Für viele Anwendungen in der Mechanik ist es wichtig, den Schwerpunkt berechnen zu können. Falls du dir mit der Schwerpunktberechnung noch schwertust, bist du hier genau richtig. Wir erklären dir, wie du über die Infinitesimalrechnung ein Integral bildest, mit welchem du über einige Vereinfachungen schließlich den Flächenschwerpunkt berechnen kannst.
Inhaltsübersicht
Schwerpunkt berechnen einfach erklärt
Zunächst müssen wir klären, was der Schwerpunkt überhaupt ist. Definiert ist dieser als Angriffspunkt der Gewichtskraft. Die grundlegende Überlegung ist: An diesem Punkt, darf es kein Moment, also keine Drehung, resultierend aus der Gewichtskraft geben! Nehmen wir als Beispiel einen Stift: Bei diesem finden wir den Schwerpunkt intuitiv nahe der Mitte. Doch wie gehen wir bei komplexen Körpern vor? Um dieser Frage nachzugehen, schauen wir uns zunächst die Herleitung des Flächenschwerpunktes an.
Schwerpunkt berechnen über die Infinitesimalrechnung
Damit wir den Flächenschwerpunkt berechnen können, betrachten wir zunächst mit Hilfe der sogenannten Infinitesimalrechnung ein Integral, das den Punkt in der Theorie exakt beschreibt. Doch das Schwerpunkt Integral direkt zu lösen ist meistens zu aufwendig. Deshalb werden einige Annahmen und Tricks verwendet, um das Ganze zu vereinfachen.
Zu Beginn machen wir zwei Annahmen, die wir in der Statik häufig aufstellen:
- Unser Körper hat eine konstante Dichte. Das heißt, der Schwerpunkt ist jetzt nicht mehr von der Dichte abhängig, da diese überall gleich ist.
- Wir betrachten nur den ebenen Fall: Die z-Achse fällt also weg und unser Körper wird zu einer Fläche.
Deshalb müssen wir jetzt nur noch den Flächenschwerpunkt betrachten.
Aus diesen Annahmen heraus erkennst du sicher, dass wir nur noch die x- und y-Koordinate bestimmen müssen, um den Schwerpunkt zu finden.
Dadurch ergibt sich ein vereinfachtes Integral:
Das sieht ganz schön komplex aus, oder? Deshalb werden wir das ganze gleich einmal mit einem Trick vereinfachen: Das Integral beschreibt im Endeffekt nur die Summe über ganz kleine Stücke. Und die Gesamtfläche wiederum lässt sich ja bekanntermaßen als Summe der Einzelflächen darstellen.
Daraus ergibt sich dann ein einfacher Quotient aus zwei Summen:
Schauen wir uns einmal den oberen Teil des Bruches an: Die meisten Formen setzen sich ja aus verschiedenen Teilen wie Rechtecken und Dreiecken zusammen. Deshalb müssen wir vorerst die betrachtete Fläche in einfachere Teilflächen, von denen wir die Schwerpunktkoordinaten kennen, aufteilen. Wenn wir nun eine Fläche haben, die sich aus Dreiecken und Rechtecken zusammensetzt, können wir diese berechnen, indem wir uns die Punkte anschauen, an denen die Schwerpunkte der Dreiecke und Rechtecke liegen. Den eines Rechtecks kannst du dir sicher selbst erschließen:
Er liegt bei jeweils der halben Seitenlänge. Wichtig ist, dass es dabei immer um den Abstand des Schwerpunkts zum gewählten ursprünglichen Koordinatensystem geht und, dass dieser dann mit der gewählten Teilfläche multipliziert werden muss.
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Schwerpunkt bestimmen bei negativen Flächen
Mit dieser Formel können wir sogar für sogenannte „negative“ Flächen den Schwerpunkt berechnen. Du fragst dich, was das sein soll? Am besten schauen wir uns dazu ein Rechteck an, bei dem ein kleineres Rechteck oben rechts in der Ecke herausgeschnitten wurde. Du kannst dann einfach den Schwerpunkt des großen Rechtecks nehmen und den des kleineren davon abziehen.
