Prismen
Du möchtest alles über Prismen wissen? Hier und in unserem Video erfährst du alles zu den Eigenschaften eines Prismas!
Inhaltsübersicht
Das Wichtigste über Prismen
Ein Prisma ist ein dreidimensionaler Körper und besteht aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einer Mantelfläche. Die Grundfläche und die Deckfläche liegen parallel zueinander und haben dieselbe Form. Welche Form das ist, kann bei jedem Prisma unterschiedlich sein. Sie muss aber mindestens drei Ecken haben. Klassisch ist zum Beispiel ein Dreieck („dreieckiges Prisma“) oder ein Sechseck („sechseckiges Prisma“).
- Volumen : VPrisma = AGrundfläche · hPrisma
- Oberflächeninhalt : OPrisma = AGrundfläche+ ADeckfläche + AMantelfläche
- Mantelfläche: AMantelfläche = UGrundfläche · hPrisma
Schon gewusst? Prismen begegnen dir nicht nur in Mathe, sondern auch als Gegenstände im Alltag. Das Dach der meisten Häuser ist zum Beispiel ein liegendes dreieckiges Prisma. Eine besonders wichtige Rolle spielen Prismen bei der Lichtbrechung in der Physik.
Super, jetzt hast du schon mal eine grobe Vorstellung von Prismen. Aber woran genau kannst du jetzt ein Prisma in der Geometrie erkennen?
Prisma erkennen
Das Prisma ist ein geometrischer Körper. Andere dreidimensionale Körper, die du vielleicht schon kennst, sind zum Beispiel die Kugel , der Zylinder oder der Quader . Allerdings bezeichnest du mit „Prismen“ in der Geometrie nicht nur einen ganz speziellen Körper, sondern gleich eine ganze Gruppe.
Die Grundfläche kann nämlich unterschiedlich viele Ecken haben. Am bekanntesten ist das dreieckige Prisma. Aber auch Prismen mit anderen Vielecken als Grundfläche, wie das fünf- oder sechseckige Prisma, zählst du zu dieser Gruppe von Körpern. Sie alle haben die folgenden Eigenschaften gemeinsam:
Grundfläche und Deckfläche
- sind deckungsgleich („kongruent“ )
- liegen parallel zueinander
- werden durch gleichlange, parallele Kanten verbunden
Die Mantelfläche besteht immer aus mehreren Rechtecken — egal welche Form die Grundfläche hat.
Übrigens: Quader und Würfel kannst du auch als eine besondere Art von Prismen betrachten. Sie haben als Grundfläche ein Viereck.
Schau dir nun einmal die einzelnen Bestandteile eines Prismas genauer an!
Grund- und Deckfläche Prisma
Du weißt schon, dass die Grund– und Deckfläche eine identische Form haben. Daher kannst du sie auch nicht genau unterscheiden. Je nachdem, wie du das Prisma drehst, ist mal das eine und mal das andere die Grundfläche.
Da die Grundfläche unterschiedlich viele Ecken haben kann, gibt es auch keine spezielle Formel für die Berechnung der Grundfläche eines Prismas. Du verwendest einfach die Formel für den Flächeninhalt des jeweiligen Vielecks, aus dem die Grundfläche deines Prismas besteht. Bei einem Dreieck wäre das also zum Beispiel:
AGrundfläche = ½ · gDreieck · hDreieck
Achtung! Verwechslungsgefahr: hPrisma ≠ hDreieck
Mantelfläche Prisma
Um die Mantelfläche von Prismen (AMantelfläche ) zu berechnen, nimmst du den Umfang der Grundfläche (UGrundfläche ) mal die Höhe des Prismas (hPrisma) :
AMantelfläche = UGrundfläche · hPrisma
Was der Umfang der Grundfläche ist, hängt natürlich von dem konkreten Prisma ab, das du betrachtest. Du zählst dafür aber einfach die Länge von allen Kanten der Grundfläche zusammen.
Als Höhe des Prismas verwendest du die Länge einer Kante, die die Grund– mit der Deckfläche verbindet.
Schau dir als Beispiel mal das fünfeckige Prisma im Bild an.
