Ist das Biegemoment positiv oder negativ?

Das Vorzeichen des Biegemoments hängt von der gewählten Vorzeichenkonvention ab und ist nicht „von Natur aus“ fest. Häufig zählt man ein Moment als positiv, wenn der Balken nach unten durchhängt (sagende Biegung), und als negativ, wenn er nach oben „aufwölbt“ (hoggende Biegung). Wichtig ist, die Konvention konsequent beizubehalten.

Was ist das maximale Biegemoment?

Das maximale Biegemoment ist der größte Betrag des Biegemoments entlang des Balkens. Man findet es, indem man das Biegemoment als Funktion der Stelle bestimmt und die größte (oder betragsmäßig größte) Stelle sucht. Bei einem Kragträger mit Endkraft gilt zum Beispiel am Festlager.

Was ist die zulässige Biegespannung?

Die zulässige Biegespannung ist der Spannungs-Grenzwert, den man bei der Auslegung nicht überschreiten darf. Man leitet sie aus der Festigkeit des Materials ab und teilt typischerweise durch einen Sicherheitsfaktor, zum Beispiel aus der Streckgrenze (Beginn bleibender Verformung). Der genaue Wert hängt von Norm, Material und Sicherheitskonzept ab.

Wie berechnet man die Durchbiegung?

Die Durchbiegung berechnet man, indem man zuerst den Lastfall und die Lagerung festlegt und daraus den Verlauf des Biegemoments bestimmt. Danach verknüpft man mit der Biegelinie über (Elastizitätsmodul , Flächenträgheitsmoment ) und integriert mit passenden Randbedingungen. Für einen Kragträger mit Endkraft gilt .

Video

Biegung

In diesem Artikel zeigen wir dir die Theorie zur Biegung auf und berechnen anschließend eine Durchbiegung eines Balkens.

Falls du das alles lieber kurz und knapp in einem Video erklärt bekommen möchtest, dann schau doch hier mal rein.

Inhaltsübersicht

Biegung einfach erklärt

Bei einer Biegung betrachtest du in der technischen Mechanik vor allem schlanke Bauteile. Diese werden durch eine von außen einwirkende Kraft gekrümmt. Es werden dabei zwei Arten von Biegungen unterschieden. Die gerade und die schiefe Biegung.

gerade Biegung: die Kraft, die die Biegung verursacht, wirkt in Richtung einer der Hauptträgheitsachsen des Querschnitts des betrachteten Körpers
schiefe Biegung: Kraft wirkt in eine andere Richtung als die Hauptträgheitsachsen eines Querschnitts

Ebenfalls erzeugt eine angreifende Kraft, die eine Krümmung an einem Bauteil verursacht, im oberen Teil des Bauteils eine Zugspannung und im unteren einen Druck. Die Belastung durch die Kräfte ist dabei in den Randgebieten des Bauteiles deutlich höher als weiter in diesem. An der Stelle, an der sich Druck- und Zugkraft gegenseitig kompensieren, befindet sich die sogenannte neutrale Faser. Durch die Kompensation der beiden Kräfte ist diese spannungsfrei.

Biegemoment

Das Biegemoment ist wie der Name schon sagt das Moment, das einen Körper verbiegt. Das Moment für eine Biegung M_b kann dabei nach folgender Formel berechnet werden:

$M_b = F \cdot x$

Dabei ist F die wirkende Querkraft und x der Abstand der Kraft vom Festlager. Die Einheit der Formel ist [Nm].

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Biegespannung

Die Biegespannung baut auf dem Biegemoment auf und ergibt sich aus:

$\sigma_b=\frac{M_b}{W}$

Hier ist M_b das Moment der Biegung und W ist das Widerstandsmoment . Du siehst, dass die Spannung von dem Moment abhängt. Das liegt daran, dass ein Biegemoment erst an deinem Balken angreifen muss, bevor sich überhaupt eine Spannung aufbauen kann und es zu einer Krümmung kommen kann.

Widerstandsmoment

Das Widerstandsmoment W entspricht dem axialen Flächenmoment zweiten Grades I geteilt durch den größten Abstand der Randfaser zur neutralen Faser ${\ \alpha}_{max}$ .

$W=\frac{I}{a_{max}}$

Wenn du mehr zu diesem erfahren möchtest, kannst du dir unser Video dazu anzusehen.

Durchbiegung berechnen

Werden lange, dünne Bauteile quer zur Bauteilachse mit einem Biegemoment belastet, entstehen Zug- und Druckspannungen. Bei einem Balken führt dies zu einer Durchbiegung. Diese möchten wir jetzt berechnen.