Bis jetzt haben wir nur den oberen Teil des Bruches betrachtet. Der untere Teil sieht schon etwas einfacher aus. Er beschreibt die Fläche des gesamten Körpers, mit welcher wir im Folgenden den Gesamtschwerpunkt berechnen können. Beim vorhin genannten Beispiel bedeutet das, dass man die Fläche des kleineren Rechtecks von der Fläche des gesamten Rechtecks abzieht.
Bei dieser Vorgehensweise bietet es sich an, das ganze erst für die x-Richtung und dann für die y-Richtung zu machen. Das heißt, du betrachtest erst den Abstand des Schwerpunkts in x-Richtung und dann in y-Richtung.
Schwerpunkt berechnen Beispiel
Jetzt wollen wir das Gelernte einmal anwenden und betrachten die Schwerpunktberechnung anhand des genannten Beispiels. Dafür nehmen wir folgende Zahlenwerte an: Das große Rechteck hat die Höhe 
und die Breite 
. Das kleinere Rechteck hat die Höhe 
und die Breite 
.
Unser Koordinatensystem liegt jetzt genau unten links in der Ecke. Betrachten wir jetzt erst die x-Richtung: Der Schwerpunkt des großen Rechtecks in x-Richtung ist 
. Der Schwerpunkt des kleinen Rechtecks liegt bei 
. Jetzt brauchen wir noch die einzelnen Flächen: das große Rechteck hat die Fläche 
und das kleine 
. Jetzt setzen wir das einfach in unsere Formel ein:
Der Schwerpunkt liegt also in x-Richtung ungefähr 
von der linken Ecke entfernt.
Für die y-Achse erfolgt die Rechnung genauso. Probiere das doch gleich mal selbst aus. So erhältst du dann ganz einfach den Gesamtschwerpunkt.
Zum Schluss noch ein Tipp: Versuch dir am besten die Schwerpunkte von Dreieck, Rechteck und Kreis zu merken, da diese drei Formen nicht sehr komplex sind und sich aus diesen fast alle Figuren zusammensetzen lassen.
Schwerpunkt berechnen — häufigste Fragen
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Schwerpunkt berechnen — häufigste Fragen
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Was ist der Schwerpunkt eines Dreiecks?Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden (Medianen). Seitenhalbierende sind Geraden vom Eckpunkt zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Der Schwerpunkt liegt auf jeder Seitenhalbierenden in einem festen Verhältnis: Er ist vom Eckpunkt aus bei zwei Dritteln der Seitenhalbierenden.
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Wo liegt der Schwerpunkt eines Rechtecks?Der Schwerpunkt eines Rechtecks liegt genau in der Mitte der Fläche, also am Schnittpunkt der beiden Diagonalen. In einem Koordinatensystem mit Ursprung in einer Ecke hat der Schwerpunkt die Abstände „halbe Breite“ in x-Richtung und „halbe Höhe“ in y-Richtung.
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Von welchem Punkt aus misst man die Abstände zum Schwerpunkt im Koordinatensystem?Die Abstände zum Schwerpunkt misst man vom Ursprung des gewählten Koordinatensystems aus. Wichtig ist, dass für alle Teilflächen immer derselbe Ursprung verwendet wird, damit die Schwerpunktkoordinaten vergleichbar sind. Der Ursprung kann frei gewählt werden, zum Beispiel in einer Ecke der Gesamtfläche.
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Wie berechnet man den Schwerpunkt, wenn ein Teil der Fläche ausgeschnitten ist?Den Schwerpunkt bei einer ausgeschnittenen Fläche berechnet man, indem man die ausgeschnittene Teilfläche wie eine „negative“ Fläche behandelt. Dafür zieht man im Zähler die Beiträge „Schwerpunktkoordinate mal Fläche“ des Ausschnitts ab und im Nenner die Fläche des Ausschnitts. Die Schwerpunktlage des Ausschnitts bestimmt man wie bei einer normalen Teilfläche.
Statik verstehen
Die Schwerpunktberechnung gehört zur Statik und ist wichtig, um Kräfte und ihre Wirkung auf Bauteile zu beschreiben. Du ordnest in der Statik Kräfte, Momente und Lager an einem System und arbeitest mit klaren Skizzen und Koordinaten. So wird verständlich, wann ein Körper im Gleichgewicht ist und wie sich Belastungen im Bauteil verteilen. Weitere Videos dazu findest du in unserem Ingenieurwissenschaftenbereich.