{"learningExerciseConfig":{"id":2465,"levels":[{"id":3895,"level":"level_1","label":"Level 1","units":[{"id":2417,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Welche Aussagen sind zur Gleichung \(e^x=8\) richtig? Wähle alle richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","explanation":"Bei \(e^x=8\) ist \(e\) die Basis und \(x\) ist der Exponent. Um den Exponenten zu bestimmen, nutzt du die Regel: Aus \(e^x=y\) folgt \(x=\ln(y)\). Setzt du \(y=8\) ein, erhältst du \(x=\ln(8)\). Daher sind folgende Antwortmöglichkeiten richtig: * Der gesuchte Exponent ist \(x=\ln(8)\). * Die Basis der Potenz ist \(e\). Die Aussage \(\ln(e)=8\) ist falsch, denn \(\ln(e)=1\). Die letzte Aussage ist auch falsch, denn \(e^x\) kann jeden positiven Wert annehmen, also auch \(8\). Schau dir im aktuellen Video ab Minute 00:40 an, wie du Gleichungen der Form \(e^x=y\) mit \(\ln\) löst.","hint":"Du suchst den Exponenten \(x\) in einer Gleichung der Form \(e^x=y\). Dafür nutzt du den natürlichen Logarithmus und setzt \(y\) ein. Schau dir dazu im aktuellen Video den Bereich ab Minute 00:34 an.","answers":[{"id":9566,"text":"Der gesuchte Exponent ist \(x=\ln(8)\).","correct":true},{"id":9567,"text":"Die Basis der Potenz ist \(e\).","correct":true},{"id":9568,"text":"Der natürliche Logarithmus ist hier \(\ln(e)=8\).","correct":false},{"id":9569,"text":"Die Gleichung hat keine Lösung, weil \(8\) zu groß ist.","correct":false}]},{"id":2418,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Welche der folgenden Zahlen darfst du in \(\ln(\,\cdot\,)\) einsetzen, damit der Ausdruck definiert ist? Wähle alle richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","explanation":"Der natürliche Logarithmus \(\ln(y)\) ist nur für positive reelle Zahlen \(y\) definiert. Der Grund ist, dass \(e^x\) immer positiv ist. Es kann nie \(0\) oder eine negative Zahl ergeben. Deshalb sind positive Zahlen wie \(2\) und \(0{,}2\) erlaubt, aber \(0\) und \(-5\) nicht. Daher sind folgende Antwortmöglichkeiten richtig: * \(2\) * \(0{,}2\) Schau dir im aktuellen Video ab Minute 02:35 an, warum \(\ln\) nur für positive Zahlen definiert ist.","hint":"Überlege dir, welche Werte ein Ausdruck der Form \(e^x\) überhaupt annehmen kann. Daraus folgt, welche Zahlen als Eingabe für \(\ln\) möglich sind. Schau dazu im aktuellen Video ab Minute 02:32 nach.","answers":[{"id":9570,"text":"\(2\)","correct":true},{"id":9571,"text":"\(0\)","correct":false},{"id":9572,"text":"\(-5\)","correct":false},{"id":9573,"text":"\(0{,}2\)","correct":true}]},{"id":2419,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Welche Aussagen über \(\ln(1)\) sind richtig? Wähle alle richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","explanation":"\(\ln(1)\) ist der Exponent \(x\), für den \(e^x=1\) gilt. Das ist \(x=0\), denn \(e^0=1\). Daher sind folgende Antwortmöglichkeiten richtig: * \(\ln(1)=0\) * \(e^0=1\) Die Aussage \(\ln(1)=1\) ist falsch, denn \(\ln(e)=1\). Außerdem ist \(\ln(1)\) definiert, weil \(1\) positiv ist. Schau dir im aktuellen Video ab Minute 03:20 die Stelle zu \(\ln(1)\) an.","hint":"Nutze die Bedeutung von \(\ln\): \(\ln(y)\) ist der Exponent \(x\), für den \(e^x=y\) gilt. Setze \(y=1\) ein. Schau im aktuellen Video ab Minute 03:18 nach.","answers":[{"id":9574,"text":"\(\ln(1)=0\)","correct":true},{"id":9575,"text":"\(e^0=1\)","correct":true},{"id":9576,"text":"\(\ln(1)=1\)","correct":false},{"id":9577,"text":"\(\ln(1)\) ist nicht definiert.","correct":false}]},{"id":2420,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Welche der folgenden Gleichungen haben die Lösung \(x=\ln(5)\)? Wähle alle richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","explanation":"Aus \(x=\ln(5)\) folgt direkt \(e^x=e^{\ln(5)}\). Das ist gleich \(5\). Damit ist \(e^x=5\) erfüllt. Außerdem ist die Gleichung \(e^{\ln(5)}=5\) eine wahre Aussage, weil \(\ln(5)\) genau der Exponent ist, der \(e\) auf \(5\) bringt. Daher sind folgende Antwortmöglichkeiten richtig: * \(e^x=5\) * \(e^{\ln(5)}=5\) Die Gleichung \(\ln(x)=5\) hätte die Lösung \(x=e^5\). Die Gleichung \(e^5=x\) hat die Lösung \(x=e^5\) und nicht \(x=\ln(5)\). Schau dir im aktuellen Video ab Minute 00:40 den Zusammenhang zwischen \(e^x=y\) und \(x=\ln(y)\) an.","hint":"Wenn \(x=\ln(5)\) gilt, dann kannst du \(x\) in passende Gleichungen einsetzen und prüfen, ob die Gleichung stimmt. Nutze dabei auch die Idee: Zu \(e^x=y\) gehört \(x=\ln(y)\). Schau dazu im aktuellen Video ab Minute 00:40 