Was sagt mir die Richtungsableitung an einer Stelle genau?

Die Richtungsableitung gibt dir die lokale Änderungsrate von f an x₀ in Richtung v. Sie beschreibt also, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn du dich von x₀ aus ein kleines Stück in diese Richtung bewegst. Bei zwei Variablen entspricht das der Steigung der Tangente der Schnittkurve.

Wie berechne ich die Richtungsableitung direkt aus der Definition mit dem Grenzwert?

Du setzt x₀ und den Richtungsvektor v in ein und vereinfachst den Bruch. Danach berechnest du den Grenzwert für . Im Beispiel und ergibt sich .

Wann ist die Richtungsableitung dasselbe wie eine partielle Ableitung?

Die Richtungsableitung ist genau dann eine partielle Ableitung, wenn v ein Basisvektor eᵢ ist. Dann bewegst du dich nur in Richtung der i-ten Koordinate, alle anderen Koordinaten bleiben gleich. Es gilt dann .

Wie berechne ich die Richtungsableitung mit dem Gradienten und dem Skalarprodukt?

Wenn f stetig total differenzierbar ist, berechnest du als Skalarprodukt von Gradient und Richtung: . Dabei muss v die Länge 1 haben. Praktisch: erst bestimmen, v normieren und dann das Skalarprodukt ausrechnen.

Warum muss ich den Richtungsvektor vorher auf Länge 1 normieren?

Du normierst v, damit die Richtungsableitung wirklich die Änderung pro Schrittweite 1 in diese Richtung misst. Ist v länger als 1, würdest du in der Definition mit bei gleichem h einen größeren Schritt machen und die Änderungsrate würde entsprechend verfälscht. Deshalb nutzt man .

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Richtungsableitung

Wichtige Inhalte in diesem Video

Definition: Richtungsableitung

(01:00)

Bedeutung der Richtungsableitung

(00:22)

Richtungsableitung und partielle Ableitungen

(01:16)

Richtungsableitung berechnen

(01:31)

Beispiel: Richtungsableitung berechnen

(01:54)

Die Richtungsableitung gibt die lokale Änderungsrate des Funktionswertes einer reellwertigen Funktion bei einer Änderung der Funktionsvariablen in eine vorgegebene Richtung an. Entspricht diese Richtung derjenigen, des -ten Basisvektors, so ist die Richtungsableitung gleich der -ten partiellen Ableitung. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit lässt sich auch mithilfe des Gradienten die Richtungsableitung berechnen.

Das Wichtigste rund um dieses Thema haben wir für Dich in unserem Video zusammengefasst!

Inhaltsübersicht

Definition: Richtungsableitung

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(01:00)

Sei $U\subset \mathbb{R}^n$ offen und $f:\ U\rightarrow\mathbb{R}$ eine reellwertige Funktion.

Sei weiterhin $x_0\in\ U$ ein Punkt aus und $v \in \mathbb{R}^n$ ein Vektor mit $\parallel\ v\parallel\ =1$ . Existiert der Grenzwert

$D_vf\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{f{(x}_0+h\cdot v)-f(x_0)}{h}$

so wird dieser Wert als die Richtungsableitung von im Punkt x_0 in Richtung bezeichnet.

Schreibweisen

Gelegentlich werden statt $D_vf\left(x_0\right)$ auch folgende Schreibweisen verwendet:

$\nabla_vf\left(x_0\right)$

$\partial_vf\left(x_0\right)$

$\frac{\partial f\left(x_0\right)}{v}$

$f_v^\prime\left(x_0\right)$

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Richtungsableitung Beispiel

Zur Verdeutlichung soll in einem Beispiel konkret gezeigt werden, wie die Richtungsableitung einer Funktion anhand der Definition berechnet werden kann. Hierzu soll die Ableitung für die Funktion $f\left(x,y\right)=x^2+y^2$ an der allgemeinen Stelle $x_0=\left(x,y\right)$ in Richtung $v = \left(1,1 \right)$ bestimmt werden.
Einsetzen in die Definition liefert:

