Schnittmenge
Was ist eine Schnittmenge und wie sieht das Symbol dazu aus? Das und noch mehr erfährst du hier und im Video!
Inhaltsübersicht
Schnittmenge einfach erklärt
Die Schnittmenge ist ein Begriff aus der Mengenlehre. Wenn A und B Mengen sind, dann kannst du ihre Schnittmenge A ∩ B bilden. Sie enthält nur die Elemente, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen.
Im Beispiel gehören blonde Brillenträger zu A geschnitten B. Du möchtest Schnittmengen und ihre Darstellung schneller verstehen? Dann schau dir jetzt unser Video dazu an!
Die Schnittmenge (Durchschnittsmenge) A ∩ B ist die Menge aller Elemente, die die Mengen A und B gemeinsam haben. Mit mathematischen Symbolen kannst du sie auch so darstellen:
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}
Du sprichst das dann: A geschnitten B ist die Menge aller x für die gilt: x ist Element von A und x ist Element von B.
Schnittmenge Beispiel
Du hast eine Menge A = {2, 4, 7} und eine Menge B = {3, 4, 7}. Wie kannst du A geschnitten B berechnen? Am besten gehst du so vor:
- Markiere alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.
A = {2, 4, 7} und B = {3, 4, 7} - Anschließend fasst du sie in der Schnittmenge zusammen.
A ∩ B = {4, 7}
Das kannst du gut mit einem Venn-Diagramm veranschaulichen:
Super, jetzt weißt du, wie du A geschnitten B berechnest.
Was passiert nun, wenn es keine gemeinsamen Elemente oder nur gemeinsame Elemente gibt? Schau dir dafür ein paar Spezialfälle an.
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Disjunkte Mengen
Zwei Mengen A und B sind disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen. Ihre Schnittmenge ist also immer leer und heißt deshalb auch „leere Menge“.
Beispiel:
A = {1, 5, 6} und B = {2, 3, 4}
Du schreibst: A ∩ B = { } oder A ∩ B = Ø (leere Menge).
Übrigens: Wenn eine der beiden Mengen A und B eine leere Menge ist, also keine Elemente enthält, ist auch die Schnittmenge immer leer.
Paarweise disjunkte Mengen
Stell dir mehrere Mengen vor, bei denen keine Kombination aus zwei Mengen gemeinsame Elemente hat. Ihre Schnittmengen sind also alle leer. Du nennst die Mengen dann paarweise disjunkt.
Beispiel:
Schau dir die Mengen A = {1, 3}, B = {4, 5} und C = {2, 6} an.
Es gilt:
A ∩ B = Ø
A ∩ C = Ø
B ∩ C = Ø
Deshalb sind die Mengen A, B und C paarweise disjunkt.
Teilmenge
Es handelt sich bei Menge B um eine echte Teilmenge der Menge A, wenn alle Elemente aus B auch in A enthalten sind. Zur Menge A gehören allerdings noch weitere Elemente.
Beispiel:
A = {2, 5, 7, 8, 9, 11} und B = {2, 5, 8}
A geschnitten B ist in diesem Fall also die gesamte Menge B:
A ∩ B = {2, 5, 8}
Schnittmenge berechnen — Rechenregeln
Um das mathematische Symbol ∩ korrekt einzusetzen, solltest du die Rechenregeln dafür kennen. Für A geschnitten B gilt das Kommutativgesetz. Deshalb kannst du schreiben:
A ∩ B = B ∩ A
Außerdem kannst du das Assoziativgesetz anwenden:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Schnittmenge — häufigste Fragen
(ausklappen)
Schnittmenge — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Was bedeutet A ∩ B bei zwei Mengen genau?A ∩ B bedeutet die Schnittmenge von A und B, also alle gemeinsamen Elemente. In die Schnittmenge gehören nur Elemente, die gleichzeitig in A und in B enthalten sind. Formal kannst du das so schreiben:
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Wie finde ich die Schnittmenge, wenn ich zwei Mengen als Liste habe?Du findest die Schnittmenge, indem du alle Elemente markierst, die in beiden Listen vorkommen. Danach schreibst du genau diese gemeinsamen Elemente als neue Menge auf. Zum Beispiel bei A = {2, 4, 7} und B = {3, 4, 7} ist A ∩ B = {4, 7}.
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Was ist die Schnittmenge, wenn A und B disjunkt sind?Wenn A und B disjunkt sind, ist ihre Schnittmenge leer. Das liegt daran, dass disjunkte Mengen keine gemeinsamen Elemente besitzen. Du schreibst dann A ∩ B = {} oder A ∩ B = Ø. Beispiel: A = {1, 5, 6} und B = {2, 3, 4}.
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Was ist die Schnittmenge, wenn B eine echte Teilmenge von A ist?Wenn B eine echte Teilmenge von A ist, dann ist A ∩ B die gesamte Menge B. Der Grund ist, dass jedes Element aus B auch in A vorkommt. Beispiel: A = {2, 5, 7, 8, 9, 11} und B = {2, 5, 8}, also A ∩ B = {2, 5, 8}.
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Was ist der Unterschied zwischen Schnittmenge und Vereinigungsmenge?Die Schnittmenge enthält nur Elemente, die in A und B gemeinsam vorkommen, die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente aus A oder B. Bei der Vereinigungsmenge reicht es, wenn ein Element in mindestens einer der beiden Mengen liegt. Beispiel: A = {1, 3, 4}, B = {2, 3}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.
Schnittmenge Vereinigungsmenge — Abgrenzung
Du hast gelernt, dass die Durchschnittsmenge nur die Elemente enthält, die in A und B gemeinsam vorkommen. Im Gegensatz dazu gehören zur Vereinigungsmenge alle Elemente, die in A oder B enthalten sind. Du betrachtest also die Elemente, die in mindestens einer der Mengen vorkommen.
Beispiel:
A = {1, 3, 4} und B = {2, 3}
Die Vereinigungsmenge ist also:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
Du kannst verschiedene Mengenoperatoren, wie ∩, ∪ oder \, auch kombinieren. Beachte dabei folgende Regeln:
-
Distributivgesetz:
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) - De Morgansche Regel: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
Wenn du noch mehr über die Vereinigungsmenge und Mengen im Allgemeinen erfahren willst, schau dir jetzt unseren Beitrag dazu an!
