaß!

Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was berechnet man in der Stochastik?

In der Stochastik berechnet man bei Zufallsexperimenten, wie wahrscheinlich bestimmte Ergebnisse oder Ereignisse sind, zum Beispiel „mindestens einmal Treffer“ oder „A oder B“. Außerdem zählt man oft, wie viele mögliche und günstige Ergebnisse es gibt, um daraus Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.
Wie rechnet man Wahrscheinlichkeitsrechnungen?

Wahrscheinlichkeitsrechnungen löst man, indem man zuerst das gesuchte Ereignis festlegt und dann das passende Modell wählt: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen zählt man „günstig“ und „möglich“, bei mehrstufigen Experimenten nutzt man ein Baumdiagramm und rechnet Pfadwahrscheinlichkeiten durch Multiplizieren und Addieren aus.
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A und Ereignis B?

Mit „Ereignis A und Ereignis B“ ist meist gemeint, dass beide gleichzeitig eintreten, also $A\cap B$ . Sind und unabhängig, rechnet man $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ . Sind sie abhängig, nutzt man für die bedingte Wahrscheinlichkeit: $P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)$ .
Wie berechnet man die Gewinnwahrscheinlichkeit?

Die Gewinnwahrscheinlichkeit berechnet man, indem man „Gewinn“ als Ereignis festlegt und dann die Wahrscheinlichkeit aller Ergebnisse bestimmt, die zu diesem Gewinn zählen. Gibt es mehrere Gewinnmöglichkeiten, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert. Oft geht es schneller über das Gegenereignis: $P(\text{Gewinn})=1-P(\text{kein Gewinn})$ .

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Stochastik verstehen

Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind ein zentrales Werkzeug der Stochastik. Wer sich mit Stochastik beschäftigt, beschreibt Zufallsexperimente und ordnet Ereignisse so, dass passende Rechnungen möglich sind. So erkennst du typische Zusammenhänge wie Abhängigkeit und Unabhängigkeit und kannst Ergebnisse sinnvoll einordnen. Im Statistikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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