Wie berechne ich die Strecke zwischen zwei Punkten?

Man berechnet die Strecke (den Abstand) zwischen zwei Punkten, indem man die Differenzen der Koordinaten bildet, diese quadriert, addiert und daraus die Wurzel zieht: . Im 3D-Fall kommt noch unter der Wurzel dazu.

Ist der Abstand derselbe, wenn man die beiden Punkte in der Rechnung vertauscht?

Der Abstand bleibt derselbe, wenn man die Punkte vertauscht, weil beim Vertauschen zwar die Differenzen ihr Vorzeichen wechseln, aber beim Quadrieren unter der Wurzel aus wieder wird. Deshalb ist .

Wann muss man beim Einsetzen der Koordinaten Klammern setzen, wenn negative Zahlen vorkommen?

Klammern setzt man beim Einsetzen immer dann, wenn eine eingesetzte Koordinate negativ ist und in einer Differenz steht, damit das Minuszeichen korrekt „mitgenommen“ wird. Zum Beispiel schreibt man statt und auch statt .

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Abstand zweier Punkte

Wichtige Inhalte in diesem Video

So berechnest du den Abstand zweier Punkte

(00:12)

Abstand zweier Punkte: 2D-Beispiel

(00:48)

Abstand zweier Punkte: 3D-Beispiel

(02:00)

Der Abstand zweier Punkte ist die kürzeste Verbindungslinie zwischen ihnen. Wie du ihn berechnest, zeigen wir dir im Video und in diesem Beitrag!

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Inhaltsübersicht

So berechnest du den Abstand zweier Punkte

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(00:12)

Um den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen, brauchst du dich nur an die Formel zu halten.

Für Punkte mit zwei Koordinaten sieht die Formel so aus:

P₁: (x₁|y₁), P₂: (x₂|y₂)
2D: $d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{x_2} - \textcolor{olive}{x_1})^2 + (\textcolor{magenta}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1})^2}}$

Bei Punkten mit drei Koordinaten brauchst du diese Formel:

P₁: (x₁|y₁|z₁), P₂: (x₂|y₂|z₂)
3D: $d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{x_2} - \textcolor{olive}{x_1})^2 + (\textcolor{magenta}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1})^2 + (\textcolor{red}{z_2} - \textcolor{teal}{z_1})^2}}$

Wie du den Abstand ausrechnest, sehen wir uns jetzt an zwei Beispielen an.

Abstand zweier Punkte: 2D-Beispiel

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(00:48)

Rechnen wir jetzt den Abstand d(A, B) zwischen diesen beiden zweidimensionalen Punkten aus: A(−2|4) und B(3|−1).

Schritt 1 — Koordinaten beider Punkte notieren:

x₁ = −2, y₁ = 4
x₂ = 3, y₂ = −1

Schritt 2 — Koordinaten in die Formel einsetzen, bei negativen Zahlen Klammern setzen:
in: $d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{x_2} - \textcolor{olive}{x_1})^2 + (\textcolor{magenta}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1})^2}}$

x₂ − x₁ = 3 − (−2)
y₂ − y₁ = (−1) − 4
$d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{3} - \textcolor{olive}{(−2)})^2 + (\textcolor{magenta}{(−1)} - \textcolor{blue}{4})^2}}$

Schritt 3 — Differenzen in Klammern ausrechnen:

3 − (−2) = 5
(−1) − 4 = −5

Schritt 4 — Jeden Term quadrieren:

5² = 25
(−5)² = 25

Nach dem Quadrieren sind alle Terme positiv. Das negative Vorzeichen der mittleren Differenz spielt also keine Rolle mehr.

Schritt 5 — Quadrate in der Wurzel addieren:

25 + 25 = 50

Schritt 6 — Wurzel ziehen und sinnvoll runden:

$d = \mathbf{\sqrt{50} = 5\sqrt{2} ≈ 7,07}$

Der Abstand d(A, B) beträgt somit: $d = \mathbf{5\sqrt{2} ≈ 7,07 \text{ LE}}$ , also 7,07 Längeneinheiten.

