Was ist die delta-Funktion?

Die delta-Funktion (Dirac-Delta) ist ein idealisierter Impuls, der im Zeitbereich nur „an einem Zeitpunkt“ wirkt: außerhalb dieses Zeitpunkts ist sie null, und ihre Fläche (das Integral über die Zeit) ist gleich 1. Physikalisch modelliert sie einen sehr kurzen, sehr starken Stoß.

Was ist der Unterschied zwischen Einheitsimpuls und Dirac-Delta?

„Einheitsimpuls“ und „Dirac-Delta“ meinen in der Regel dasselbe ideale Signal: einen Impuls mit Flächeninhalt 1. „Dirac-Delta“ ist der Name bzw. das Symbol, während „Einheitsimpuls“ betont, dass die eingeschlossene Fläche genau 1 beträgt. Skalierung ändert den Flächeninhalt.

Wie hängen Sprungantwort und Impulsantwort eines Systems zusammen?

Bei einem linearen zeitinvarianten System ist die Impulsantwort die zeitliche Ableitung der Sprungantwort, und die Sprungantwort ist das Zeitintegral der Impulsantwort. Intuitiv entsteht der Sprung als „Aufsummieren“ unendlich vieler kleiner Impulse, deshalb sind beide Antworten direkt über Ableiten und Integrieren verknüpft.

Warum führt eine Zeitverschiebung der Sprungfunktion in der Laplace-Ebene nur zu einem Faktor?

Eine Zeitverschiebung führt in der Laplace-Ebene zu einem Faktor, weil in der Laplace-Transformation die Verzögerung als Exponentialterm aus dem Integral herausgezogen werden kann. Dadurch bleibt die „Form“ der Bildfunktion gleich, und die Verzögerung steckt nur noch im Multiplikationsfaktor .

Video

Zurück zum Text

Weiter lernen Empfohlenes passendes Video

Testfunktionen

Name: Testfunktionen
Uploaded: 2026-07-22T09:10:19Z
Duration: 3 min 41 s
Description: Impulsfunktion, Sprungfunktion und Co. sind für Dich immer noch ein Mysterium? Dann bist du hier genau richtig, denn diese Testfunktionen erklären wir dir in diesem Beitrag.

Impulsfunktion, Sprungfunktion und Co. sind für Dich immer noch ein Mysterium? Dann bist du hier genau richtig, denn diese Testfunktionen erklären wir dir in diesem Beitrag.

Inhaltsübersicht

Verschiedene Testfunktionen

Um herauszufinden wie die Ausgangsgröße einer Regelstrecke auf einen bestimmten Verlauf der Eingangsgröße reagiert, benutzt man zunächst Testfunktionen wie die Sprungfunktion, Impulsfunktion oder Rampenfunktion. Diese bilden simulierte Signale ab, aus denen man später auf das reale Verhalten eines Systems schließen kann!
Beginnen wir mit der Sprungfunktion. Diese verändert die Eingangsfunktion von Null auf einen konstanten Wert. Dafür definieren wir uns die dimensionslose Zeitfunktion, die Einheitssprungfunktion $\sigma\left(t\right)$

Bildfunktion der Einheitsfunktion

Die zweite Gleichung beschreibt die Bildfunktion der Einheitsfunktion. Das geschwungene „L“ kommt daher, dass die sogenannte LAPLACE-Transformation angewendet wurde, um diese Form zu erhalten. Was eine Bildfunktion ist und wie diese Transformation funktioniert, erfährst Du in unserem Video zur LAPLACE-Transformation.
Jetzt können wir die Sprungerregung $u\left(t\right)$ definieren, bei der eine physikalische Größe wie zum Beispiel eine Spannung in einem elektrischen Netzwerk, von Null auf eine bestimmte Größe A, zum Beispiel 5 Volt, springt:

Sprungerregung und verschobene Sprungfunktion

Setzt der Sprung jetzt allerdings nicht zum Zeitpunkt t=0 ein, sondern später, erhalten wir eine verschobene Sprungfunktion mit der Sprungstelle $t_{0\ }$
Du siehst, dass sich die Bildfunktion der Einheitssprungfunktion und der verschobenen Sprungfunktion nur durch den Faktor $e^{-st_{0\ }}$ unterscheiden.
Aus den Einheitssprungfunktionen lässt sich jetzt die Impulsfunktion zusammensetzen:

Bleiben wir bei unserem Beispiel der Spannung in Volt, so ist der Impuls I ein Spannungsstoß. Der Impuls einer physikalischen Größe $u\left(t\right)$ ist das Zeitintegral mit der Dimension „Größe Mal der Zeit“. In unserem Fall also Vs: Dabei nimmt unsere Spannung während eines kurzen Zeitraums $\tau$ den Wert $\frac{1}{\tau}$ an; davor und danach beträgt sie Null. Tau ist dabei so klein, dass sich das System währenddessen nicht verändert.
Multiplizieren wir unsere Impulsfunktion nun mit dem Impuls I, erhalten wir die Impulserregung!

