Wann kann ich einen Bruch erst vereinfachen statt die Quotientenregel zu nutzen?

Du kannst einen Bruch zuerst vereinfachen, wenn sich ein gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner komplett kürzen lässt. Dadurch wird die Funktion einfacher und du brauchst oft keine Quotientenregel mehr. Zum Beispiel wird zu (für ), dann ist die Ableitung .

Wie erkenne ich, ob ich Quotientenregel oder Kettenregel brauche?

Du brauchst die Quotientenregel bei einem echten Bruch und die Kettenregel bei einer Verschachtelung . Ein Bruch hat klaren Zähler und Nenner, eine Kette hat eine „Funktion in einer Funktion“. Zum Beispiel ist ein Quotient, aber ist eine Kette.

Welche Fehler passieren oft beim Minus in der Quotientenregel?

Ein häufiger Fehler ist, das Minus in zu vergessen oder beim Ausmultiplizieren falsch zu verteilen. Das passiert besonders, wenn oder aus mehreren Termen besteht. Zum Beispiel muss aus wirklich werden.

Wie leite ich einen Bruch ab, wenn im Zähler ein Produkt steht?

Du leitest einen Bruch mit Produkt im Zähler ab, indem du im Zähler zuerst die Produktregel für anwendest und dann die Quotientenregel nutzt. Setze also und berechne . Danach gilt .

Was muss ich beim Ableiten beachten, wenn der Nenner null werden kann?

Wenn der Nenner null werden kann, ist die Funktion an diesen Stellen nicht definiert und dort gibt es auch keine Ableitung. Deshalb müssen diese -Werte aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, und das gilt auch nach dem Ableiten weiter. Zum Beispiel ist nur für definiert, ebenso .

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Quotientenregel

Wichtige Inhalte in diesem Video

Quotientenregel einfach erklärt

(00:12)

Quotientenregel Ableitung Beispiel

(00:58)

Du willst wissen, wie die Ableitung mit der Quotientenregel funktioniert? Dann bist du hier genau richtig! Wenn du dich beim Lernen lieber zurücklehnst, dann schau dir doch unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Quotientenregel einfach erklärt

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(00:12)

Du benötigst die Quotientenregel immer dann, wenn du einen Bruch von Funktionen ableiten willst. Das heißt, wenn im Zähler (oben) und im Nenner (unten) ein x vorkommt.

Deine Funktion f(x) sieht also so aus:

$f(x) = \frac{\textcolor{red}{g(x)}}{\textcolor{blue}{h(x)}} \qquad \underrightarrow{vereinfacht} \qquad f = \frac{\textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}}$

Mit dieser Formel kannst du die Ableitung ganz leicht bestimmen:

Quotientenregel Formel

$f = \frac{\textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}} \quad\Longrightarrow\quad f' = \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2}$

Die Regel lautet ausgesprochen: Nenner mal Zähler abgeleitet minus Nenner abgeleitet mal Zähler, geteilt durch Nenner zum Quadrat. Oder kurz:

NAZ minus ZAN durch Nenner ins Quadrat

Quotientenregel Ableitung Beispiel

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(00:58)

Am besten schaust du dir direkt ein Beispiel dazu an.

Du sollst folgende Funktion mit der Quotienten regel ableiten:

$f(x) = \frac{\textcolor{red}{x^2+4x+1}}{\textcolor{blue}{x}}$

Dazu gehst du am besten wie folgt vor:

Leite den Zähler g und den Nenner h ab. Dazu benötigst du die Potenzregel .
$\begin{align*} \textcolor{red}{g = x^2+4x+1} \qquad &\underrightarrow{ableiten} \qquad \textcolor{orange}{g' = 2x+4} \\ \textcolor{blue}{h = x} \qquad &\underrightarrow{ableiten} \qquad \textcolor{teal}{h' = 1} \end{align*}$
Setze deine Ergebnisse in die Formel ein. Vergiss dabei nicht Klammern um deine Funktionen zu setzen!
$\begin{align*} f' &= \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2} \\ f' &= \frac{\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{orange}{(2x+4)} - \textcolor{teal}{1} \cdot \textcolor{red}{(x^2+4x+1)}}{\textcolor{blue}{x}^2} \end{align*}$
Vereinfache jetzt deinen Term. Wenn du dich darin noch unsicher fühlst, dann schau dir doch einfach unser extra Video dazu an.
$\begin{align*} f' &= \frac{\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{orange}{(2x+4)} - \textcolor{teal}{1} \cdot \textcolor{red}{(x^2+4x+1)}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ f' &= \frac{2x^2+4x - x^2 -4x -1}{x^2} \\ f' & = \frac{x^2-1}{x^2}\end{align*}$

Die Ableitung von f ist also:

$f(x) = \frac{x^2+4x+1}{x} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2}$

Wenn du das Beispiel verstanden hast, dann versuch dich doch mal an folgender Aufgabe:

Quotientenregel Ableitung Aufgabe

Du sollst diese Funktion mit der Quotientenregel ableiten:

$f(x) = \frac{\textcolor{red}{e^x}}{\textcolor{blue}{2x+1}}$

Gehe dabei vor wir bei dem Beispiel.