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Abstand zweier Punkte: 3D-Beispiel

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(02:00)

Sehen wir uns jetzt ein Beispiel für den dreidimensionalen Raum an. Gegeben sind die Punkte C(−1|2|0) und D(3|−1|4). Davon wollen wir den Abstand d(C, D) berechnen.

Schritt 1 — Koordinaten beider Punkte notieren:

x₁ = −1, y₁ = 2, z₁ = 0
x₂ = 3, y₂ = −1, z₂ = 4

Schritt 2 — Koordinaten in die Formel einsetzen, bei negativen Zahlen Klammern setzen:

in: $d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{x_2} - \textcolor{olive}{x_1})^2 + (\textcolor{magenta}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1})^2 + (\textcolor{red}{z_2} - \textcolor{teal}{z_1})^2}}$

x₂ − x₁ = 3 − (−1)
y₂ − y₁ = (−1) − 2
z₂ − z₁ = 4 − 0
$d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{3} - \textcolor{olive}{(−1)})^2 + (\textcolor{magenta}{(−1)} - \textcolor{blue}{2})^2 + (\textcolor{red}{4} - \textcolor{teal}{0})^2}}$

Schritt 3 — Differenzen in Klammern ausrechnen:

3 − (−1) = 4
(−1) − 2 = −3
4 − 0 = 4

Schritt 4 — Jeden Term quadrieren:

4² = 16
(−3)² = 9
4² = 16

Schritt 5 — Quadrate in der Wurzel addieren:

16 + 9 + 16 = 41

Schritt 6 — Wurzel ziehen und sinnvoll runden:

$d = \mathbf{\sqrt{41} ≈ 6,40 \text{ LE}}$

Das Ergebnis lautet: $d = \mathbf{\sqrt{41} ≈ 6,40 \text{ LE}}$ .

Besonderheiten beim Abstand zweier Punkte

Wenn du den Abstand zweier Punkte berechnest, gibt es zwei Besonderheiten:

Was ist, wenn beide Punkte aufeinanderliegen?
Funktioniert die Formel auch, wenn die Punkte vertauscht werden?

Punkte liegen aufeinander

Wenn die beiden Punkte aufeinanderliegen, ist das Ergebnis für den Abstand 0. Das ergibt sich aus der Formel $d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{x_2} - \textcolor{olive}{x_1})^2 + (\textcolor{magenta}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1})^2}}$ .

Denn wenn x₁ und x₂ gleich sind und y₁ und y₂ auch, dann steht unter der Wurzel 0 und das Ergebnis ist ebenfalls 0. Der Abstand beträgt also auch rechnerisch 0 LE.

➡️Beispiel:

Gegeben: A (3|4), B (3|4)
Gesucht: Abstand d(A, B)

Rechnung:
$d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{3} - \textcolor{olive}{3})^2 + (\textcolor{magenta}{4} - \textcolor{blue}{4})^2}}$
$d = \mathbf{\sqrt{0^2 + 0^2}}$
$d = \mathbf{\sqrt{0}}$
d_AB = 0 LE

Reihenfolge in der Formel

Die Formel $d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{x_2} - \textcolor{olive}{x_1})^2 + (\textcolor{magenta}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1})^2}}$ zieht immer die Koordinaten von A von denen von B ab. Du kannst andersherum aber auch die B-Koordinaten von A abziehen — das Ergebnis ist gleich, denn der Abstand zwischen den zwei Punkten ist derselbe. Mathematisch ergibt sich das durch die Quadrierung unter der Wurzel.

