Was ist der Unterschied zwischen Einheitsimpuls und Dirac-Delta?

Der Dirac-Delta-Impuls ist ein idealisierter Impuls im Zeitkontinuum mit Fläche 1. Im kontinuierlichen Fall verwendet man „Einheitsimpuls“ oft als Synonym für , im diskreten Fall meint man dagegen typischerweise , also 1 bei und sonst 0.

Warum wird die Faltung mit der Impulsfunktion im Zeitbereich zur Impulsantwort des Systems?

Man erhält die Impulsantwort durch Faltung mit der Impulsfunktion , weil beim Falten das andere Signal „an der Stelle herausgreift“ und sonst nichts beiträgt. Dadurch wirkt als neutrales Element der Faltung, sodass aus wieder wird.

Wann darf man den Anfangswertsatz und den Endwertsatz bei der Impulsantwort anwenden?

Den Anfangswertsatz und Endwertsatz darf man anwenden, wenn die Impulsantwort eine Laplacetransformierte besitzt und die Grenzwerte im Zeitbereich überhaupt existieren. Für den Endwertsatz muss außerdem keine instabilen Pole haben, sonst liefert der Grenzwert keinen sinnvollen Endwert.

Wie beeinflussen Verstärkung und Zeitkonstante beim PT1-Glied die Anfangshöhe der Impulsantwort?

Beim PT1-Glied bestimmt man das Verhältnis für die Anfangshöhe der Impulsantwort. Man sieht, dass eine größere Verstärkung die Anfangshöhe proportional größer macht, eine größere Zeitkonstante sie kleiner macht. Das Vorzeichen von entscheidet dabei, ob die Impulsantwort am Anfang positiv oder negativ startet.

Video

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Impulsantwort

Wichtige Inhalte in diesem Video

Impulsantwort bestimmen

(01:20)

Impulsantwort berechnen im Zeitbereich

(02:03)

Impulsantwort berechnen im Bildbereich

(02:08)

Anfangs- und Endwerte der Impulsantwort

(02:46)

In diesem Artikel geben wir dir einen vollständigen Überblick zur Impulsantwort. Neben grundlegenden Informationen zur Impulsfunktion erfährst du auch, wie du die Impulsantwort im Zeit- und Bildbereich berechnest und wie du die Endwertsätze der Laplacetransformation richtig anwendest. Schau dir unser Video dazu an, in dem wir das Wichtigste in unter fünf Minuten verständlich erklären.

Inhaltsübersicht

Impulsantwort

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(00:14)

Als Impulsantwort wird das Ausgangssignal eines Systems bezeichnet, welches mit einem Impuls angeregt wurde.

Merke:

In diesem Fall ist das Eingangssignal x_e(t) gleich der Impulsfunktion $\delta(t)$ . Das Ausgangssignal x_a(t) entspricht der Impulsantwort.

Die Impulsantwort wird häufig auch als Gewichtsfunktion bezeichnet und wird mit g(t) abgekürzt.

Impulsfunktion

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(00:44)

Darstellung der Impulsfunktion im Zeitbereich

Die Impulsfunktion $\delta(t)\$ beschreibt einen unendlich hohen und unendlich kurzen Impuls an dem Zeitpunkt t ist gleich 0. Dieser Impuls wird auch als Dirac-Impuls bezeichnet.

Im Koordinatensystem wird die unendliche Höhe durch einen Pfeil symbolisiert. Die Länge des Pfeils gibt dabei die Fläche an, die der Impuls mit der x-Achse einschließt. Eine wichtige Eigenschaft, ist, dass die Fläche unter dem Impuls gleich 1 ist.

$\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t)dt}=1$

Das beutet in diesem Fall, dass auch die Laplacetransformierte der Impulsfunktion gleich 1 ist.

$\mathcal{L}\ (\delta(t))=1$

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Impulsantwort bestimmen

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(01:20)

Übersicht der Signalbezeichnungen am Beispiel eines PT1-Systems

Im Folgenden wird die Berechnung der Impulsantwort am Beispiel eines PT1 Systems vorgenommen.

Impulsantwort berechnen im Zeitbereich

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(02:03)

Im Zeitbereich lässt sich die Impulsantwort mithilfe des Faltungsintegrals berechnen, dieses sieht dann so aus:

$x_a(t)=\delta(t)\ \cdot\ g_{PT1}(t)=\int_{0}^{t}{\delta(\tau)\cdot g_{PT1}(\tau)d\tau}=g_{PT1}(t)=g(t)$

$\delta\left(t\right)$ entspricht der Impulsfunktion

$g_{PT1}(\tau)$ entspricht der Übertragungsfunktion des PT1 Systems im Zeitbereich

Die Impulsantwort entspricht also der Übertragungsfunktion des Systems im Zeitbereich.

Impulsantwort berechnen im Bildbereich

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(02:08)

Die Übertragungsfunktion eines PT1-Systems lautet allgemein:

$G_{PT1}(s)\ \ =\frac{K}{T\cdot s+1}$

Die Faltung im Zeitbereich entspricht einer Multiplikation im Bildbereich.

