Was ist eine 2 mal 2-Matrix?

Eine ‑Matrix ist eine Anordnung von Zahlen in genau 2 Zeilen und 2 Spalten. Dadurch hat sie insgesamt 4 Einträge. Du schreibst sie meist in Klammern, zum Beispiel als Quadrat aus vier Zahlen.

Was sagt die Determinante einer Matrix aus?

Die Determinante einer ()-Matrix ist eine einzelne Zahl, die du aus den vier Einträgen der Matrix berechnest. Du schreibst sie zum Beispiel als oder . In Aufgaben ist die Determinante also einfach das Ergebnis dieser festen Rechnung.

Kann die Determinante einer 2 mal 2-Matrix 0 oder negativ sein?

Die Determinante einer ‑Matrix kann 0 oder auch negativ sein. Zum Beispiel hat die Determinante . Und hat .

Video

Determinante 2×2

Wichtige Inhalte in diesem Video

Determinante 2×2 einfach erklärt

(00:12)

Determinante 2×2 berechnen

(01:25)

Determinante 2×2 Aufgaben

(02:26)

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die Determinante einer 2×2 Matrix berechnest. Du möchtest das Thema anschaulich erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video dazu an!

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Inhaltsübersicht

Determinante 2×2 einfach erklärt

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(00:12)

Einer 2×2 Matrix kannst du eine Zahl zuordnen, die du Determinante nennst.

Betrachte die Matrix $A= \begin{pmatrix} {\textcolor{red}{3}} & {\textcolor{blue}{4}} \\ {\textcolor{blue}{1}} & {\textcolor{red}{5}} \end{pmatrix}$ . Um die 2×2 Determinante der Matrix A zu bestimmen, berechnest du zuerst das Produkt der Hauptdiagonale ${\textcolor{red}{3}} \cdot {\textcolor{red}{5}}$ und ziehst dann das Produkt der Nebendiagonale ${\textcolor{blue}{1}} \cdot {\textcolor{blue}{4}}$ ab.

$\det(A)= \begin{vmatrix} {\textcolor{red}{3}} & {\textcolor{blue}{4}} \\ {\textcolor{blue}{1}} & {\textcolor{red}{5}} \end{vmatrix} = {\textcolor{red}{3}} \cdot {\textcolor{red}{5}} - {\textcolor{blue}{1}} \cdot {\textcolor{blue}{4}} = 11$

Merke

Die Determinante einer 2×2 Matrix $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ berechnest du wie folgt.

$\det(A) = \begin{vmatrix} {\textcolor{red}{a}} & {\textcolor{blue}{b}} \\ {\textcolor{blue}{c}} & {\textcolor{red}{d}} \end{vmatrix}= {\textcolor{red}{a}} \cdot {\textcolor{red}{d}} - {\textcolor{blue}{c}} \cdot {\textcolor{blue}{b}}$

Du rechnest also: Links oben mal rechts unten minus links unten mal rechts oben.

Hinweis: Für die Notation der Determinante findest du die Schreibweisen $\det(A)$ oder |A| .

Determinante 2×2 berechnen

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(01:25)

Du bestimmst die Determinante einer 2×2 Matrix indem du ihre Komponenten in die Formel $a \cdot d - c \cdot b$ einsetzt. Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel 1

Betrachte als Beispiel die Matrix $A= \begin{pmatrix} {\textcolor{red}{1}} & {\textcolor{blue}{4}} \\ {\textcolor{blue}{2}} & {\textcolor{red}{3}} \end{pmatrix}$ . Für die Determinante berechnest du zuerst die Produkte der Diagonalen. Das heißt, du multiplizierst zuerst die Komponenten 1 und 3.

${\textcolor{red}{1}} \cdot {\textcolor{red}{3}} = 3$

Anschließend bestimmst du das Produkt aus 2 und 4.

${\textcolor{blue}{2}} \cdot {\textcolor{blue}{4}} = 8$

Um nun die 2×2 Determinante von A zu berechnen, ziehst du nun das zweite Produkt vom ersten Produkt ab.

$\det(A)= \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5$

Beispiel 2

Möchtest du die Determinante der 2×2 Matrix $B= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ berechnen, so multiplizierst du auch hier wieder die Einträge der Diagonalen und subtrahierst sie anschließend. Als Ergebnis bekommst du

$\det(B) = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}= -2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4$ .

Beispiel 3

Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Um die Determinante der 2×2 Matrix $C= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$ zu bestimmen, rechnest du

$\det(C)= \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{vmatrix} = 4 \cdot 6 - 8 \cdot 3 = 0$ .

Weitere Themen zur Determinante

Neben der Determinante einer 2×2 Matrix haben wir noch weitere Themen für dich vorbereitet, die sich mit der Determinante beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Determinante 2×2 Aufgaben

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(02:26)

Im folgenden Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben, mit welchen du das Berechnen einer 2×2 Determinante üben kannst.

Aufgabe 1: Determinante berechnen 2×2

Berechne die Determinante der Matrix $A= \begin{pmatrix} -5 & -6 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}$ .

Lösung Aufgabe 1

Für die Determinante der Matrix A setzt du die Einträge von A in die Formel $\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}= a \cdot d - c \cdot b$ ein. Damit ergibt sich für die Matrix A die Determinante

$\det(A)= \begin{vmatrix} -5 & -6 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = -5 \cdot 2 + 8 \cdot 6 = 38$ .

Aufgabe 2: 2×2 Matrix Determinante

Bestimme die Determinante der Matrix $A= \begin{pmatrix} -7 & -4 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ .

Lösung Aufgabe 2

Auch hier verwendest du die Formel $\det(A) = a \cdot d - c \cdot b$ . Du rechnest somit

$\det(A)= \begin{vmatrix} -7 & -4 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = 7 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 21$ .

Determinante 2×2 — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist eine 2 mal 2-Matrix?

Eine $2\times 2$ ‑Matrix ist eine Anordnung von Zahlen in genau 2 Zeilen und 2 Spalten. Dadurch hat sie insgesamt 4 Einträge. Du schreibst sie meist in Klammern, zum Beispiel als Quadrat aus vier Zahlen.
Was sagt die Determinante einer Matrix aus?

Die Determinante einer ( $2\times 2$ )-Matrix ist eine einzelne Zahl, die du aus den vier Einträgen der Matrix berechnest. Du schreibst sie zum Beispiel als $\det(A)$ oder . In Aufgaben ist die Determinante also einfach das Ergebnis dieser festen Rechnung.
Kann die Determinante einer 2 mal 2-Matrix 0 oder negativ sein?

Die Determinante einer $2\times 2$ ‑Matrix kann 0 oder auch negativ sein. Zum Beispiel hat $\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}$ die Determinante $1\cdot4-2\cdot2=0$ . Und $\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}$ hat $0\cdot1-2\cdot1=-2$ .