$I\ast\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}=\frac{1}{\tau}\ast\frac{1-e^{-s\tau}}{s}\ast\ I$

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

DIRAC-Impuls

Spricht man über Systeme, die eine impulsförmige Erregung erfahren, so kann man sich das idealisierte Verhalten des DIRAC- Impulses zu Hilfe nehmen, den Du bereits im Video zum T- Glied und D-Glied kennengelernt hast. Dieser ist formal ein Rechteckimpuls, der jedoch die besondere Eigenschaft die Fläche Eins einzuschließen, besitzt. Auf diese Erregung antwortet das System nun mit einer sogenannten Impulsantwort. Du hast sie bestimmt schon einmal unter ihrem bekannteren Namen, der Gewichtsfunktion, kennengelernt.
Die Impulserregung kann Dir zum Beispiel dabei helfen, ein schwingfähiges System zu untersuchen. Oftmals ist es aber schwierig einen idealen Impuls zu erzeugen, der dem Verhalten des DIRAC-Stoßes möglichst nahekommt. Für diese Fälle benutzt Du die Sprungfunktion als Testfunktion.
Befinden wir uns in einer Situation, in der eine physikalische Größe einen bestimmten Anstiegsgradienten nicht überschreiten soll, wie etwa beim Erwärmen eines chemischen Gemisches, benutzen wir die Rampenfunktion:

Das Geheimnis um die wilden Zusammenhänge der Testfunktionen hat sich hiermit gelüftet und Du kannst mit Zuversicht in Deine Regelungstechnik-Zukunft blicken!

Testfunktionen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist die delta-Funktion?

Die delta-Funktion (Dirac-Delta) ist ein idealisierter Impuls, der im Zeitbereich nur „an einem Zeitpunkt“ wirkt: außerhalb dieses Zeitpunkts ist sie null, und ihre Fläche (das Integral über die Zeit) ist gleich 1. Physikalisch modelliert sie einen sehr kurzen, sehr starken Stoß.
Was ist der Unterschied zwischen Einheitsimpuls und Dirac-Delta?

„Einheitsimpuls“ und „Dirac-Delta“ meinen in der Regel dasselbe ideale Signal: einen Impuls mit Flächeninhalt 1. „Dirac-Delta“ ist der Name bzw. das Symbol, während „Einheitsimpuls“ betont, dass die eingeschlossene Fläche genau 1 beträgt. Skalierung ändert den Flächeninhalt.
Wie hängen Sprungantwort und Impulsantwort eines Systems zusammen?

Bei einem linearen zeitinvarianten System ist die Impulsantwort die zeitliche Ableitung der Sprungantwort, und die Sprungantwort ist das Zeitintegral der Impulsantwort. Intuitiv entsteht der Sprung als „Aufsummieren“ unendlich vieler kleiner Impulse, deshalb sind beide Antworten direkt über Ableiten und Integrieren verknüpft.
Warum führt eine Zeitverschiebung der Sprungfunktion in der Laplace-Ebene nur zu einem Faktor?

Eine Zeitverschiebung führt in der Laplace-Ebene zu einem Faktor, weil in der Laplace-Transformation die Verzögerung als Exponentialterm aus dem Integral herausgezogen werden kann. Dadurch bleibt die „Form“ der Bildfunktion gleich, und die Verzögerung steckt nur noch im Multiplikationsfaktor $e^{-s t_0}$ .

Nach Beantwortung speichern wir deine Antwort, um Studyflix zu verbessern. Mehr dazu erfährst du in unserer Datenschutzerklärung.

Regelungstechnik verstehen

Testfunktionen sind feste Eingangssignale und gehören zu den Grundlagen der Regelungstechnik. Du arbeitest mit Signalen im Zeitbereich und im s-Bereich und setzt sie als Eingang für ein System an. So erkennst du, wie sich ein Systemverhalten aus seinem Übertragungsverhalten und typischen Eingangssignalen ableiten lässt. Weitere Videos dazu findest du in unserem Informatikbereich.

zur Videoseite: Testfunktionen