Was ist ein dreidimensionales Koordinatensystem?

Ein dreidimensionales Koordinatensystem ist ein Koordinatensystem, mit dem du Punkte im Raum statt nur in einer Ebene beschreibst. Es hat drei Achsen , und , die sich im Koordinatenursprung (Nullpunkt) schneiden. So kannst du Länge, Breite und Höhe gleichzeitig angeben.

Warum gibt es im dreidimensionalen Koordinatensystem drei Achsen und wie stehen die zueinander?

Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es drei Achsen, weil du drei unabhängige Richtungen im Raum brauchst: vor–zurück, links–rechts und oben–unten. Deshalb stehen die Achsen , und paarweise senkrecht aufeinander. So beeinflusst eine Bewegung in die anderen Richtungen nicht.

Wie zeichne ich ein dreidimensionales Koordinatensystem auf kariertes Papier?

Ein dreidimensionales Koordinatensystem auf kariertem Papier zeichnest du, indem du zuerst zwei Achsen wie in 2D einträgst, zum Beispiel nach rechts und nach oben. Dann zeichnest du die -Achse schräg durch den Nullpunkt, oft entlang der Kästchendiagonalen. Beispiel: 1 Kästchen = 1 Einheit auf allen Achsen.

Wie trage ich einen Punkt mit drei Koordinaten im dreidimensionalen Koordinatensystem ein?

Einen Punkt mit drei Koordinaten trägst du ein, indem du vom Nullpunkt nacheinander die Strecken in -, – und -Richtung abgehst. Bei gehst du 2 Einheiten in -Richtung, dann 3 in -Richtung und danach 4 nach oben in -Richtung. Dort markierst du den Punkt.

Wie zeichne ich einen Vektor als Pfeil im dreidimensionalen Koordinatensystem?

Einen Vektor zeichnest du als Pfeil, indem du einen Startpunkt festlegst, häufig den Nullpunkt, und dann die Komponenten auf , und abträgst. Für gehst du 2 Einheiten in -, 3 in – und 4 in -Richtung. Verbinde Start- und Endpunkt mit einem Pfeil.

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Dreidimensionales Koordinatensystem

Wichtige Inhalte in diesem Video

Dreidimensionales Koordinatensystem einfach erklärt

(00:13)

3D Koordinatensystem erstellen

(00:53)

Punkte und Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem

(01:54)

Du fragst dich, was ein dreidimensionales Koordinatensystem ist und wie es aussieht? Das und noch mehr erfährst du in diesem Beitrag.

Inhaltsübersicht

Dreidimensionales Koordinatensystem einfach erklärt

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(00:13)

Das dreidimensionale Koordinatensystem kannst du dir wie ein zweidimensionales Koordinatensystem vorstellen, das aber eine Achse mehr hat.

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Statt zwei gibt es hier also drei Achsen, die du als x₁, x₂ und x₃ oder x, y und z bezeichnen kannst. Sie stehen alle senkrecht aufeinander. Dabei liegen x₁ und x₂ auf dem Boden und x₃ zeigt in die Höhe.

Sie stellen also einen dreidimensionalen Raum dar. Darin kannst du nicht nur flache Formen (z. B. Rechtecke) zeichnen, sondern auch Körper wie Würfel und Pyramiden .

Der Schnittpunkt aller drei Achsen ist der Nullpunkt. Du nennst ihn auch Koordinatenursprung, genauso wie beim zweidimensionalen Koordinatensystem. Schau dir auch unser Video an, um mehr darüber zu erfahren!

3D Koordinatensystem erstellen

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(00:53)

Um ein dreidimensionales Koordinatensystem zu zeichnen, brauchst du nur 4 Schritte:

Fang mit einem zweidimensionalen Koordinatensystem an und beschrifte die Achsen mit x₂ und x₃.
Es fehlt nur noch die x₁-Achse. Die zeichnest du am einfachsten schräg von links unten nach rechts oben durch die Ecken der Kästchen.

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Ein leeres dreidimensionales Koordinatensystem
Beschrifte jetzt die x₂-Achse und x₃-Achse mit den Einheiten, also mit den Zahlen 1, 2, 3 usw. Am einfachsten ist es, wenn eine Einheit einem Zentimeter entspricht. Das ist meistens der Fall.
Für die x1-Achse ist es am leichtesten, wenn ein schräges Kästchen genauso viel ist wie ein Zentimeter auf den anderen Achsen. Steht an der x₂-Achse also nach einem Zentimeter eine 1, dann schreibst du auch nach einem schrägen Kästchen an der x₁-Achse eine 1.

