Du möchtest wissen, welche Stabilitätskriterien die Regelungstechnik nutzt, wenn sie Systeme beurteilt? Dann ist das Hurwitz-Kriterium deine erste Etappe!
Inhaltsübersicht
Das Stabilitätskriterium nach Hurwitz mit Beispiel
Der deutsche Mathematiker Adolf Hurwitz beschäftigte sich nicht nur mit der Zahlentheorie, sondern auch mit dem Bereich der Funktionentheorie. Aus seinen Überlegungen ergibt sich ein Stabilitätskriterium für Systeme, das auf der Betrachtung eines besonderen Polynoms basiert.Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck, der Vielfache von Potenzen einer Variable aufsummiert. Merke dir, dass du das folgende Verfahren nur für Regelkreise anwenden kannst, die keine Totzeitelemente besitzen!
Um zu prüfen, ob das System asymptotisch stabil ist, muss es eine Übertragungsfunktion G(s) besitzen, die folgende Form aufweist:
Setzt du den Nenner (
) der Übertragungsfunktion gleich Null, erhältst du das charakteristische Polynom p(s):
Es wird vorausgesetzt, dass 
größer Null ist. Ist dies nicht der Fall, musst du das Polynom mit minus Eins durchmultiplizieren.
Damit das System asymptotisch stabil ist, gibt es die notwendige Bedingung, dass alle Koeffizienten 
des Polynoms existieren und positiv sein müssen. 
für i=1,…,n
Ist diese erste Bedingung nicht erfüllt, kann das System schon nicht mehr stabil sein!
Hinreichende Bedingungen
Jetzt folgen sogenannte hinreichende Bedingungen. Falls ein asymptotisch stabiles System vorliegt, werden auch diese erfüllt. Das kleine n gibt dabei die Ordnung eines Systems an, welche du an der höchsten Potenz von s im Polynom ablesen kannst. Liegt beispielsweise nichts Höheres als 
im Polynom vor, so ist es ein System dritter Ordnung.
Um diese Bedingungen aufzustellen, bedient man sich einer (nxn)-Matrix, die wir 
nennen. Auf der Hauptdiagonalen trägst du alle Koeffizienten des Polynoms auf. In jeder Spalte werden die Koeffizienten mit fallendem Index i aufgetragen: Koeffizienten, deren Index größer oder kleiner als n ist, ersetzt du einfach durch eine Null. Der nächste Schritt ist dir sicher noch aus dem Matheunterricht bekannt: Wir bilden die linken oberen Unterdeterminanten. Dazu gehst du in die obere linke Ecke der Matrix und schreibst für die erste Determinante 
eine Eins Kreuz Eins Matrix, in der nur 
steht. Für die zweite Determinante, die wir 
nennen, bilden wir eine Zwei Kreuz Zwei Matrix aus der oberen linken Ecke der Matrix: Dieses Prinzip kannst du weiterführen, je nachdem mit wie vielen Stellen deine ursprüngliche -Matrix besetzt ist und welche Ordnung das System besitzt.
Die hinreichende Bedingung lautet, dass jede dieser Determinanten einen Wert größer Null haben muss!
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Berechnung einer Determinante
Dazu erinnern wir uns an die Berechnung einer Determinante, indem wir als Beispiel verwenden:
Wir multiplizieren die obere linke Ecke mit der unteren rechten Ecke und ziehen davon das Produkt der unteren linken Ecke und der oberen rechten Ecke ab:
Der Wert, der sich daraus ergeben würde, muss größer Null sein. Hast du beispielsweise ein System dritter Ordnung vorliegen, musst du also die erste Determinante und die zweite Determinante bilden und ausrechnen, da dein höchster vorhandener Koeffizient im Polynom 
lautet.
Für ein System vierter Ordnung mit n gleich vier, erhältst du durch die Berechnung der Determinanten auch eine hinreichende Bedingung
die größer Null sein muss.
Auch für n=5 müssen die Determinanten positiv sein!
und 
Wenn du diese Regeln in einem konkreten Beispiel anwenden und noch über den Tellerrand hinausschauen möchtest, dann sieh dir unser Übungsvideo zum Stabilitätskriterium nach Hurwitz
an.
Die erste Etappe hast du jetzt erfolgreich bestritten. Wenn du fleißig dranbleibst, dann wird die nächste auch ein Klacks!
Stabilitätskriterium nach Hurwitz — häufigste Fragen
(ausklappen)
Stabilitätskriterium nach Hurwitz — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Was besagt die Routh-Hurwitz-Regel?Die Routh-Hurwitz-Regel ist ein Stabilitätskriterium, mit dem man ohne explizites Berechnen der Nullstellen entscheiden kann, ob alle Wurzeln eines charakteristischen Polynoms in der linken
-Halbebene liegen. Praktisch geschieht das über ein Routh-Schema oder äquivalent über Hurwitz-Determinanten.
-
Warum prüft man beim Hurwitz-Kriterium nur das Nennerpolynom und nicht den Zähler der Übertragungsfunktion?Stabilität der linearen Dynamik hängt von den Polen ab, und Pole sind die Nullstellen des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion. Der Zähler bestimmt die Nullstellen (Zeros) und damit Form und Verstärkung der Antwort, verschiebt aber die Polstellen nicht, solange keine Pol-Nullstellen-Kürzung angenommen wird.
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Wie viele Hurwitz-Determinanten muss man für ein System einer bestimmten Ordnung berechnen, um die Stabilität zu entscheiden?Für ein System
-ter Ordnung müssen genau Hurwitz-Determinanten (die führenden Hauptminoren) berechnet werden, also 
bis 
. Erst wenn alle diese Determinanten die geforderte Vorzeichenbedingung erfüllen, ist die Stabilitätsentscheidung nach Hurwitz eindeutig.
-
Wie geht man beim Aufstellen der Hurwitz-Matrix vor, wenn im Polynom Potenzen fehlen?Fehlende Potenzen im Polynom behandelt man so, als wäre der zugehörige Koeffizient gleich 0, und trägt diesen 0-Wert an den passenden Stellen in der Hurwitz-Matrix ein. Die übrigen Koeffizienten werden weiterhin in der vorgegebenen Indexreihenfolge (fallende Indizes) platziert.
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Regelungstechnik verstehen
Das Stabilitätskriterium nach Hurwitz ist ein wichtiges Werkzeug der Regelungstechnik, um dynamische Systeme zu beurteilen. Du arbeitest in der Regelungstechnik mit Modellen, Signalen und Übertragungsfunktionen und beschreibst damit, wie sich ein System über die Zeit verhält. So erkennst du, welche Einstellungen ein System ruhig machen und welche zu Schwingen oder zu instabilem Verhalten führen. Weitere Videos dazu findest du in unserem Informatikbereich.