Abstand zweier Punkte

So berechnest du den Abstand zweier Punkte

Um den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen, brauchst du dich nur an die Formel zu halten.

Für Punkte mit zwei Koordinaten sieht die Formel so aus:

P₁: (x₁|y₁), P₂: (x₂|y₂)
2D:

Bei Punkten mit drei Koordinaten brauchst du diese Formel:

P₁: (x₁|y₁|z₁), P₂: (x₂|y₂|z₂)
3D:

Wie du den Abstand ausrechnest, sehen wir uns jetzt an zwei Beispielen an.

Abstand zweier Punkte: 2D-Beispiel

Rechnen wir jetzt den Abstand d(A,B) zwischen diesen beiden zweidimensionalen Punkten aus: A(−2|4) und B(3|−1).

Schritt 1 — Koordinaten beider Punkte notieren:

• x₁ = −2, y₁ = 4
• x₂ = 3, y₂ = −1

Schritt 2 –Koordinaten in die Formel einsetzen, bei negativen Zahlen Klammern setzen:
in:

• x₂ − x₁ = 3 − (−2)
• y₂ − y₁ = (−1) − 4
• 

Schritt 3 — Differenzen in Klammern ausrechnen:

• 3 − (−2) = 5
• (−1) − 4 = −5

Schritt 4 — Jeden Term quadrieren:

• 5² = 25
• (−5)² = 25

Nach dem Quadrieren sind alle Terme positiv. Das negative Vorzeichen der mittleren Differenz spielt also keine Rolle mehr.

Schritt 5 — Quadrate in der Wurzel addieren:

25 + 25 = 50

Schritt 6 — Wurzel ziehen und sinnvoll runden:

Der Abstand d(A,B) beträgt somit: , also 7,07 Längeneinheiten.

Abstand zweier Punkte: 3D-Beispiel

Sehen wir uns jetzt ein Beispiel für den dreidimensionalen Raum an. Gegeben sind die Punkte C(−1|2|0) und D(3|−1|4). Davon wollen wir den Abstand d(C,D) berechnen.

Schritt 1 –Koordinaten beider Punkte notieren:

• x₁ = −1, y₁ = 2, z₁ = 0
• x₂ = 3, y₂ = −1, z₂ = 4

Schritt 2 — Koordinaten in die Formel einsetzen, bei negativen Zahlen Klammern setzen:

in:

• x₂ − x₁ = 3 − (−1)
• y₂ − y₁ = (−1) − 2
• z₂ − z₁ = 4 − 0
• 

Schritt 3 — Differenzen in Klammern ausrechnen:

• 3 − (−1) = 4
• (−1) − 2 = −3
• 4 − 0 = 4

Schritt 4 — Jeden Term quadrieren:

• 4² = 16
• (−3)² = 9
• 4² = 16

Schritt 5 — Quadrate in der Wurzel addieren:

16 + 9 + 16 = 41

Schritt 6 — Wurzel ziehen und sinnvoll runden:

Das Ergebnis lautet: .

Besonderheiten beim Abstand zweier Punkte

Wenn du den Abstand zweier Punkte berechnest, gibt es zwei Besonderheiten:

• Was ist, wenn beide Punkte aufeinanderliegen?
• Funktioniert die Formel auch, wenn die Punkte vertauscht werden?

Punkte liegen aufeinander

Wenn die beiden Punkte aufeinanderliegen, ist das Ergebnis für den Abstand 0. Das ergibt sich aus aus der Formel .

Denn wenn x₁ und x₂ gleich sind und y₁ und y₂ auch, dann steht unter der Wurzel 0 und das Ergebnis ist ebenfalls 0. Der Abstand beträgt also auch rechnerisch 0 LE.

➡️Beispiel:

• Gegeben: A (3|4), B (3|4)
• Gesucht: Abstand d(A,B)

Rechnung:



d_AB = 0 LE

Reihenfolge in der Formel

Die Formel zieht immer die Koordinaten von A von denen von B ab. Du kannst andersherum aber auch die B-Koordinaten von A abziehen — das Ergebnis ist gleich, denn der Abstand zwischen den zwei Punkten ist derselbe. Mathematisch ergibt sich das durch die Quadrierung unter der Wurzel.

➡️Beispiel:

• Gegeben: A (3|4), B (2|1)
• Gesucht: Abstand d(A,B)

Rechnung:

• Gegeben: B (2|1), A (3|4)
• Gesucht: Abstand d(B,A)

Rechnung:

Übungen: Abstand zweier Punkte

Teste dein Wissen jetzt an diesen drei Aufgaben. Rechne den Abstand zwischen den Punkten auf Papier aus und decke erst danach die Lösungen auf.

Aufgabe 1 — 2D

Gegeben: P(−3|1) und Q(5|−2).
Formel: .

Berechne den Abstand d (P, Q).

Lösung:

• x₂ − x₁ = 5 − (−3) = 8
• y₂ − y₁ = (−2) − 1 = −3
• 82 + (−3)2 = 64 + 9 = 73
• d = √73 ≈ 8,54

Aufgabe 2 — 3D

Gegeben: E(2|−4|2) und F(−1|0|5).
Formel: .

Berechne den Abstand d (E, F).

Lösung:

• x₂ − x₁ = (−1) − 2 = −3
• y₂ − y₁ = 0 − (−4) = 4
• z₂ − z₁ = 5 − 2 = 3
• (−3)2 + 42 + 32 = 9 + 16 + 9 = 34
• d = √34 ≈ 5,83

Aufgabe 3 — 2D

Gegeben: G(−6|−3) und H(−1|9).
Formel: .

Berechne den Abstand d (G, H).

Lösung:

• x₂ − x₁ = (−1) − (−6) = 5
• y₂ − y₁ = 9 − (−3) = 12
• 52 + 122 = 25 + 144 = 169
• d = √169 = 13

Abstand Punkt Gerade

Wie du Abstände zwischen zwei Punkten berechnest, weißt du jetzt! Es gibt aber noch viele weitere Abstände, die du bestimmen kannst, zum Beispiel der Abstand zwischen zwei Geraden, zwischen einem Punkt und einer Ebene oder zwischen einer Gerade und einer Ebene.

Auch für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden gibt es eine Formel. Wie sie lautet und wie genau du diesen Abstand ausrechnest, erfährst du hier!