Faktorisieren

Faktorisieren einfach erklärt

Beim Faktorisieren wandelst du einen Term, der eine Summe ( + ) oder eine Differenz ( – ) ist, in ein Produkt ( ⋅ ) um.  Damit kannst du dann zum Beispiel Nullstellen einfacher finden oder Brüche leichter kürzen .

Du kannst drei Techniken einsetzen, wenn du einen Term faktorisieren möchtest: das Ausklammern, das Umformen des Terms in eine binomische Formel und die Linearfaktorzerlegung .

Wir erklären dir nun alle drei Techniken und geben dir Aufgaben mit Lösungen zum Üben.

1. Faktorisieren durch Ausklammern

Beim Ausklammern suchst du nach einer Zahl oder einem Buchstaben, der in jedem Teil des Terms vorkommt. Die Zahl oder den Buchstaben kannst du dann wegen des Distributivgesetzes  vor die Klammer ziehen.

6a² + 6b = (6a² + 6b) = 6 ⋅ (a² + b)

In beiden Teilen (Summanden ) 6a² und 6b findest du die 6. Du kannst also um beide Teile eine Klammer machen und die 6 vor die Klammer ziehen. Die 6 nennst du dann auch Faktor. 

Beispiele für Faktorisieren durch Ausklammern

Du kannst viele unterschiedliche Terme faktorisieren. In diesem Abschnitt siehst du, auf welche Terme du dabei treffen kannst und worauf du besonders achten musst.

Beispiel 1 – Ausklammern einer Zahl

13a² + 13 = 13 ⋅ (a² + 1)

Achtung: Hier ist der hintere Teil der Summe nur 13 und du klammerst die 13 aus. Deshalb muss in der Klammer an dieser Stelle eine 1 als Platzhalter stehen.

Beispiel 2  – Ausklammern eines Teils einer Zahl (Primfaktorzerlegung )

• Zerlege die Zahlen (12 und 8) zuerst in Primfaktoren:

12x² + 8y = 4 ⋅  3 ⋅  x + 4 ⋅  2 ⋅  y

• Nach der Primfaktorzerlegung erkennst du, dass in beiden Teilen eine 4 steckt. Die kannst du ausklammern:

4 ⋅ 3x + 4 ⋅ 2y = 4 ⋅ (3x² + 2y) 

Beispiel 3 – Faktorisieren eines Buchstaben (einer Variable)

13a + 7ab = a ⋅ (13 + 7b)

Eine Variable (hier: a) kannst du genauso vor die Klammer ziehen wie eine Zahl. 

Beispiel 4 – Faktorisieren von Zahlen und Variablen

13ac + 13ab = 13a ⋅ (c + b)

Du kannst auch eine Kombination aus Variablen und Zahlen (hier: 13a) ausklammern. Wenn du dir unsicher bist, dann klammere einen Teil nach dem anderen aus.

Beispiel 5 – Faktorisieren von Potenzen

13a³ + 7a² = 13 ⋅ a ⋅ a ⋅ a + 7 ⋅ a ⋅ a = 13a² ⋅  a + 7a²

13a² ⋅ a + 7a² = a² ⋅ (13a + 7) 

Bei Potenzen kannst du immer die niedrigere Hochzahl ausklammern (im Beispiel a², weil du a² und a³ hast).

Beispiel 6 – Teilweise Faktorisieren

2ax + 2ab – 3by – 3b = (2ax + 2ab) – (3by + 3b)

(2ax + 2ab) – (3by + 3b) = 2a(x + b) – 3b(y+ 1)

Hier teilst du den Term in zwei kleinere Terme auf (2ax + 2ab und 3by – 3b) und faktorisierst die beiden Teile jeweils einzeln.

Beispiel 7 – Mehrfaches Faktorisieren

• Klammere aus den ersten beiden Teilen (2ax und 10a) 2a aus und aus den beiden anderen Teilen (3bx und 15b) 3b. Für beide Faktorisierungen musst du wieder die Primfaktorzerlegung anwenden.

2ax + 10a – 3bx – 15 b = 2a(x+5) – 3b(x+5)

• Im zweiten Schritt kannst du jetzt die Klammer (x + 5) in den beiden Termen 2a(x+5) und 3b(x+5) finden und ebenfalls als ganze Klammer ausklammern.