nach.","answers":[{"id":9578,"text":"\(e^x=5\)","correct":true},{"id":9579,"text":"\(\ln(x)=5\)","correct":false},{"id":9580,"text":"\(e^5=x\)","correct":false},{"id":9581,"text":"\(e^{\ln(5)}=5\)","correct":true}]},{"id":2421,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Welche Aussagen beschreiben richtig, was \(\ln(y)\) bedeutet? Wähle alle richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","explanation":"Der natürliche Logarithmus \(\ln(y)\) gibt den Exponenten \(x\) an, sodass \(e^x=y\) gilt. Gleichzeitig ist \(\ln\) der Logarithmus zur Basis \(e\). Daher sind folgende Antwortmöglichkeiten richtig: * \(\ln(y)\) ist der Exponent \(x\), für den \(e^x=y\) gilt. * \(\ln(y)\) ist ein Logarithmus zur Basis \(e\). Die Aussage, \(\ln(y)\) sei immer negativ, ist falsch. Zum Beispiel ist \(\ln(1)=0\). Die Aussage, \(\ln(y)\) sei die Basis, ist falsch, denn die Basis ist \(e\). Schau dir im aktuellen Video ab Minute 00:40 an, wie \(\ln\) als Exponentensuche erklärt wird.","hint":"Lies die Bedeutung von \(\ln\) als Umkehrung von \(e^x\). Es geht darum, welchen Exponenten du brauchst, um aus \(e\) den Wert \(y\) zu machen. Schau dazu im aktuellen Video ab Minute 00:40 nach.","answers":[{"id":9582,"text":"\(\ln(y)\) ist der Exponent \(x\), für den \(e^x=y\) gilt.","correct":true},{"id":9583,"text":"\(\ln(y)\) ist ein Logarithmus zur Basis \(e\).","correct":true},{"id":9584,"text":"\(\ln(y)\) ist immer negativ, weil es ein Logarithmus ist.","correct":false},{"id":9585,"text":"\(\ln(y)\) ist die Basis der Potenz \(e^x\).","correct":false}]},{"id":2321,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Du möchtest die Gleichung \(e^x=7\) nach \(x\) auflösen. Welche Umformung ist richtig?","explanation":"Gegeben ist \(e^x=7\). \(x\) ist der Exponent zur Basis \(e\). Um den Exponenten zu bestimmen, nutzt du den natürlichen Logarithmus. Bei \(e^x=y\) gilt immer \(x=\ln(y)\). Also ist hier \(x=\ln(7)\). Im aktuellen Video wird genau diese Idee ab Minute 00:34 erklärt.","hint":"Du suchst den Exponenten \(x\) in einer Gleichung der Form \(e^x=y\). Dafür wendest du den natürlichen Logarithmus auf die Zahl \(y\) an. Im aktuellen Video findest du das ab Minute 00:34.","answers":[{"id":9271,"text":"\(x=\ln(7)\)","correct":true},{"id":9272,"text":"\(x=7e\)","correct":false},{"id":9273,"text":"\(x=\frac{1}{7}\)","correct":false},{"id":9274,"text":"\(x=e^7\)","correct":false}]},{"id":2322,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Wofür benutzt du den natürlichen Logarithmus \(\ln\)? Wähle die richtige Aussage aus.","explanation":"Der natürliche Logarithmus \(\ln\) ist dazu da, den Exponenten zu bestimmen, wenn die Basis \(e\) ist. Bei einer Gleichung \(e^x=y\) gilt also \(x=\ln(y)\). Deshalb ist die Aussage richtig, dass du den Exponenten \(x\) in \(e^x=y\) bestimmst. Im aktuellen Video wird das ab Minute 00:40 gezeigt.","hint":"Überlege, welche Zahl bei \(e^x\) oben im Exponenten steht und in so einer Aufgabe gesucht ist. Genau diese gesuchte Zahl bekommst du mit \(\ln\), wenn du \(y\) einsetzt. Im aktuellen Video findest du das ab Minute 00:40.","answers":[{"id":9275,"text":"Du berechnest den Umfang eines Kreises aus dem Radius.","correct":false},{"id":9276,"text":"Du bestimmst den Exponenten \(x\) in einer Gleichung der Form \(e^x=y\).","correct":true},{"id":9277,"text":"Du addierst zwei Brüche mit verschiedenen Nennern.","correct":false},{"id":9278,"text":"Du bestimmst die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung.","correct":false}]},{"id":2323,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Welche der folgenden Zahlen darfst du als Argument in den natürlichen Logarithmus \(\ln(y)\) einsetzen?","explanation":"Für den natürlichen Logarithmus \(\ln(y)\) muss \(y\) positiv sein, also \(y>0\). Von den vier Zahlen ist nur \(12\) größer als \(0\). Daher darfst du \(\ln(12)\) berechnen. Im aktuellen Video wird diese Einschränkung ab Minute 02:32 erklärt.","hint":"Der natürliche Logarithmus ist nur für positive reelle Zahlen definiert. Prüfe deshalb, welche der vier Zahlen größer als \(0\) ist. Im aktuellen Video findest du das ab Minute 02:32.","answers":[{"id":9279,"text":"\(0\)","correct":false},{"id":9280,"text":"\(-4\)","correct":false},{"id":9281,"text":"\(12\)","correct":true},{"id":9282,"text":"\(-0{,}5\)","correct":false}]},{"id":2324,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Welchen Wert hat \(\ln(1)\)?","explanation":"\(\ln(1)\) ist der Exponent \(x\), für den \(e^x=1\) gilt. Da jede positive Zahl mit Exponent \(0\) gleich \(1\) ist, gilt \(e^0=1\). Deshalb ist \(\ln(1)=0\). Im aktuellen Video wird das ab Minute 03:18 erläutert.","hint":"Frage dich, welcher Exponent \(x\) die Gleichung \(e^x=1\) erfüllt. Genau dieser Exponent ist \(\ln(1)\). Im aktuellen Video findest du das ab Minute 03:18.","answers":[{"id":9283,"text":"\(1\)","correct":false},{"id":9284,"text":"\(0\)","correct":true},{"id":9285,"text":"\(-1\)","correct":false},{"id":9286,"text":"\(e\)","correct":false}]},{"id":2325,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Welche Aussage über \(\ln\) ist richtig?","explanation":"Der natürliche Logarithmus heißt so, weil seine Basis fest \(e\) ist. Du kannst ihn auch als Logarithmus zur Basis \(e\) schreiben. Deshalb ist die Aussage \(\ln\) ist ein Logarithmus zur Basis \(e\) richtig. Im aktuellen Video wird das ab Minute 01:06 erklärt.","hint":"Beim natürlichen Logarithmus ist die Basis immer die Eulersche Zahl \(e\). Achte darauf, dass es dabei nicht um den Logarithmus zur Basis \(10\) geht. Im aktuellen Video findest du das ab Minute 01:06.","answers":[{"id":9287,"text":"\(\ln\) ist ein Logarithmus zur Basis \(10\).","correct":false},{"id":9288,"text":"\(\ln\) ist ein Logarithmus zur Basis \(2\).","correct":false},{"id":9289,"text":"\(\ln\) ist ein Logarithmus zur Basis \(e\).","correct":true},{"id":9290,"text":"\(\ln\) ist ein Logarithmus zur Basis \(0\).","correct":false}]},{"id":2308,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Bestimme den Exponenten: Löse die Gleichung \(e^x=7\). Nutze direkt die Formel \(x=\ln(7)\). Gib den Wert von \(x\) auf 2 Nachkommastellen gerundet an.","explanation":"Du hast die Gleichung \(e^x=7\). Wenn \(e\) hoch \(x\) gleich 7 sein soll, dann ist der Exponent genau der natürliche Logarithmus von 7. Du nutzt dafür direkt die vorgegebene Formel \(x=\ln(7)\). Mit dem Taschenrechner ergibt sich \(\ln(7)\approx 1{,}9459\). Auf 2 Nachkommastellen gerundet ist das \(x\approx 1{,}95\). Wenn du den Zusammenhang zwischen \(e^x\) und \(\ln\) wiederholen willst, schau ins Video ab Minute 00:34.","hint":"Du suchst den Exponenten \(x\), mit dem \(e\) potenziert werden muss, damit 7 herauskommt. Rechne dafür direkt \(x=\ln(7)\) aus. Runde dein Ergebnis anschließend auf 2 Nachkommastellen. Wenn du dazu eine kurze Erinnerung brauchst, schau ins Video ab Minute 00:34.","answer":"1,95"},{"id":2309,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Bestimme den Exponenten: Löse die Gleichung \(e^x=0{,}5\). Nutze direkt die Formel \(x=\ln(0{,}5)\). Gib den Wert von \(x\) auf 2 Nachkommastellen gerundet an.","explanation":"Gegeben ist \(e^x=0{,}5\). Du willst den Exponenten \(x\) bestimmen. Dafür benutzt du direkt die Formel \(x=\ln(0{,}5)\). Mit dem Taschenrechner erhältst du \(\ln(0{,}5)\approx -0{,}6931\). Auf 2 Nachkommastellen gerundet ist das \(x\approx -0{,}69\). Eine passende Erklärung zum Bestimmen des Exponenten mit \(\ln\) findest du im Video ab Minute 00:45.","hint":"Setze in die vorgegebene Formel ein: \(x=\ln(0{,}5)\). Runde das Ergebnis danach auf 2 Nachkommastellen. Wenn du unsicher bist, woher diese Formel kommt, schau ins Video ab Minute 00:45.","answer":"-0,69"},{"id":2310,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Berechne den natürlichen Logarithmus: \(\ln(1)\). Gib nur die Zahl an.","explanation":"\(\ln(1)\) ist der Exponent \(x\), für den \(e^x=1\) gilt. Jede positive Zahl hoch 0 ist 1. Daher gilt \(e^0=1\). Also ist der gesuchte Exponent \(x=0\), und damit \(\ln(1)=0\). Diese Besonderheit wird im Video ab Minute 03:18 erklärt.","hint":"Überlege, welcher Exponent \(x\) in \(e^x=1\) stehen muss. Genau dieser Exponent ist dann \(\ln(1)\). Wenn du die Besonderheit von \(\ln(1)\) nachschauen willst, schau ins Video ab Minute 03:18.","answer":"0"},{"id":2311,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Bestimme den Exponenten: Löse die Gleichung \(e^x=12\). Nutze direkt die Formel \(x=\ln(12)\). Gib den Wert von \(x\) auf 2 Nachkommastellen gerundet an.","explanation":"Du hast \(e^x=12\) und suchst \(x\). Für Gleichungen der Form \(e^x=y\) gilt direkt \(x=\ln(y)\). Daher ist hier \(x=\ln(12)\). Mit dem Taschenrechner ergibt sich \(\ln(12)\approx 2{,}4849\). Auf 2 Nachkommastellen gerundet ist das \(x\approx 2{,}48\). Wenn du den Grundgedanken dazu wiederholen willst, schau ins Video ab Minute 00:40.","hint":"Du sollst den Exponenten \(x\) bestimmen. Setze dafür in die Formel \(x=\ln(12)\) ein. Runde