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Definitionsmenge bestimmen

Du musst eine Definitionsmenge bestimmen? Hier erfährst du, welche Regeln es dafür gibt und wie du sie auf verschiedene Funktionstypen anwendest.

Inhaltsübersicht

Wie bestimmst du eine Definitionsmenge?

Die Definitionsmenge beschreibt alle Werte, die du für x in eine Funktion einsetzen darfst. Du bestimmst sie, indem du überlegst, welche Zahlen du nicht in die Funktion einsetzen darfst. Manche Funktionen erlauben jedes beliebige x, andere schließen bestimmte Zahlen aus.

➡️ Beispiel

– Die Funktion $f(x) = {x^2}$ erlaubt jedes beliebige x. Du kannst jede Zahl einsetzen und erhälst immer ein Ergebnis. Die Definitionsmenge umfasst daher alle reellen Zahlen.
– Bei der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ darfst du kein x=0 einsetzen. Denn durch Null zu teilen ist unmöglich. Deshalb besteht die Definitionsmenge hier aus allen Zahlen außer 0. Die Zahl 0 ist in diesem Fall eine Definitionslücke.

Anstatt jeden Wert einzeln zu testen, kannst du dich auf feste Regeln verlassen. Wie du die Definitionsmenge korrekt aufschreibst und welche Regeln für verschiedene Funktionstypen gelten, schauen wir uns in den nächsten Abschnitten an.

So schreibst du eine Definitionsmenge auf

Die Definitionsmenge wird immer mit dem Zeichen $\mathbb{D}$ angegeben. Dahinter beschreibst du genau, welche Zahlen erlaubt sind und welche ausgeschlossen werden müssen.

➡️ Beispiel: Bei der Funktion $f(x) = \frac{2}{x-1}$ darfst du kein x=1 einsetzen, weil der Nenner sonst null wird. In Kurzschreibweise notierst du das so:

$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

So liest du die einzelnen Zeichen:

$\mathbb{R}$ steht für die Menge der reellen Zahlen — also alle Zahlen, die du dir auf einer Zahlengeraden vorstellen kannst (ganze Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen usw.).
Der Querstrich „∖“ bedeutet „außer“.
Die geschweiften Klammern {} zeigen die Werte, die nicht erlaubt sind. In diesem Beispiel heißt das also, dass alle reellen Zahlen Teil der Definitionsmenge sind, außer der Wert 1.

Es gibt auch eine zweite Möglichkeit, dieselbe Definitionsmenge aufzuschreiben:

$\mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1 \}$

Das liest du so: „x gehört zu den reellen Zahlen und ist ungleich 1.“

Wie sehen Definitionsmengen für verschiedene Funktionstypen aus?

Es gibt für jeden Funktionstypen klare Regeln, die du dir merken kannst. In den nächsten Abschnitten siehst du, wie du sie für die wichtigsten Arten von Funktionen bestimmst.

Unterschied: Definitionsbereich und Wertebereich

Der Definitionsbereich sind alle Zahlen, die du für x verwenden darfst. Wenn du alle erlaubten $x$ -Werte in die Funktion einsetzt, bekommst du die entsprechenden $y$ -Werte. Alle diese Ergebnisse zusammen bilden den Wertebereich, also die Zahlen, die die Funktion annehmen kann.

So bestimmst du die Definitionsmenge für ganzrationale Funktionen

Zu den ganzrationalen Funktionen gehören lineare, quadratische und Funktionen höheren Grades. Sie sind immer gleich aufgebaut und bestehen nur aus Termen mit x, die addiert oder multipliziert werden. Beispiele sind

lineare Funktionen:
Funktionen höheren Grades:

Für ganzrationale Funktionen ist die Definitionsmenge ganz einfach zu bestimmen. Denn du darfst jede Zahl für x einsetzen. Die Definitionsmenge ist deshalb immer

$\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Das bedeutet, dass alle reellen Zahlen erlaubt sind — egal ob positiv, negativ, Bruch oder Kommazahl. Ganzrationale Funktionen sind also besonders einfach, weil es keine Definitionslücken gibt.

So bestimmst du die Definitionsmenge für gebrochenrationale Funktionen

Bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es einen wichtigen Unterschied zu ganzrationalen. Sie bestehen immer aus einem Bruch. Deshalb musst du bei der Definitionsmenge beachten, dass der Nenner nicht null werden darf.

Um die Definitionsmenge zu bestimmen, setzt du deshalb den Nenner gleich null und berechnest die Lösungen. Diese Werte musst du dann ausschließen.

➡️ Beispiel:

$f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 4}$

Der Nenner lautet f(x) = x^2 - 4 . Wenn wir ihn gleich null setzen, ergibt sich:

$x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{oder} \quad x = -2$

Damit sind die Werte x=2 und x=-2 nicht Teil der Definitionsmenge. Denn wenn du sie in die Funktion einsetzen würdest, würde im Nenner null stehen — das ist nicht erlaubt. Die Definitionsmenge lautet also

$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

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Auch im Graphen kannst du die Definitionslücken erkennen.