Leite den Zähler g und Nenner h ab.
$\begin{align*} \textcolor{red}{g = e^x} \qquad &\underrightarrow{ableiten} \qquad \textcolor{orange}{g' = e^x} \\ \textcolor{blue}{h = 2x+1} \qquad &\underrightarrow{ableiten} \qquad \textcolor{teal}{h' = 2} \end{align*}$
Setze deine Ergebnisse in die Formel ein.
$\begin{align*} f' &= \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2} \\ f' &= \frac{\textcolor{blue}{(2x+1)} \cdot \textcolor{orange}{e^x} - \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{red}{e^x}}{\textcolor{blue}{(2x+1)}^2} \end{align*}$
Vereinfache.
$\begin{align*} f' &= \frac{\textcolor{blue}{(2x+1)} \cdot \textcolor{orange}{e^x} - \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{red}{e^x}}{\textcolor{blue}{(2x+1)}^2} \\ f' &= \frac{e^x((2x+1)-2)}{(2x+1)^2} \\ f' &= \frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2} \\ \end{align*}$

Die Ableitung von f ist also:

$f(x) = \frac{e^x}{2x+1} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad \frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2}$

Weitere Aufgaben findest du noch in unserem Video zum Thema Brüche ableiten .

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Quotientenregel — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wann kann ich einen Bruch erst vereinfachen statt die Quotientenregel zu nutzen?

Du kannst einen Bruch zuerst vereinfachen, wenn sich ein gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner komplett kürzen lässt. Dadurch wird die Funktion einfacher und du brauchst oft keine Quotientenregel mehr. Zum Beispiel wird $\frac{x^2+4x}{x}$ zu (für $x \neq 0$ ), dann ist die Ableitung .
Wie erkenne ich, ob ich Quotientenregel oder Kettenregel brauche?

Du brauchst die Quotientenregel bei einem echten Bruch $\frac{g(x)}{h(x)}$ und die Kettenregel bei einer Verschachtelung . Ein Bruch hat klaren Zähler und Nenner, eine Kette hat eine „Funktion in einer Funktion“. Zum Beispiel ist $\frac{e^x}{2x+1}$ ein Quotient, aber ist eine Kette.
Welche Fehler passieren oft beim Minus in der Quotientenregel?

Ein häufiger Fehler ist, das Minus in $h\cdot g' - h'\cdot g$ zu vergessen oder beim Ausmultiplizieren falsch zu verteilen. Das passiert besonders, wenn oder aus mehreren Termen besteht. Zum Beispiel muss aus wirklich werden.
Wie leite ich einen Bruch ab, wenn im Zähler ein Produkt steht?

Du leitest einen Bruch mit Produkt im Zähler ab, indem du im Zähler zuerst die Produktregel für anwendest und dann die Quotientenregel nutzt. Setze also $g(x)=u(x)\cdot v(x)$ und berechne . Danach gilt $f'(x)=\frac{h\cdot g' - h'\cdot g}{h^2}$ .
Was muss ich beim Ableiten beachten, wenn der Nenner null werden kann?

Wenn der Nenner null werden kann, ist die Funktion an diesen Stellen nicht definiert und dort gibt es auch keine Ableitung. Deshalb müssen diese -Werte aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, und das gilt auch nach dem Ableiten weiter. Zum Beispiel ist $\frac{1}{x}$ nur für $x \neq 0$ definiert, ebenso $\frac{-1}{x^2}$ .

Weitere Ableitungsregeln

Die Quotientenregel ist nur eine von vielen Ableitungsregeln. Damit du alle Funktionen richtig ableiten kannst, musst du auch noch andere Regeln beherrschen.

Ableitungsregel	Funktion	Ableitung
Produktregel	$f(x)=g(x) \cdot h(x)$	$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
Summenregel
Differenzregel
Kettenregel		$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$
Potenzregel		$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
Faktorregel	$f(x)=a\cdot g(x)$	$f'(x)=a \cdot g'(x)$