das Ergebnis anschließend auf 2 Nachkommastellen. Einen sehr ähnlichen Start ins Thema findest du im Video ab Minute 00:40.","answer":"2,48"},{"id":2312,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Bestimme den Exponenten: Löse die Gleichung \(e^x=3\). Nutze direkt die Formel \(x=\ln(3)\). Gib den Wert von \(x\) auf 2 Nachkommastellen gerundet an. Runde dein finales Ergebnis auf 2 Nachkommastellen.","explanation":"Gegeben ist \(e^x=3\). Gesucht ist der Exponent \(x\). Dafür nutzt du direkt \(x=\ln(3)\). Mit dem Taschenrechner bekommst du \(\ln(3)\approx 1{,}0986\). Auf 2 Nachkommastellen gerundet ist das \(x\approx 1{,}10\). Eine passende Stelle zum Nachvollziehen findest du im Video ab Minute 00:34.","hint":"Setze die Zahl 3 in die Formel \(x=\ln(3)\) ein. Berechne den Wert dann mit dem Taschenrechner. Runde das Ergebnis anschließend auf 2 Nachkommastellen. Im Video wird diese Art Aufgabe ab Minute 00:34 eingeführt.","answer":"1,10"}]},{"id":3896,"level":"level_2","label":"Level 2","units":[{"id":2422,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Ein Start-up stellt fest, dass die Anzahl der App-Nutzer nach einem Werbeschub näherungsweise durch \(N(t)=N_0\cdot e^{kt}\) beschrieben wird. Dabei ist \(t\) die Zeit in Tagen und \(k\) ist eine Konstante. Welche Antwortmöglichkeiten sind richtig?","explanation":"Du startest mit \(N(t)=N_0\cdot e^{kt}\). Um \(t\) zu finden, musst du \(e^{kt}\) freistellen. 1) Für den Faktor 5 setzt du \(N(t)=5N_0\). Dann gilt \(5N_0=N_0\cdot e^{kt}\). Wenn du durch \(N_0\) teilst, erhältst du \(5=e^{kt}\). Jetzt kannst du den natürlichen Logarithmus anwenden: \(\ln(5)=\ln(e^{kt})=kt\). Also \(t=\frac{\ln(5)}{k}\). Damit ist Antwortmöglichkeit 1 richtig. 2) Wenn \(k<0\) ist, dann ist \(e^{kt}\) trotzdem immer positiv. Eine Exponentialfunktion mit Basis \(e\) wird nie negativ. Daher kann \(N(t)\) nicht negativ werden, solange \(N_0>0\) ist. Antwortmöglichkeit 2 ist falsch. 3) Für \(N(t)=N_0\) folgt \(N_0=N_0\cdot e^{kt}\) und damit \(1=e^{kt}\). Das ist genau dann der Fall, wenn \(kt=0\). Bei konstantem \(k\) ist eine sichere Lösung \(t=0\). Das passt auch zu \(\ln(1)=0\). Antwortmöglichkeit 3 ist richtig. 4) \(\ln\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)\) ist nur definiert, wenn das Argument positiv ist. Also brauchst du \(\frac{N(t)}{N_0}>0\). Antwortmöglichkeit 4 ist richtig. Richtig sind: - Wenn du \(N(t)=5\cdot N_0\) setzt, erhältst du nach dem Umformen \(t=\frac{\ln(5)}{k}\). - Wenn \(N(t)=N_0\) gilt, dann ist \(t=0\), weil \(\ln(1)=0\) ist. - Der Ausdruck \(\ln\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)\) ist nur definiert, wenn \(\frac{N(t)}{N_0}>0\) gilt. Wenn du die Stelle zum „Exponenten herausziehen“ und zu \(\ln(1)\) wiederholen willst, schau im Video ab Minute 03:15 nach.","hint":"Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(e^{\text{(etwas)}}=\text{(positive Zahl)}\). Dann kannst du mit \(\ln\) den Exponenten „nach vorne holen“. Achte auch darauf, für welche Werte der Logarithmus überhaupt definiert ist. Wenn du dazu unsicher bist, schau im Video ab Minute 02:30 nach.","answers":[{"id":9586,"text":"Wenn du \(N(t)=5\cdot N_0\) setzt, erhältst du nach dem Umformen \(t=\frac{\ln(5)}{k}\).","correct":true},{"id":9587,"text":"Wenn \(k<0\) ist, kann \(N(t)\) für große \(t\) negativ werden.","correct":false},{"id":9588,"text":"Wenn \(N(t)=N_0\) gilt, dann ist \(t=0\), weil \(\ln(1)=0\) ist.","correct":true},{"id":9589,"text":"Der Ausdruck \(\ln\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)\) ist nur definiert, wenn \(\frac{N(t)}{N_0}>0\) gilt.","correct":true}]},{"id":2423,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Du betrachtest die Funktion \(f(x)=\ln(x-a)\). Dabei ist \(a\in\mathbb{R}\) ein fester Parameter. Welche Aussagen zum Definitionsbereich sind richtig?","explanation":"Für \(f(x)=\ln(x-a)\) muss das Argument positiv sein. Es muss also \(x-a>0\) gelten. 1) \(a=-2\): Dann ist \(f(0)=\ln(0-(-2))=\ln(2)\). Das ist definiert, weil \(2>0\). Aussage 1 ist richtig. 2) \(a=1\): Dann ist \(f(1)=\ln(1-1)=\ln(0)\). \(\ln(0)\) ist nicht definiert. Aussage 2 ist falsch. 3) \(a=3\): Dann ist \(f(4)=\ln(4-3)=\ln(1)\). Das ist definiert, weil \(1>0\). Aussage 3 ist richtig. 