Du hast das Gefühl Dein Motor ist warmgelaufen und du kannst es kaum erwarten, die Theorie zu Hurwitz anzuwenden? Dann mal los!
Inhaltsübersicht
Beispielaufgabe
Unser Video zum Stabilitätskriterium nach Hurwitz hat dir erklärt, dass es notwendige und hinreichende Bedingungen gibt, um Aussagen zur Stabilität zu treffen.
Zum Aufwärmen gibt’s ein charakteristisches Polynom 
:
Da die höchste Potenz von Lambda drei beträgt, weißt du sofort, dass es sich um ein System dritter Ordnung handelt und du jetzt eine „drei Kreuz drei Matrix“ bilden musst. Um die Matrix zu füllen, ordnest du das Polynom so, dass die höchste Potenz ganz rechts steht:
und schreibst die Koeffizienten ab. Du siehst, dass die notwendige Bedingung für die Koeffizienten erfüllt ist. Aus dieser Matrix bildest du anschließend die erste Determinante 
:
H1 beträgt Eins und erfüllt die hinreichende Bedingung. Für 
berechnest du:
und erhältst den Wert 0,5. Das ist ebenfalls positiv. Für 
schreibst du die ersten beiden Spalten nochmals rechts neben die Matrix, um sie zu berechnen. Jetzt addierst du die Produkte der drei Diagonalen von links oben nach rechts unten und ziehst davon die drei Produkte der Diagonalen von links unten nach rechts oben ab.
Mit erfüllen alle Determinanten die hinreichende Bedingung positiv zu sein und du kannst anhand des Hurwitz-Kriteriums sagen, dass das System asymptotisch stabil ist.
Systeme zweiter Ordnung
Hast Du das Polynom eines Systems zweiter Ordnung vorliegen, wie zum Beispiel,
kannst du ohne Matrizen aufzustellen sehen, ob das System asymptotisch stabil ist. Sind alle Vorzeichen der Koeffizienten positiv, so sind auch alle Determinanten positiv. Das heißt, dass du hier nur die notwendige Bedingung prüfen musst. 
für i=1,…,n
Was jetzt folgt, ist ein kleiner Blick über den Tellerrand. Bei diesen ganzen Stabilitätsbetrachtungen geht es eigentlich nur um eines: Die Nullstellen dieser Polynome. Die Lambdas oder kleinen s, je nach Schreibweise im Polynom, sind dessen Nullstellen, beziehungsweise Eigenwerte. Du hast bereits gemerkt, dass uns konkrete Werte dieser Nullstellen anscheinend nicht interessieren. Was wir bei Stabilitätsbetrachtungen eigentlich machen, ist nachzuprüfen ob eben diese Nullstellen des Polynoms einen negativen Realteil besitzen. Kurz: wir schlagen die Brücke zur Darstellung in der komplexen Ebene.
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Systeme höherer Ordnung
An dieser Stelle wollen wir beweisen, dass es für Systeme höherer Ordnung nicht ausreichend ist, wenn alle Koeffizienten positiv sind, um Nullstellen mit positivem Realteil komplett auszuschließen. Dazu gibt’s ein Polynom dritten Grades
mit einer reellen Nullstelle Lambda Eins kleiner Null und zwei konjugiert komplexen Nullstellen Lambda Zwei und Drei. Diese beiden schreiben wir in der komplexen Schreibweise auf, in der das J vorkommt:
und setzen sie in unserem Polynom ein. Wir klammern aus und fassen Sigmas und Omegas noch zusammen.
Da es ein Polynom dritten Grades ist, schreiben wir es jetzt so um, dass die Lambdas absteigend nach ihren Potenzen sortiert werden:
Wir erinnern uns: Das, was vor den Lambdas steht, sind unsere Koeffizienten {
. Die Klammer vor dem Lambda Quadrat entspricht also dem Koeffizienten 
. Damit insgesamt positiv ist, muss Sigma „kleiner minus Lambda Eins Halbe“ sein. Wenn Sigma allerdings zwischen Null und „plus Lambda Eins Halbe“ liegt, dann ist {
zwar auch positiv, aber es existieren trotzdem Nullstellen mit positivem Realteil. Das ist der Grund, weshalb du noch die Determinanten aufstellst und die hinreichenden Bedingungen prüfst. Es genügt also nicht, nur positive Koeffizienten nachzuweisen.
Ganz schön happig, denkst du dir jetzt sicher. So eine Aufgabe kann dir in der Prüfung aber ganz entscheidend zu einer guten Leistung verhelfen. Also Stift raus und ab auf den Merkzettel damit!