Für die Impulsantwort im Bildbereich ergibt somit aus dem Produkt der Impulsfunktion und der Übertragungsfunktion des Systems:

$X_a(s)\ =\mathcal{L}\ (\delta(t)) \cdot G_{PT1}(s) = 1\cdot\frac{K}{T\cdot s+1}=\frac{K}{T\cdot s+1}= G(s)$

Anfangs- und Endwerte der Impulsantwort

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(02:46)

Um Aussagen über die Parameter des Systems treffen zu können, bietet es sich an, die Anfangs- und Endwerte der Impulsantwort zu bestimmen. Dafür wird der Endwertsatz der Laplacetransformation verwendet. Für den Anfangswert $(t\rightarrow0)$ ergibt sich:

$\lim\limits_{t\rightarrow0}\ g(t)=\lim\limits_{s\rightarrow\infty}\ s\cdot{G(s)\ \ = \lim\limits_{s\rightarrow\infty} \frac{s\cdot K}{T\cdot s+1}=\frac{K}{T}$

Für den Endwert $t\rightarrow\infty$ ergibt sich:

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\ g(t)=\lim\limits_{s\rightarrow0}\ s\cdot{G(s)\ \ =\lim\limits_{s\rightarrow0}\ \ \frac{s\cdot K}{T\cdot s+1}=\frac{0}{1}=0$

Rücktransformation der Impulsantwort in den Zeitbereich [[ jump_to_video 04:07]]

Für die Rücktransformation vom Bild- in den Zeitbereich kann häufig anstatt der Laplacerücktransformation eine Korrespondenztabelle verwendet werden. Mit ihrer Hilfe ergibt sich hier:

$g(t)=\mathcal{L}^{-1}\ (G(s)) = \mathcal{L}^{-1}(\frac{K}{T\cdot s+1})=\frac{K}{T}\cdot\ e^\frac{-t}{T}$

Korrespondenztabelle durch Laplacerücktransformation

Grafische Darstellung der Impulsantwort [[ jump_to_video 04:35]]

Mit den Erkenntnissen aus dem Endwertsatz und Rücktransformation lässt sich die Impulsantwort eines PT1 Systems grafisch darstellen:

Darstellung der Impulsantwort eines PT1-Systems im Zeitbereich

Zu erkennen sind die ermittelten Anfangs- und Endwerte aus dem Endwertsatz der Laplacetransformation für $t\rightarrow0$ und $t\rightarrow\infty$ . Dazwischen folgt die Impulsantwort eines PT1-Glieds einer abfallenden e-Funktion.

Impulsantwort — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen Einheitsimpuls und Dirac-Delta?

Der Dirac-Delta-Impuls $\delta(t)$ ist ein idealisierter Impuls im Zeitkontinuum mit Fläche 1. Im kontinuierlichen Fall verwendet man „Einheitsimpuls“ oft als Synonym für $\delta(t)$ , im diskreten Fall meint man dagegen typischerweise $\delta[n]$ , also 1 bei und sonst 0.
Warum wird die Faltung mit der Impulsfunktion im Zeitbereich zur Impulsantwort des Systems?

Man erhält die Impulsantwort durch Faltung mit der Impulsfunktion $\delta(t)$ , weil $\delta(t)$ beim Falten das andere Signal „an der Stelle herausgreift“ und sonst nichts beiträgt. Dadurch wirkt $\delta(t)$ als neutrales Element der Faltung, sodass aus $\delta(t) * g(t)$ wieder wird.
Wann darf man den Anfangswertsatz und den Endwertsatz bei der Impulsantwort anwenden?

Den Anfangswertsatz und Endwertsatz darf man anwenden, wenn die Impulsantwort eine Laplacetransformierte besitzt und die Grenzwerte im Zeitbereich überhaupt existieren. Für den Endwertsatz muss außerdem $s \cdot G(s)$ keine instabilen Pole haben, sonst liefert der Grenzwert keinen sinnvollen Endwert.
Wie beeinflussen Verstärkung und Zeitkonstante beim PT1-Glied die Anfangshöhe der Impulsantwort?

Beim PT1-Glied bestimmt man das Verhältnis für die Anfangshöhe der Impulsantwort. Man sieht, dass eine größere Verstärkung die Anfangshöhe proportional größer macht, eine größere Zeitkonstante sie kleiner macht. Das Vorzeichen von entscheidet dabei, ob die Impulsantwort am Anfang positiv oder negativ startet.

Signale und Systeme verstehen

Die Impulsantwort gehört zu den Grundlagen von Signalen und Systemen und beschreibt die Reaktion eines Systems auf einen kurzen Impuls. Wer sich mit Signalen und Systemen beschäftigt, untersucht Eingangs- und Ausgangssignale, Übertragungsfunktionen und den Wechsel zwischen Zeitbereich und Bildbereich. So wird klar, wie Systeme auf verschiedene Signale reagieren und wie sich ihr Verhalten mit mathematischen Modellen beschreiben lässt. Im Informatikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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