$D_vf\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{\left(x+h\right)^2+\left(y+h\right)^2-x^2-y^2}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{2xh+h^2+2yh+h^2}{h}$

= 2x + 2y

Einseitige Richtungsableitung

Analog zur einseitigen Ableitung reellwertiger Funktionen einer Variablen lassen sich auch einseitige Richtungsableitungen definieren:

$D_v^+f\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\ \frac{f{(x}_0+h\cdot v)-f(x_0)}{h}$

$D_v^-f\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\nearrow0}\ \frac{f{(x}_0+h\cdot v)-f(x_0)}{h}$

Bedeutung der Richtungsableitung

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(00:22)

Aus der Definition der Richtungsableitung lassen sich gewisse Ähnlichkeiten zum Differentialquotienten und zur Definition der partiellen Ableitung einer Funktion ablesen. Diese spiegeln sich auch in der Bedeutung der Richtungsableitung wieder.

Für Funktionen einer Variablen gibt der Differentialquotient bekannterweise die lokale Änderungsrate des Funktionswertes an der untersuchten Stelle an. Werden reellwertige Funktionen mehrerer Variablen untersucht, so geben die partiellen Ableitungen die lokale Änderungsrate bei einer Bewegung in eine der Koordinatenrichtungen an. Sie sind somit ein Spezialfall der Richtungsableitungen. Diese geben nämlich die lokale bzw. momentane Änderungsrate in eine durch den Vektor vorgegebene Richtung an.

Richtungsableitung und partielle Ableitungen

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(01:16)

Ist dieser vorgegebene Richtungsvektor beispielsweise der -te Basisvektor e_i , so gilt für die Ableitung in diese Richtung an der Stelle $x_0={(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n})$ :

$D_{e_i}f\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{f{(x}_0+h\cdot e_i)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{f{(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i}+h,\ldots,x_{0_n})-f{(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n})}{h}$

Dies entspricht gerade der -ten partiellen Ableitung von in x_0 :

$D_{e_i}f\left(x_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)$

Wird eine reellwertige Funktion betrachtet, die von zwei Variablen abhängt, so kann deren Graph als dreidimensionale Hügellandschaft angesehen werden und die Bedeutung der Richtungsableitung lässt sich in diesem Fall gut veranschaulichen. Die – und -Komponente des Graphen sind die beiden Variablen der Funktion und die -Komponente ist der Funktionswert an dieser Stelle. Die Richtungsableitung in Richtung gibt dann die Steigung der Hügellandschaft an, wenn man sich von der Stelle $x_0={(x}_{0_1},x_{0_2})$ aus in die Richtung des Vektors bewegen würde. Wird der Funktionsgraph mit einer Ebene geschnitten, die den Punkt $\left(x_0,f(x_0)\right)$ enthält, senkrecht auf der –-Ebene steht und in Richtung des Vektors verläuft, so ergibt sich eine Schnittkurve, deren Tangentensteigung an der Stelle x_0 gerade die gesuchte Richtungsableitung ist.

Richtungsableitung an mehrdimensionalen Graph, mehrdimensionaler Graph, dreidimensionaler Graph, Hügellandschaft, Tangentensteigung — Richtungsableitung: Steigung der Tangente (blau), Schnittkurve (gelb) des Funktionsgraphen (blau), Schnittebene in Richtung v

Richtungsableitung berechnen

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(01:31)

In einem Beispiel wurde bereits gezeigt wie mittels der Definition die Richtungsableitung einer Funktion berechnet werden kann. Allerdings muss hierzu ein Grenzwert berechnet werden, was nicht immer so einfach gelingt, wie in dem gezeigten Beispiel. Daher wird die Richtungsableitung meist mithilfe des Gradienten der Funktion bestimmt. Es gilt nämlich ein sehr nützlicher Zusammenhang zwischen dem Gradienten der Funktion und den Richtungsableitungen.