➡️Beispiel:

Gegeben: A (3|4), B (2|1)
Gesucht: Abstand d(A,B)

Rechnung:
$d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{2} - \textcolor{olive}{3})^2 + (\textcolor{magenta}{1} - \textcolor{blue}{4})^2}}$
$d = \mathbf{\sqrt{(-1)^2 + (-3)^2}}$
$d = \mathbf{\sqrt{10} ≈ 3,16 \text{ LE}}$

Gegeben: B (2|1), A (3|4)
Gesucht: Abstand d(B,A)

Rechnung:
$d = \mathbf{\sqrt{(\textcolor{orange}{3} - \textcolor{olive}{2})^2 + (\textcolor{magenta}{4} - \textcolor{blue}{1})^2}}$
$d = \mathbf{\sqrt{1^2 + 3^2}}$
$d = \mathbf{\sqrt{10} ≈ 3,16 \text{ LE}}$

Übungen: Abstand zweier Punkte

Teste dein Wissen jetzt an diesen drei Aufgaben. Rechne den Abstand zwischen den Punkten auf Papier aus und decke erst danach die Lösungen auf.

Aufgabe 1 — 2D

Gegeben: P(−3|1) und Q(5|−2).
Formel: $d = \mathbf{\sqrt{({x_2} - {x_1})^2 + ({y_2} - {y_1})^2}}$ .

Berechne den Abstand d(P, Q).

Lösung:

x₂ − x₁ = 5 − (−3) = 8
y₂ − y₁ = (−2) − 1 = −3
82 + (−3)2 = 64 + 9 = 73
d = √73 ≈ 8,54

Aufgabe 2 — 3D

Gegeben: E(2|−4|2) und F(−1|0|5).
Formel: $d = \mathbf{\sqrt{({x_2} - {x_1})^2 + ({y_2} - {y_1})^2 + ({z_2} - {z_1})^2}}$ .

Berechne den Abstand d(E, F).

Lösung:

x₂ − x₁ = (−1) − 2 = −3
y₂ − y₁ = 0 − (−4) = 4
z₂ − z₁ = 5 − 2 = 3
(−3)2 + 42 + 32 = 9 + 16 + 9 = 34
d = √34 ≈ 5,83

Aufgabe 3 — 2D

Gegeben: G(−6|−3) und H(−1|9).
Formel: $d = \mathbf{\sqrt{({x_2} - {x_1})^2 + ({y_2} - {y_1})^2}}$ .

Berechne den Abstand d(G, H).

Lösung:

x₂ − x₁ = (−1) − (−6) = 5
y₂ − y₁ = 9 − (−3) = 12
52 + 122 = 25 + 144 = 169
d = √169 = 13

Zusammenfassung — Abstand zweier Punkte

Hier siehst du die wichtigsten Grundlagen zusammengefasst:

Das Bild zeigt einen Lernzettel, auf dem alles wichtige zu dem Thema Abstand zweier Punkte dargestellt ist. Für Schüler der Klasse 11/12/13.

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Du kannst dir die Übersicht auch hier kostenlos herunterladen!

Abstand zweier Punkte — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie berechne ich die Strecke zwischen zwei Punkten?

Man berechnet die Strecke (den Abstand) zwischen zwei Punkten, indem man die Differenzen der Koordinaten bildet, diese quadriert, addiert und daraus die Wurzel zieht: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ . Im 3D-Fall kommt noch unter der Wurzel dazu.
Ist der Abstand derselbe, wenn man die beiden Punkte in der Rechnung vertauscht?

Der Abstand bleibt derselbe, wenn man die Punkte vertauscht, weil beim Vertauschen zwar die Differenzen ihr Vorzeichen wechseln, aber beim Quadrieren unter der Wurzel aus wieder wird. Deshalb ist .
Wann muss man beim Einsetzen der Koordinaten Klammern setzen, wenn negative Zahlen vorkommen?

Klammern setzt man beim Einsetzen immer dann, wenn eine eingesetzte Koordinate negativ ist und in einer Differenz steht, damit das Minuszeichen korrekt „mitgenommen“ wird. Zum Beispiel schreibt man statt und auch statt .

Abstand Punkt Gerade

Wie du Abstände zwischen zwei Punkten berechnest, weißt du jetzt! Es gibt aber noch viele weitere Abstände, die du bestimmen kannst, zum Beispiel den Abstand zwischen zwei Geraden , zwischen einem Punkt und einer Ebene oder zwischen einer Geraden und einer Ebene.

Auch für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden gibt es eine Formel. Wie sie lautet und wie genau du diesen Abstand ausrechnest, erfährst du hier !