Dieser Artikel erklärt die hypergeometrische Verteilung einfach und verständlich. Außerdem findest du hier eine Übersicht über alle relevanten Formeln vom Erwartungswert bis hin zur Dichte. Das anschauliche Beispiel hilft dir dabei das Thema zu verstehen. Außerdem wird der Unterschied zur Binomialverteilung deutlich.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit verstehst alles in weniger als 3 Minuten? Nach unserem Video zur hypergeometrischen Verteilung kannst du diese Frage hundertprozentig mit „zu 100%“ beantworten!
Hypergeometrische Verteilung einfach erklärt
Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Von der Idee her ist sie sehr nahe mit der Binomialverteilung verwandt. Auch sie verwendet man für Zufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ergebnissen, Erfolg oder Nicht-Erfolg. Während die Binomialverteilung Experimente mit Zurücklegen beschreibt, wird die hypergeometrische Verteilung für Experimente ohne Zurücklegen verwendet.
Hypergeometrische Verteilung Formel
Mathematisch ausgedrückt sieht die hypergeometrische Verteilung so aus:
X ~ HG(N,M,n)
N ist dabei die Anzahl der Elemente insgesamt. M gibt die Anzahl derjenigen Elemente an, die als „Erfolg“ gesehen werden. Klein n steht für die Anzahl an Elementen, die für das Zufallsexperiment gezogen werden. Die wichtigsten wichtigen Formeln in Verbindung mit der hypergeometrischen Verteilung haben wir hier für dich zusammengefasst:
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Hypergeometrischen Verteilung Dichte
Die Formel zur Berechnung der Dichte der hypergeometrischen Verteilung lautet wie folgt:
Um die Dichte zu berechnen, benötigst du wieder die Formel zur Berechnung des Binomialkoeffizienten, die du schon aus unserem Video zur Binomialverteilung kennst. Zur Wiederholung hier noch einmal die Formel:
Wie auch bei der Binomialverteilung, hat die Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung keine einfache Formel. Man muss also auch hier alle möglichen Wahrscheinlichkeiten der Ausprägungen aufsummieren
F(x)=P(X≤x)=
Erwartungswert Hypergeometrische Verteilung
Der Erwartungswert der lässt sich relativ leicht berechnen. Man erhält ihn wie auch bei der Binomialverteilung, indem man den anfänglichen Anteil an Treffern, also M geteilt durch N, mit der Anzahl an Ziehungen multipliziert:
E(X)= n * 
Die Formel für die Varianz ist etwas komplizierter, aber auch nicht sonderlich schwierig zu berechnen.
V(X)= n*
Hypergepmetrische Verteilung Beispiel
Im Normalfall werden Zufallsexperimente betrachtet, bei denen es nur zwei Arten von Kugeln beziehungsweise Möglichkeiten gibt. Ein ausführliches Beispiel zu solchen Ziehungen ohne Zurücklegen findest du in unserem passenden Video
zu Urnenmodellen. Hier spielt die Binomialverteilung eine zentrale Rolle. Mit der hypergeometrischen Verteilung können wir aber auch die Wahrscheinlichkeit für mehrere unterschiedliche Elemente berechen. Somit kann mit dieser diskreten Verteilung auch die Frage geklärt werden, wie wahrscheinlich es ist einen Sechser im Lotto zu bekommen. N ist in diesem Fall 49, da sich 49 Kugeln in der Trommel befinden. M steht für die Anzahl an „Richtigen“, also Zahlen welche einem den Traum zum Millionär erfüllen. In unserem Lotto Beispiel ist M also gleich 6. Klein n sagt uns, wie viele Kugeln wir ziehen und x gibt an wie viele der gezogenen Zahlen „richtig“ sein müssen. Beide Parameter sind wieder 6 in diesem Beispiel. Würden wir die Wahrscheinlichkeit für 3 „Richtige“ berechnen, so wäre x=3.
Setzt man die Werte nun in die Formel ein so erhält man:
Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto beträgt also in etwa 0,00000715%.
Hypergeometrische Verteilung — häufigste Fragen
(ausklappen)
Hypergeometrische Verteilung — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Was ist die hypergeometrische Verteilung im Urnenmodell?Die hypergeometrische Verteilung beschreibt im Urnenmodell die Anzahl der Treffer, wenn man aus einer endlichen Urne ohne Zurücklegen zieht. „Treffer“ sind dabei die als „Erfolg“ definierten Elemente in der Urne und „Nieten“ die übrigen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau
Treffer in 
Ziehungen.
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Wann benutzt man die hypergeometrische Verteilung statt der Binomialverteilung?Die hypergeometrische Verteilung benutzt man statt der Binomialverteilung, wenn ohne Zurücklegen aus einer endlichen Menge gezogen wird und sich die Trefferchance dadurch von Zug zu Zug ändert. Die Binomialverteilung passt dagegen, wenn mit Zurücklegen gezogen wird oder die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch konstant bleibt.
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Wie erkennt man in einer Textaufgabe Gesamtanzahl, Anzahl der Erfolge, Anzahl der Ziehungen und Trefferzahl?Gesamtanzahl
, Erfolge 
, Ziehungen und Trefferzahl erkennt man, indem man die Grundgesamtheit, die „Erfolgs“-Objekte, die Anzahl der Ziehungen und die geforderte Anzahl an Erfolgen im Ergebnis trennt. Konkret: Beim Lotto „6 aus 49“ gilt 
, 
, 
und für „3 Richtige“ ist 
.
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Wie berechnet man bei der hypergeometrischen Verteilung die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine bestimmte Trefferzahl?Die Wahrscheinlichkeit für „mindestens
Treffer“ berechnet man, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten für alle Trefferzahlen ab aufsummiert: 
. Oft ist es rechnerisch kürzer, das Gegenereignis zu nutzen: 
.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen verstehen
Die hypergeometrische Verteilung gehört zu den Wahrscheinlichkeitsverteilungen und beschreibt Zufallsexperimente mit einer festen Anzahl von Ziehungen. Wer sich mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschäftigt, vergleicht verschiedene Modelle für diskrete Zufallsvariablen und ihre Einsatzbereiche. So wird klar, wie sich Annahmen wie Unabhängigkeit oder Ziehen ohne Zurücklegen auf Wahrscheinlichkeiten auswirken. Im Statistikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.