Hier hat jede der fünf Kanten der Grundfläche eine Länge von 3 cm. Der Umfang der Grundfläche beträgt damit:
UGrundfläche = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm = 5 · 3 cm = 15 cm
Die Höhe kannst du direkt ablesen: hPrisma = 10 cm.
Damit kannst du nun den Flächeninhalt der Mantelfläche des Prismas berechnen:
AMantelfläche = UGrundfläche · hPrisma = 15 cm · 10 cm = 150 cm2
Super! Jetzt bist du bestens vorbereitet, um das Volumen und den Oberflächeninhalt eines Prismas zu berechnen!
Volumen von Prismen berechnen
Wenn du das Volumen (VPrisma) von einem Prisma wissen willst, musst du zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche (AGrundfläche ) berechnen. Den Wert multiplizierst du dann mit der Höhe des Prismas (hPrisma). Merke dir dazu die folgende Formel:
VPrisma = AGrundfläche · hPrisma
Am Besten probierst du die Formel direkt an einem Beispiel aus:
Als Grundfläche hast du hier ein Dreieck, also
AGrundfläche = ½ · gDreieck · hDreieck = ½ · 3 cm · 2 cm = 3 cm2
Die Höhe des Prismas hPrisma beträgt 5 cm.
Beachte: Die Höhe ist immer die Länge einer Kante, die Grund– und Deckfläche verbindet. Bei einem liegenden Prisma ist die Höhe also eher so etwas wie die Länge des Prismas!
Wenn du diese beiden Werte nun in die Formel einsetzt, bekommst du das Volumen des dreieckigen Prismas:
VPrisma = AGrundfläche · hPrisma = 3 cm2 · 5 cm = 15 cm3
Oberflächeninhalt von Prismen berechnen
Die Oberfläche eines Prismas
(OPrisma) besteht aus drei Teilen: Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche. Um den Oberflächeninhalt von Prismen zu berechnen, musst du also zuerst den Flächeninhalt dieser drei Teile bestimmen. Anschließend zählst du die Werte dann zusammen:
OPrisma = AGrundfläche+ ADeckfläche + AMantelfläche
Weil die Grundfläche und die Deckfläche deckungsgleich sind, haben sie natürlich auch den selben Flächeninhalt. Deshalb gilt:
AGrundfläche+ ADeckfläche = 2 · AGrundfläche
So bekommst du als Formel für den Oberflächeninhalt eines Prismas:
OPrisma = 2 · AGrundfläche + AMantelfläche
Schau dir mal am Beispiel eines fünfeckigen Prismas an, wie du die Oberflächenformel anwendest:
Die Grundfläche hat hier eine Größe von 15 cm2 und die Mantelfläche beträgt 150 cm2 .
Einsetzen liefert:
OPrisma = 2 · AGrundfläche + AMantelfläche = 2 · 15 cm2 + 150 cm2 = 180 cm2
Das ergibt also einen Oberflächeninhalt von 180 cm2.
Expertenwissen: Du kannst ein Prisma auch durch Parallelverschiebung eines beliebigen Vielecks erhalten. Dazu verschiebst du die Ecken der Grundfläche entlang paralleler Geraden nach oben. Damit bekommst du die zur Grundfläche identische Deckfläche. Zusammen mit den Verschiebungslinien ergibt das ein Prisma.
Was du bisher kennengelernt hast, bezeichnest du auch als gerade Prismen. Daneben gibt es in der Geometrie auch die schiefen Prismen. Dabei stehen die Kanten nicht senkrecht auf der Grundfläche, sondern schräg. Auch bei der Höhe musst du hier aufpassen, sie liegt dann nämlich außerhalb des Prismas.
Geometrische Körper
Spitze! Wenn in Mathe ein Prisma vorkommt, ist das nun kein Problem mehr für dich! Du kannst Prismen erkennen und alle wichtigen Größen eines Prismas berechnen. Aber wie sieht es mit anderen geometrischen Körpern aus? Schau dir doch direkt unser Video dazu an, dass du dich auch damit bestens auskennst!