2a(x+5) – 3b(x+5) = (2a – 3b)⋅ (x+ 5)

2. Faktorisieren und binomische Formeln

Binomische Formeln benutzt du oft, um Klammern aufzulösen. Du kannst sie aber auch rückwärts anwenden und damit Klammern erzeugen, also binomische Formeln faktorisieren. Dabei gehst du immer auf dieselbe Weise vor:

Beispiel 1 – Erste binomische Formel

Die erste binomische Formel verwendest du, wenn das erste Rechenzeichen ein „+“ ist. Schau dir dazu folgendes Beispiel an:

x² + 8 $\cdot$x + 16

Erinnerung: Die erste binomische Formel lautet (a + b)² =  a² + 2ab + b²

• Schritt 1: Basis berechnen:

a² = x²   ⇒     a = x (denn x $\cdot \; x\; =$x² )

b² = 16   ⇒   b = 4 (denn 16 = 4 $\cdot \; 4$ = 4² ) 

• Schritt 2: Mit den Basen a = x und b = 4 muss als 2ab der Term 2 ⋅ x ⋅ 4 = 8x vorhanden sein. Das ist der Fall. 
• Schritt 3: Mit a = x und b = 4 erhältst du

⇒ x² + 8 $\cdot$x + 16 = (x + 4)²

Beispiel 2 – Zweite Binomische Formel

Die zweite binomische Formel verwendest du, wenn das erste Rechenzeichen ein „–“ ist. Hier siehst du ein Beispiel:

x² – 6 $\cdot$x + 9

Erinnerung: Die zweite binomische Formel lautet (a – b)² =  a² – 2ab + b²

• Schritt 1: Die Basis a ist gleich x (denn x ⋅ x = x²) und die Basis b ist gleich 3 (denn 9 = 3 $\cdot \; 3)$
• Schritt 2: 2ab ist vorhanden mit 6x (= 2 ⋅ 3 ⋅ x)
• Schritt 3: Binomische Formel aufstellen

⇒ x² – 6 $\cdot$x + 9 = (x – 3)²

Beispiel 3 – Dritte binomische Formel

Die dritte binomische Formel verwendest du, wenn der Term nur zwei Teile hat und Ausklammern nicht möglich ist. Schau dir dazu folgendes Beispiel an:

x²  – 25

Erinnerung: Die dritte binomische Formel lautet (a + b)(a – b) =  a² – b²

• Schritt 1: Die Basis a ist gleich x und die Basis b ist gleich 5 (denn $25\; =\; 5\; \cdot \; 5)$
• Schritt 2: Entfällt bei der dritten binomischen Formel, weil es hier kein 2ab gibt.
• Schritt 3: Binomische Formel aufstellen

⇒  x²  –  25= (x + 5)(x – 5)

3. Faktorisieren mit der Linearfaktorzerlegung

Mit der Linearfaktorzerlegung kannst du ein Polynom faktorisieren. Das ist ein Term, in dem ein x vorkommt, zum Beispiel x² – 3x + 5. Wie das genau funktioniert, siehst du in unserem Video dazu!

Besonders nützlich ist die Linearfaktorzerlegung übrigens, wenn du Brüche aus Polynomen vereinfachen möchtest, zum Beispiel . Dabei kannst du nämlich zuerst den Nenner faktorisieren, dann den Zähler und am Ende überprüfen, ob du gleiche Faktoren im Zähler und Nenner hast.

Schau dir gleich das Video dazu an:

Faktorisieren Übungen

Schau dir gleich ein paar Übungen an, mit denen du das Faktorisieren selbst üben kannst. Die Lösungen zu den Aufgaben findest du weiter unten. Du sollst bei jeder Übung das Polynom faktorisieren:

Übung 1   12x + 2y +10 = …

Übung 2   24x + 12xy + 6x = …

Übung 3   4x² – 20xy + 25y² = …

Übung 4   3x⁴ y³ + 13x⁶ y⁴ + 11x⁵ y² z² = …

Übung 5   9x² – 25y² = …

Überprüfe jetzt gleich, ob du zu jeder Übung die richtige Faktorisierung gefunden hast!

Lösung 1: Zahl ausklammern

12x + 2y +10 = (2 · 6 · x + 2 · y + 2 · 5) = 2(6x + y + 5)

Lösung 2: Zahl und Variable faktorisieren

24x + 12xy + 6x = 4 · 6x + 2 · 6xy + 6x  = 6x(4+2y+1)

Lösung 3: zweite binomische Formel

4x² – 20xy + 25y² = (2x)² + 2 · 2x · 5y + (5y)² = (2x–5y)²   

Lösung 4: (Exponenten faktorisieren)

3x⁴ y³ + 13x⁶ y⁴ + 11x⁵ y² z² = 3x⁴ yy² + 13x² x⁴ y² y²+ 11xx⁴ y² z² = x⁴ y² (3y +  13x² y² + 11xz² )

Lösung 5: Polynom faktorisieren mit der dritten binomischen Formel

9x² – 25y² = (3x)² – (5y)² = (3x + 5y)(3x – 5y)

Brüche kürzen

Die Faktorisierung von Termen kann dir oft dabei helfen, Brüche zu kürzen. Schau dir gleich in unserem Video an, wie du dabei vorgehst!