4) \(a=0\): Dann ist \(f(-1)=\ln(-1-0)=\ln(-1)\). Negative Zahlen sind als Argument nicht erlaubt. Also ist das nicht definiert. Aussage 4 ist richtig. Richtig sind: - Wenn \(a=-2\) ist, dann ist \(f(0)\) definiert. - Wenn \(a=3\) ist, dann ist \(f(4)\) definiert. - Wenn \(a=0\) ist, dann ist \(f(-1)\) nicht definiert. Wenn du die Einschränkungen „nur positive Zahlen“ und „\(\ln(0)\) nicht definiert“ wiederholen willst, schau im Video ab Minute 02:40 nach.","hint":"Überlege, welche Bedingung im Logarithmus stehen muss, damit \(\ln(\,\cdot\,)\) überhaupt existiert. Setze dann die jeweiligen Zahlen ein und prüfe das Vorzeichen. Wenn du die Regel zum Definitionsbereich noch einmal brauchst, schau im Video ab Minute 02:35 nach.","answers":[{"id":9590,"text":"Wenn \(a=-2\) ist, dann ist \(f(0)\) definiert.","correct":true},{"id":9591,"text":"Wenn \(a=1\) ist, dann ist \(f(1)\) definiert.","correct":false},{"id":9592,"text":"Wenn \(a=3\) ist, dann ist \(f(4)\) definiert.","correct":true},{"id":9593,"text":"Wenn \(a=0\) ist, dann ist \(f(-1)\) nicht definiert.","correct":true}]},{"id":2424,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Gegeben ist die Gleichung \(e^{2x-1}=7\). Welche Umformungen sind korrekt und helfen dir dabei, \(x\) zu bestimmen?","explanation":"Du hast \(e^{2x-1}=7\). Da \(x\) im Exponenten steht, ist \(\ln\) passend. 1) Auf beide Seiten \(\ln\) anzuwenden ist korrekt: \(\ln(e^{2x-1})=\ln(7)\). Aussage 1 ist richtig. 2) Jetzt nutzt du \(\ln(e^{u})=u\). Mit \(u=2x-1\) wird daraus \(2x-1=\ln(7)\). Aussage 2 ist richtig. 3) Aus \(2x-1=\ln(7)\) folgt \(2x=\ln(7)+1\) und damit \(x=\frac{\ln(7)+1}{2}\). Die Umformung \(x=\ln(7)-1\) passt nicht dazu. Aussage 3 ist falsch. 4) \(x=\frac{\ln(7)+1}{2}\) ist genau die korrekte Auflösung nach \(x\). Aussage 4 ist richtig. Richtig sind: - \(\ln(e^{2x-1})=\ln(7)\) - \(2x-1=\ln(7)\) - \(x=\frac{\ln(7)+1}{2}\) Wenn du die Idee „\(\ln\) anwenden, um den Exponenten zu bekommen“ wiederholen willst, schau im Video ab Minute 01:05 nach.","hint":"Ziel ist es, den Exponenten „frei zu bekommen“. Wende \(\ln\) auf beide Seiten an und nutze, dass \(\ln(e^{u})=u\) gilt. Danach löst du eine lineare Gleichung. Wenn du diesen Schritt nochmal sehen willst, schau im Video ab Minute 01:20 nach.","answers":[{"id":9594,"text":"\(\ln(e^{2x-1})=\ln(7)\)","correct":true},{"id":9595,"text":"\(2x-1=\ln(7)\)","correct":true},{"id":9596,"text":"\(x=\ln(7)-1\)","correct":false},{"id":9597,"text":"\(x=\frac{\ln(7)+1}{2}\)","correct":true}]},{"id":2425,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Es gilt \(e^x=y\). Du weißt außerdem, dass \(y\) eine reelle Zahl ist. Welche Aussagen sind richtig?","explanation":"Aus \(e^x=y\) folgt, dass \(y\) ein Wert ist, den eine Exponentialfunktion mit Basis \(e\) annehmen kann. 1) \(e^x\) ist für jedes reelle \(x\) strikt positiv. Also muss \(y>0\) gelten. Aussage 1 ist richtig. 2) \(y=1\) bedeutet \(e^x=1\). Das gilt bei \(x=0\), weil \(e^0=1\). Aussage 2 ist richtig. 3) \(y=0\) würde \(e^x=0\) bedeuten. Das ist unmöglich, weil \(e^x\) nie 0 wird. Es gibt also kein \(x\). Aussage 3 ist falsch. 4) Wenn \(y<0\) ist, dann kann \(e^x\) das nicht erreichen, weil \(e^x\) nie negativ ist. Also gibt es kein reelles \(x\). Aussage 4 ist richtig. Richtig sind: - \(y>0\) - Wenn \(y=1\) ist, dann ist \(x=0\). - Wenn \(y<0\) ist, dann gibt es kein reelles \(x\), das die Gleichung erfüllt. Wenn du die Stelle zu „negative Zahlen und 0 gehen nicht“ und zu \(\ln(1)=0\) wiederholen willst, schau im Video ab Minute 02:50 nach.","hint":"Überlege, welche Werte eine Potenz zur Basis \(e\) überhaupt annehmen kann. Prüfe dann die Sonderfälle \(y=1\), \(y=0\) und \(y<0\). Wenn du die Argumente dazu nochmal sehen willst, schau im Video ab Minute 02:45 nach.","answers":[{"id":9598,"text":"\(y>0\)","correct":true},{"id":9599,"text":"Wenn \(y=1\) ist, dann ist \(x=0\).","correct":true},{"id":9600,"text":"Wenn \(y=0\) ist, dann gibt es genau ein \(x\), das die Gleichung erfüllt.","correct":false},{"id":9601,"text":"Wenn \(y<0\) ist, dann gibt es kein reelles \(x\), das die Gleichung erfüllt.","correct":true}]},{"id":2426,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Jemand behauptet: Die Gleichung \(\ln(y)=-2\) könnte auch Lösungen mit \(y\le 0\) haben, weil \(-2\) ja negativ ist. Welche Aussagen sind richtig?","explanation":"Du prüfst zuerst den Definitionsbereich: In \(\ln(y)\) darf nur \(y>0\) stehen. Das hängt nicht davon ab, ob das Ergebnis \(-2\) negativ ist. 1) Um \(\ln(y)=-2\) zu lösen, kannst du beide Seiten „rückgängig machen“, indem du mit Basis \(e\) potenzierst. Das ergibt \(y=e^{-2}\). Aussage 1 ist richtig. 2) Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Deshalb muss \(y>0\) gelten. Das bleibt auch dann so, wenn \(\ln(y)\) negativ ist. Aussage 2 ist richtig. 3) \(y=-e^{-2}\) ist negativ. Damit ist \(\ln(y)\) gar nicht definiert. Aussage 3 ist falsch. 4) \(y=0\) ist ebenfalls nicht erlaubt, weil \(\ln(0)\) nicht definiert ist. Es ist nicht „eine sehr kleine Zahl“, sondern existiert in den reellen Zahlen nicht. Aussage 4 ist falsch. Richtig sind: - Aus \(\ln(y)=-2\) folgt \(y=e^{-2}\). - \(y\) muss größer als 0 sein, egal ob \(\ln(y)\) positiv oder negativ ist. Wenn du die Stelle zu „nur positive Zahlen“ und „\(\ln(0)\) nicht definiert“ wiederholen willst, schau im Video ab Minute 02:40 nach.","hint":"Trenne zwei Dinge: Welche Werte darfst du in \(\ln(\,\cdot\,)\) überhaupt einsetzen, und wie löst du dann eine Gleichung der Form \(\ln(y)=\text{Zahl}\)? Wenn du die Einschränkung für das Argument und den Bezug zu \(e^x\) nochmal brauchst, schau im Video ab Minute 02:35 nach.","answers":[{"id":9602,"text":"Aus \(\ln(y)=-2\) folgt \(y=e^{-2}\).","correct":true},{"id":9603,"text":"\(y\) muss größer als 0 sein, egal ob \(\ln(y)\) positiv oder negativ ist.","correct":true},{"id":9604,"text":"\(y=-e^{-2}\) ist auch eine Lösung, weil \(\ln\) negative Ergebnisse liefern kann.","correct":false},{"id":9605,"text":"\(y=0\) ist eine Lösung, weil \(\ln(0)\) eine sehr kleine Zahl ist.","correct":false}]},{"id":2326,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Ein Radioaktivitätsmodell wird durch die Gleichung \(N(t)=N_0\cdot e^{-kt}\) beschrieben. Nach \(t\) Stunden ist genau \(\tfrac{1}{e^3}\) der Anfangsmenge vorhanden. Welche Gleichung für \(t\) in Abhängigkeit von \(k\) ist korrekt?","explanation":"Aus dem Modell \(N(t)=N_0\cdot e^{-kt}\) folgt nach dem Teilen durch \(N_0\): \(\frac{N(t)}{N_0}=e^{-kt}\). Gegeben ist \(\frac{N(t)}{N_0}=\tfrac{1}{e^3}\). Damit gilt: \(e^{-kt}=\frac{1}{e^3}=e^{-3}\). Jetzt vergleichst du die Exponenten. Bei gleicher Basis \(e\) müssen die Exponenten gleich sein: \(-kt=-3\). Teile durch \(-k\): \(t=\frac{3}{k}\). Daher ist die folgende Antwort richtig: \(t=\frac{3}{k}\) Wenn du das Umformen mit \(\ln\) zum Bestimmen eines Exponenten wiederholen willst, schau im aktuellen Video ab Minute 01:20 nach.","hint":"Setze \(\frac{N(t)}{N_0}=\tfrac{1}{e^3}\). Forme dann so um, dass du eine Gleichung der Form \(e^{\text{(etwas mit }t\text{)}}=\text{Zahl}\) erhältst. Dann kannst du mit dem natürlichen Logarithmus den Exponenten „herunterholen“. Schau dazu im aktuellen Video ab Minute 01:10 nach.","answers":[{"id":9291,"text":"\(t=\frac{3}{k}\)","correct":true},{"id":9292,"text":"\(t=\frac{1}{3k}\)","correct":false},{"id":9293,"text":"\(t=\frac{\ln(3)}{k}\)","correct":false},{"id":9294,"text":"\(t=\frac{\ln\left(\tfrac{1}{e^3}\right)}{k}\)","correct":false}]},{"id":2327,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Welche der folgenden Aussagen ist korrekt? Für welche Werte von \(x\) ist der Ausdruck \(\ln(x^2-4x+3)\) definiert?","explanation":"Damit \(\ln(x^2-4x+3)\) definiert ist, muss das Argument strikt positiv sein: \(x^2-4x+3>0\). Du faktorisierst das Quadratpolynom: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Jetzt prüfst du, wann ein Produkt positiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn beide Faktoren positiv sind oder beide negativ sind. 1) Beide positiv: \(x-1>0\) und \(x-3>0\) ergibt \(x>3\). 2) Beide negativ: \(x-1<0\) und \(x-3<0\) ergibt \(x<1\). Die Randpunkte \(x=1\) und \(x=3\) sind ausgeschlossen, weil dann das Argument \(0\) wäre und \(\ln(0)\) nicht definiert ist. Daher ist die folgende Antwort richtig: Der Ausdruck ist genau für \(x<1\) oder \(x>3\) definiert. Wenn du den Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus wiederholen willst, schau im aktuellen Video ab Minute 02:35 nach.","hint":"Ein natürlicher Logarithmus ist nur definiert, wenn sein Argument strikt positiv ist. Setze deshalb \(x^2-4x+3>0\) und löse diese Ungleichung. Schau im aktuellen Video ab Minute 02:30 nach, welche Zahlen beim \(\ln\) ausgeschlossen sind.","answers":[{"id":9295,"text":"Der Ausdruck ist für alle reellen \(x\) definiert.","correct":false},{"id":9296,"text":"Der Ausdruck ist genau für \(13\) definiert.","correct":true},{"id":9298,"text":"Der Ausdruck ist genau für \(x\le 1\) oder \(x\ge 3\) definiert.","correct":false}]},{"id":2328,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Ein Term ist gegeben durch \(T(a)=\ln\left(\frac{e^{2a}}{e^{5}}\right)\). Welche vereinfachte Form ist