Übrigens: Wenn das Koordinatensystem kleiner oder größer seien soll, kannst du bei den Einheiten auf den Achsen auch andere Schritte benutzen (z. B. 3 cm = 1).

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Punkte und Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem

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(01:54)

Punkte schreibst du in einem dreidimensionalen Koordinatensystem in der Form (x1 | x2 | x3). Die Werte der jeweiligen Achse geben dabei an, wie weit in dieser Richtung sich der Punkt befindet.

Schau dir das am Beispiel (2 | 3 | 4) an. Um diesen Punkt in das 3D Koordinatensystem einzuzeichnen, gehst du so vor:

Bewege dich vom Nullpunkt aus 2 Schritte auf der x1-Achse in Richtung des Pfeils.
Gehe dann 3 Schritte auf der x2-Achse nach rechts
und schließlich 4 Schritte auf der x3-Achse nach oben.
Zeichne an dieser Stelle den Punkt ins 3D Koordinatensystem ein.

Übrigens: Bei negativen Zahlen musst du dich in die andere Richtung bewegen, gegen den Pfeil auf der Achse — also nach hinten, nach links oder nach unten.

Vektoren im 3 dimensionalen Koordinatensystem schreibst im Gegensatz zu Punkten von oben nach unten, also in der Form $\vec{b}_1= \left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{x_1} \\ \textcolor{blue}{x_2} \\ \textcolor{teal}{x_3} \end{array}\right)$ . Du kannst sie dir als Pfeile im xyz Koordinatensystem vorstellen.

Der Vektor $\vec{b}_1= \left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{teal}{4} \end{array}\right)$ ist zum Beispiel ein Pfeil, der 2 Einheiten nach vorne, 3 nach rechts und 4 Einheiten nach oben verläuft.

Der Vektor kann am Nullpunkt oder an einem anderen Punkt A beginnen.

Dreidimensionales Koordinatensystem — häufigste Fragen

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Was ist ein dreidimensionales Koordinatensystem?

Ein dreidimensionales Koordinatensystem ist ein Koordinatensystem, mit dem du Punkte im Raum statt nur in einer Ebene beschreibst. Es hat drei Achsen , und , die sich im Koordinatenursprung (Nullpunkt) schneiden. So kannst du Länge, Breite und Höhe gleichzeitig angeben.
Warum gibt es im dreidimensionalen Koordinatensystem drei Achsen und wie stehen die zueinander?

Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es drei Achsen, weil du drei unabhängige Richtungen im Raum brauchst: vor–zurück, links–rechts und oben–unten. Deshalb stehen die Achsen , und paarweise senkrecht aufeinander. So beeinflusst eine Bewegung in die anderen Richtungen nicht.
Wie zeichne ich ein dreidimensionales Koordinatensystem auf kariertes Papier?

Ein dreidimensionales Koordinatensystem auf kariertem Papier zeichnest du, indem du zuerst zwei Achsen wie in 2D einträgst, zum Beispiel nach rechts und nach oben. Dann zeichnest du die -Achse schräg durch den Nullpunkt, oft entlang der Kästchendiagonalen. Beispiel: 1 Kästchen = 1 Einheit auf allen Achsen.
Wie trage ich einen Punkt mit drei Koordinaten im dreidimensionalen Koordinatensystem ein?

Einen Punkt mit drei Koordinaten trägst du ein, indem du vom Nullpunkt nacheinander die Strecken in -, – und -Richtung abgehst. Bei $P=(2\mid 3\mid 4)$ gehst du 2 Einheiten in -Richtung, dann 3 in -Richtung und danach 4 nach oben in -Richtung. Dort markierst du den Punkt.
Wie zeichne ich einen Vektor als Pfeil im dreidimensionalen Koordinatensystem?

Einen Vektor zeichnest du als Pfeil, indem du einen Startpunkt festlegst, häufig den Nullpunkt, und dann die Komponenten auf , und abträgst. Für $\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}$ gehst du 2 Einheiten in -, 3 in – und 4 in -Richtung. Verbinde Start- und Endpunkt mit einem Pfeil.

Vektoren

Jetzt kennst du die Grundlagen des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems und kannst Punkte und Vektoren im 3-dimensionalen Koordinatensystem zeichnen. Du willst noch mehr über den dreidimensionalen Raum erfahren? Dann schau dir am besten zunächst unser Video zu Vektoren an!