So bestimmst du die Definitionsmenge für Wurzelfunktionen

Bei Wurzelfunktionen gibt es eine klare Regel. Der Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Aus negativen Zahlen kannst du nämlich keine reelle Wurzel ziehen.

Um die Definitionsmenge zu finden, gehst du Schritt für Schritt vor. Zuerst schaust du dir den Term an, der unter der Wurzel steht. Diesen Teil setzt du in eine Ungleichung und schreibst, dass er größer oder gleich null ist. Danach löst du die Ungleichung. Das Ergebnis zeigt dir genau, welche Werte für x erlaubt sind.

➡️ Beispiel 1:

$f(x) = \sqrt{x-2}$

Unter der Wurzel steht x – 2. Diesen Ausdruck setzt du in die Ungleichung. Das heißt, du setzt den Ausdruck größer oder gleich 0:

$x - 2 \geq 0$

Um die Ungleichung zu lösen, rechnest du auf beiden Seiten +2.

$x - 2 +2 \geq 0 +2 \Rightarrow x \geq 2$

Damit lautet die Definitionsmenge:

$\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}$

Das bedeutet, dass du alle Zahlen ab 2 einsetzen darfst. Das kannst du hier im Graphen auch nochmal gut sehen.

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➡️ Beispiel 2:

$f(x) = \sqrt{5-x}$

Hier steht 5 – x unter der Wurzel. Also stellst du die Ungleichung auf. Du setzt also den Ausdruck wieder größer oder gleich null:

$5 - x \geq 0$

Dann rechnest du +x auf beiden Seiten, um die Gleichung zu lösen.

$5 - x + x \geq 0 +x \Rightarrow 5 \geq x$

Wenn du das x links stehen haben möchtest, drehst du das größer oder gleich null Zeichen um.

$x \leq 5$ .

Die Definitionsmenge lautet also:

$\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 5\}$

In diesem Fall sind alle Zahlen bis 5 erlaubt.

So bestimmst du die Definitionsmenge für Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen sind unkompliziert. Egal, welche Zahl du für x einsetzt — der Ausdruck im Exponenten ist immer erlaubt. Deshalb gilt für eine Funktion wie f(x) = e^x immer die Definitionsmenge

$\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Das bedeutet: x kann jede reelle Zahl annehmen.

Logarithmusfunktionen
Anders sieht es bei Logarithmusfunktionen aus. Hier gibt es eine wichtige Einschränkung: Der Ausdruck in der Klammer des Logarithmus muss größer als null sein. Null oder negative Zahlen sind nicht erlaubt.

➡️ Beispiel:

$f(x) = \ln(x-1)$

Hier darf der Ausdruck x – 1 nicht kleiner oder gleich null sein. Du stellst also die Ungleichung auf:

x - 1 > 0

Daraus folgt x > 1. Damit lautet die Definitionsmenge:

$\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}$

Das heißt: x darf jede reelle Zahl sein, solange sie größer als 1 ist. Das kannst du auch am Graphen erkennen.

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Gut zu wissen: Die

e

-Funktion ist die Umkehrfunktion der

ln

-Funktion. Das bedeutet, dass die Definitionsmenge der

e

-Funktion der Wertebereich der ln-Funktion ist – und umgekehrt.

So bestimmst du die Definitionsmenge für trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus
Bei Sinus und Kosinus musst du keine Einschränkungen beachten. Egal, welchen Wert du für x einsetzt — es gibt immer ein Ergebnis. Deshalb gilt:

$\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Tangens
Beim Tangens sieht es anders aus. Er ist als $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ definiert. Da der Nenner niemals null werden darf, musst du alle Werte ausschließen, bei denen cos(x)=0 ist. Das ist bei

$x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{mit} \quad k \in \mathbb{Z}$

der Fall.

Die Definitionsmenge des Tangens lautet also:

$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \tfrac{\pi}{2} + k\pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z} \right\}$

Die Definitionslücken siehst du auch nochmal am Graphen.

Das Wichtigste auf einen Blick

Hier findest du eine Übersicht über die Definitionsmengen der wichtigsten Funktionstypen. So kannst du schnell nachschauen, welche Regeln gelten:

Funktionstyp	Definitionsmenge
Ganzrationale Funktionen	$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Gebrochenrationale Funktionen $f(x) = \tfrac{1}{x-2}$	$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{x \mid \text{Nenner } = 0\}$
Wurzelfunktionen $f(x) = \sqrt{x+3}$	$\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x+3 \geq 0\} = [-3,\infty)$
Exponentialfunktionen	$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Logarithmusfunktionen $f(x) = \ln(x-1)$	\ $\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x-1 > 0\} = (1,\infty)$
Sinus- und Kosinusfunktionen $f(x) = \sin(x)$ $f(x) = \cos(x)$	$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Tangensfunktion $f(x) = \tan(x)$	$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \tfrac{\pi}{2} + k\pi \,\middle\|\, k \in \mathbb{Z} \right\}$

Wertebereich

Neben der Definitionsmenge spielt auch der Wertebereich einer Funktion eine wichtige Rolle. Wie du ihn bestimmst und was es dabei zu beachten gibt, erfährst du in unserem Video dazu.

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