korrekt?","explanation":"Du startest mit \(T(a)=\ln\left(\frac{e^{2a}}{e^{5}}\right)\). Zuerst vereinfachst du den Bruch mit Potenzregeln: \(\frac{e^{2a}}{e^{5}}=e^{2a-5}\). Dann wird der Term zu \(T(a)=\ln(e^{2a-5})\). Für den natürlichen Logarithmus gilt: Wenn du \(\ln(e^x)\) hast, dann ist das Ergebnis genau \(x\), weil \(\ln\) den passenden Exponenten zu einer \(e\)-Potenz liefert. Also \(T(a)=2a-5\). Daher ist die folgende Antwort richtig: \(T(a)=2a-5\) Wenn du nochmal sehen willst, warum \(\ln\) genau den Exponenten bei Basis \(e\) liefert, schau im aktuellen Video ab Minute 01:15 nach.","hint":"Schreibe den Bruch zuerst als eine Potenz von \(e\), also \(\frac{e^{2a}}{e^5}=e^{2a-5}\). Danach nutzt du, dass \(\ln\) den Exponenten „sichtbar“ macht, wenn die Basis \(e\) ist. Schau im aktuellen Video ab Minute 01:55 nach.","answers":[{"id":9299,"text":"\(T(a)=2a-5\)","correct":true},{"id":9300,"text":"\(T(a)=2a+5\)","correct":false},{"id":9301,"text":"\(T(a)=\ln(e^{2a})-\ln(e^5)=\ln(e^{2a-5})\)","correct":false},{"id":9302,"text":"\(T(a)=\frac{2a}{5}\)","correct":false}]},{"id":2329,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Du möchtest die Gleichung \(e^{x-2}=\frac{1}{7}\) nach \(x\) auflösen. Welche der folgenden Umformungen ist korrekt?","explanation":"Gegeben ist \(e^{x-2}=\frac{1}{7}\). Wenn du auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus anwendest, bekommst du: \(\ln(e^{x-2})=\ln\left(\frac{1}{7}\right)\). Links vereinfacht sich das, weil \(\ln(e^{u})=u\): \(x-2=\ln\left(\frac{1}{7}\right)\). Jetzt addierst du \(2\) auf beiden Seiten: \(x=\ln\left(\frac{1}{7}\right)+2\). Daher ist die folgende Antwort richtig: \(x=\ln\left(\frac{1}{7}\right)+2\) Wenn du das Prinzip „\(\ln\) macht den Exponenten frei“ wiederholen möchtest, schau im aktuellen Video ab Minute 01:10 nach.","hint":"Bringe die Gleichung in die Form \(e^{\text{(Ausdruck)}}=y\). Dann wendest du auf обе Seiten \(\ln\) an. Danach löst du nach \(x\) auf. Schau im aktuellen Video ab Minute 01:05 nach.","answers":[{"id":9303,"text":"\(x=\ln\left(\frac{1}{7}\right)-2\)","correct":false},{"id":9304,"text":"\(x=\ln\left(\frac{1}{7}\right)+2\)","correct":true},{"id":9305,"text":"\(x=\ln(7)+2\)","correct":false},{"id":9306,"text":"\(x=\frac{1}{\ln(7)}+2\)","correct":false}]},{"id":2330,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Welche Aussage über den natürlichen Logarithmus ist korrekt?","explanation":"Beim natürlichen Logarithmus \(\ln(y)\) muss das Argument \(y\) positiv sein. Negative Zahlen und \(0\) sind ausgeschlossen. Außerdem gilt \(\ln(1)=0\). Das passt dazu, dass \(e^0=1\) ist. Der Exponent, der \(e\) auf \(1\) bringt, ist also \(0\). Damit sind Aussagen zu \(\ln(0)\) oder \(\ln(-1)\) falsch, weil diese Ausdrücke nicht definiert sind. Daher ist die folgende Antwort richtig: \(\ln(1)=0\) Wenn du die besonderen Werte und den Definitionsbereich von \(\ln\) wiederholen willst, schau im aktuellen Video ab Minute 03:10 nach.","hint":"Überlege dir, welche Zahlen du überhaupt in \(\ln(\,\cdot\,)\) einsetzen darfst. Prüfe dann speziell, was passiert, wenn das Ergebnis der \(e\)-Potenz gleich \(1\) sein soll. Schau im aktuellen Video ab Minute 03:15 nach.","answers":[{"id":9307,"text":"\(\ln(0)\) ist definiert und ergibt \(0\).","correct":false},{"id":9308,"text":"\(\ln(1)\) ist nicht definiert, weil \(1\) keine positive Zahl ist.","correct":false},{"id":9309,"text":"\(\ln(1)=0\)","correct":true},{"id":9310,"text":"\(\ln(-1)=0\), weil \(e^0=1\).","correct":false}]},{"id":2313,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Eine Bakterienkultur startet mit 5000 Zellen. Nach 6 Stunden sind es 20000 Zellen. Du gehst davon aus, dass die Zellzahl nach dem Modell \(N(t)=5000\cdot e^{kt}\) wächst. Dabei wird \(t\) in Stunden gemessen. Bestimme den Wachstumsfaktor \(k\). Runde das Ergebnis auf 2 Nachkommastellen.","explanation":"Du nutzt das Modell \(N(t)=5000\cdot e^{kt}\) und setzt die Angabe nach 6 Stunden ein: \(20000=5000\cdot e^{6k}\). Als Erstes teilst du durch 5000, damit die Potenz allein steht: \(\frac{20000}{5000}=e^{6k}\) und damit \(4=e^{6k}\). Jetzt suchst du den Exponenten. Das geht, indem du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anwendest: \(\ln(4)=\ln(e^{6k})\). Das vereinfacht sich zu \(\ln(4)=6k\). Zum Schluss teilst du durch 6: \(k=\frac{\ln(4)}{6}\approx\frac{1{,}3863}{6}\approx 0{,}2311\). Auf 2 Nachkommastellen gerundet ist \(k\approx 0{,}23\). Wenn du den Schritt „Exponenten mit \(\ln\) bestimmen“ wiederholen willst, schau dir im Video die Stelle ab Minute 02:32 an.","hint":"Setze \(t=6\) in das Modell ein. Dann erhältst du eine Gleichung mit \(e^{6k}\). Teile zuerst durch 5000. Danach musst du den Exponenten aus der Potenz mit Basis \(e\) bestimmen. Wenn du nicht weiterkommst, schau dir im Video die Stelle ab Minute 02:32 an.","answer":"0,23"},{"id":2314,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Du betrachtest die Funktion \(f(x)=\ln(x)\). Für welches positive \(x\) gilt \(f(x)=-1{,}2\)? Runde \(x\) auf 2 Nachkommastellen.","explanation":"Gegeben ist \(\ln(x)=-1{,}2\) und gesucht ist \(x\). Weil \(\ln\) der Logarithmus zur Basis \(e\) ist, kannst du die Gleichung umkehren, indem du beide Seiten exponentierst: \(x=e^{-1{,}2}\). Jetzt berechnest du den Wert: \(e^{-1{,}2}\approx 0{,}3010\). Auf 2 Nachkommastellen gerundet ist \(x\approx 0{,}30\). Wenn du den Zusammenhang zwischen \(\ln\) und \(e^{x}\) nochmal sehen willst, schau dir im Video die Stelle ab Minute 02:52 an.","hint":"Du suchst ein positives \(x\), für das \(\ln(x)\) einen negativen Wert hat. Forme die Gleichung so um, dass eine Potenz mit Basis \(e\) entsteht. Wenn du unsicher bist, schau dir im Video die Stelle ab Minute 02:52 an.","answer":"0,30"},{"id":2315,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Ein Taschenrechner zeigt dir \(\ln(a)=2{,}5\). Ein zweites Display zeigt \(\ln(b)=0{,}7\). Bestimme den Wert von \(\ln\left(\frac{a}{b}\right)\). Runde das Ergebnis auf 2 Nachkommastellen.","explanation":"Aus \(\ln(a)=2{,}5\) folgt \(a=e^{2{,}5}\). Aus \(\ln(b)=0{,}7\) folgt \(b=e^{0{,}7}\). Dann ist \(\frac{a}{b}=\frac{e^{2{,}5}}{e^{0{,}7}}=e^{2{,}5-0{,}7}=e^{1{,}8}\). Jetzt berechnest du den gefragten Logarithmus: \(\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln\left(e^{1{,}8}\right)=1{,}8\). Auf 2 Nachkommastellen gerundet bleibt das \(1{,}80\). Wenn du die Idee „\(\ln\) bestimmt den Exponenten“ wiederholen willst, schau dir im Video die Stelle ab Minute 02:32 an.","hint":"Schreibe \(a\) und \(b\) als Potenzen zur Basis \(e\). Danach setzt du das in \(\frac{a}{b}\) ein. Am Ende wendest du wieder \(\ln\) an, damit du eine einzelne Zahl erhältst. Wenn du den Grundgedanken „\(\ln\) liefert den Exponenten zur Basis \(e\)“ brauchst, schau im Video ab Minute 02:32 nach.","answer":"1,80"},{"id":2316,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Bestimme den Wert von \(x\) in der Gleichung \(e^{x}=0{,}05\). Runde \(x\) auf 2 Nachkommastellen.","explanation":"Gegeben ist \(e^{x}=0{,}05\). Um den Exponenten \(x\) zu bestimmen, wendest du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten an: \(\ln(e^{x})=\ln(0{,}05)\). Links vereinfacht sich das zu \(x\). Damit gilt \(x=\ln(0{,}05)\). Jetzt berechnest du den Wert: \(\ln(0{,}05)\approx -2{,}9957\). Auf 2 Nachkommastellen gerundet ist \(x\approx -3{,}00\). Wenn du sehen willst, warum \(\ln\) genau den Exponenten liefert, schau dir im Video die Stelle ab Minute 02:32 an.","hint":"Du suchst einen Exponenten, sodass das Ergebnis zwischen 0 und 1 liegt. Wende auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus an. Danach ist \(x\) freigestellt. Wenn du den passenden Ansatz suchst, schau dir im Video die Stelle ab Minute 02:32 an.","answer":"-3,00"},{"id":2317,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Ein Messwert \(y\) soll in \(\ln(y)\) eingesetzt werden. Du hast fünf mögliche Werte zur Auswahl: \(-2\), \(0\), \(0{,}4\), \(1\) und \(3\). Bestimme den Durchschnitt aller Werte aus dieser Liste, für die \(\ln(y)\) definiert ist. Gib den Durchschnitt an.","explanation":"Der Ausdruck \(\ln(y)\) ist nur für positive reelle Zahlen \(y\) definiert. Aus der Liste \(-2\), \(0\), \(0{,}4\), \(1\), \(3\) sind deshalb nur \(0{,}4\), \(1\) und \(3\) erlaubt. Jetzt berechnest du den Durchschnitt dieser drei Zahlen: \(\frac{0{,}4+1+3}{3}=\frac{4{,}4}{3}=1{,}4666\dots\) Auf 2 Nachkommastellen gerundet ist der Durchschnitt \(1{,}47\). Wenn du den Definitionsbereich von \(\ln\) nochmal prüfen willst, schau dir im Video die Stelle ab Minute 02:33 an.","hint":"Überlege zuerst, für welche Werte \(\ln(y)\) definiert ist. Nimm dann genau diese Werte und berechne daraus den Mittelwert. Wenn du dir beim Definitionsbereich unsicher bist, schau dir im Video die Stelle ab Minute 02:33 an.","answer":"1,47"}]}]},"resultConfig":{"nextVideoPath":"/mathematik/ln-regeln-2464"},"sessionKey":"video-2465"}

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