Biegung, Biegemoment, Biegespannung, Zugspannung, Druckspannung, neutrale Faser — Durchbiegung eines Balkens

Wir haben eine Kraft F, die von oben auf das Balkenende drückt. Der Balken wird im Bereich der Zugbelastung gedehnt und im Bereich der Druckbelastung gestaucht. In der Mitte des Balkens können wir die neutrale Faser sehen. Diese wird weder gedehnt noch gestaucht und ist somit spannungslos. Die Spannungen sind am Rand am höchsten und werden nach innen geringer. Wir nehmen an, dass sich Zug- und Druckspannungen gleichmäßig über das gesamte Bauteil verteilen.

Biegespannung und Biegemoment berechnen

Nehmen wir an, unser Balken ist 3 Meter hoch, 1 Meter breit und 5 Meter lang. Es wirkt eine Kraft von 100 Newton.

Balkenbiegung, Biegung, neutrale Faser, Widerstandsmoment, Biegemoment, Biegespannung — Beispielrechnung

Das Moment ist nun folgendes:

$M=100N\times5m=500\ Nm$

Nun benötigen wir noch das Widerstandsmoment.

$W=\frac{I}{a_{max}}=\frac{bh^3}{\frac{h}{2}}=\frac{1m\times{3m}^3}{\frac{3m}{2}}=6m^3$

Der Abstand der Randfaser von der neutralen Faser beträgt h halbe, also 1,5 Meter. Für das Flächenträgheitsmoment setzen wir die Formel $b \cdot h^3$ ein. Wir erhalten also ein Widerstandsmoment von 6 Kubikmetern. Nun setzen wir dieses Ergebnis in die Formel für die Biegespannung ein.

$\sigma_b=\frac{M_b}{W}=\frac{500Nm}{6m^3}= 83,3 Pascal$

Wir erhalten 83 Pascal Biegespannung.

Je nach Geometrie des Balkens ändert sich das Widerstandsmoment und das Biegemoment. Zum Beispiel bei einem Balken, der von zwei Festlagern gehalten wird:

Biegung Balken, Biegemoment, Festlager, Biegespannung, neutrale Faser — Balken von zwei Festlagern gehalten

Hier lautet die Formel für das Biegemoment:

$M_b=\frac{F}{2}\times\frac{x}{2}$

Die Kraft verteilt sich dabei auf beide Balkenenden.

Biegung — häufigste Fragen

(ausklappen)

Ist das Biegemoment positiv oder negativ?

Das Vorzeichen des Biegemoments hängt von der gewählten Vorzeichenkonvention ab und ist nicht „von Natur aus“ fest. Häufig zählt man ein Moment als positiv, wenn der Balken nach unten durchhängt (sagende Biegung), und als negativ, wenn er nach oben „aufwölbt“ (hoggende Biegung). Wichtig ist, die Konvention konsequent beizubehalten.
Was ist das maximale Biegemoment?

Das maximale Biegemoment ist der größte Betrag des Biegemoments entlang des Balkens. Man findet es, indem man das Biegemoment als Funktion der Stelle bestimmt und die größte (oder betragsmäßig größte) Stelle sucht. Bei einem Kragträger mit Endkraft gilt zum Beispiel $M_{\text{max}} = F \cdot L$ am Festlager.
Was ist die zulässige Biegespannung?

Die zulässige Biegespannung ist der Spannungs-Grenzwert, den man bei der Auslegung nicht überschreiten darf. Man leitet sie aus der Festigkeit des Materials ab und teilt typischerweise durch einen Sicherheitsfaktor, zum Beispiel aus der Streckgrenze (Beginn bleibender Verformung). Der genaue Wert hängt von Norm, Material und Sicherheitskonzept ab.
Wie berechnet man die Durchbiegung?

Die Durchbiegung berechnet man, indem man zuerst den Lastfall und die Lagerung festlegt und daraus den Verlauf des Biegemoments bestimmt. Danach verknüpft man mit der Biegelinie über $E\,I$ (Elastizitätsmodul , Flächenträgheitsmoment ) und integriert mit passenden Randbedingungen. Für einen Kragträger mit Endkraft gilt $w_{\text{max}} = \dfrac{F\,L^{3}}{3\,E\,I}$ .

Technische Mechanik verstehen

Die Biegung ist ein Grundthema der Technischen Mechanik und gehört zu den typischen Belastungen von Balken und anderen Bauteilen. Wer sich mit Technischer Mechanik beschäftigt, betrachtet Kräfte, Momente, Lagerungen und Spannungen in verschiedenen Bauteilen. So wird klar, wie Lasten im Bauteil wirken und warum Form und Querschnitt für das Verhalten eine wichtige Rolle spielen. Im Ingenieurwissenschaftenbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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