Richtungsableitung und Gradient

Sei $U \subset \mathbb{R}^n$ eine offene Menge und $f:\ U\rightarrow\mathbb{R}$ eine stetig total differenzierbare Funktion. Sei außerdem $x_0\in\ U$ ein Punkt aus und $v\in\mathbb{R}^n$ ein Vektor mit $\parallel\ v\parallel\ =1$ . Dann gilt:

$D_vf\left(x_0\right)=\ <grad(f)\left(x_0\right),\ v>$

Dabei bezeichnet $<\ .\ ,\ .\ >$ das gewöhnliche Skalarprodukt. Da der Gradient gerade die Transponierte der totalen Ableitung bzw. der Jacobi-Matrix $Df\left(x_0\right)$ von darstellt, kann diese Gleichung auch folgendermaßen geschrieben werden:

$\ D_vf\left(x_0\right)=Df\left(x_0\right)\cdot \ v$

Mit diesem Wissen lässt sich immer auf dieselbe Art und Weise vorgehen, um die Ableitung einer Funktion an der Stelle x_0 in Richtung zu berechnen. Dabei könnte es der Fall sein, dass der vorgegebene Richtungsvektor noch nicht normiert ist, also noch nicht die Länge 1 besitzt. Um den richtigen Wert für die Ableitung zu erhalten, muss man diesen dann gegebenenfalls noch normieren. Die einzelnen Schritte zur Berechnung der Richtungsableitung sehen dann wie folgt aus:

I. Den Gradienten von an der Stelle x_0 bestimmen:

$grad(f)\left(x_0\right)$

II. Den gegebenen Richtungsvektor normieren:

$v_n=\frac{v}{|v|}$

III. Das Skalarprodukt des Gradienten und des normierten Vektors berechnen:

$<grad(f)\left(x_0\right),\ v_n>$

Die Berechnung der Richtungsableitung soll anhand eines Beispiels im Folgenden einmal dargelegt werden.

Richtungsableitung — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was sagt mir die Richtungsableitung an einer Stelle genau?

Die Richtungsableitung gibt dir die lokale Änderungsrate von f an x₀ in Richtung v. Sie beschreibt also, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn du dich von x₀ aus ein kleines Stück in diese Richtung bewegst. Bei zwei Variablen entspricht das der Steigung der Tangente der Schnittkurve.
Wie berechne ich die Richtungsableitung direkt aus der Definition mit dem Grenzwert?

Du setzt x₀ und den Richtungsvektor v in $D_vf(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h\cdot v)-f(x_0)}{h}$ ein und vereinfachst den Bruch. Danach berechnest du den Grenzwert für $h \to 0$ . Im Beispiel und ergibt sich .
Wann ist die Richtungsableitung dasselbe wie eine partielle Ableitung?

Die Richtungsableitung ist genau dann eine partielle Ableitung, wenn v ein Basisvektor eᵢ ist. Dann bewegst du dich nur in Richtung der i-ten Koordinate, alle anderen Koordinaten bleiben gleich. Es gilt dann $D_{e_i}f(x_0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)$ .
Wie berechne ich die Richtungsableitung mit dem Gradienten und dem Skalarprodukt?

Wenn f stetig total differenzierbar ist, berechnest du als Skalarprodukt von Gradient und Richtung: $D_vf(x_0)=\langle grad(f)(x_0), v\rangle$ . Dabei muss v die Länge 1 haben. Praktisch: erst bestimmen, v normieren und dann das Skalarprodukt ausrechnen.
Warum muss ich den Richtungsvektor vorher auf Länge 1 normieren?

Du normierst v, damit die Richtungsableitung wirklich die Änderung pro Schrittweite 1 in diese Richtung misst. Ist v länger als 1, würdest du in der Definition mit $x_0+h\cdot v$ bei gleichem h einen größeren Schritt machen und die Änderungsrate würde entsprechend verfälscht. Deshalb nutzt man $v_n=\frac{v}{|v|}$ .

Beispiel: Richtungsableitung berechnen

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(01:54)

Es soll die Ableitung der Funktion $f\left(x,\ y\right)=x^2+3xy^2$ an der Stelle $x_0=\left(1,\ 1\right)$ in Richtung des Vektors $v = \binom {4}{3}$ berechnet werden. Dazu werden die oben beschriebenen Schritte abgearbeitet: