Wie kann ich schnell prüfen, ob das Ergebnis von Matrix mal Vektor überhaupt Sinn ergibt, ohne alles auszurechnen?

Du prüfst schnell, ob die Dimensionen passen und ob die Ergebnislänge stimmt. Konkret muss die Spaltenzahl der Matrix gleich der Länge des Vektors sein, und der Ergebnisvektor hat so viele Einträge wie die Matrix Zeilen hat. Beispiel: mal ergibt .

Wie rechne ich Matrix mal Vektor schneller, wenn im Vektor viele Nullen stehen oder in der Matrix viele Nullen sind?

Du lässt alle Produkte weg, in denen eine Null vorkommt, und addierst nur die übrigen Terme. Das spart besonders Zeit, wenn der Vektor spärlich besetzt ist oder die Matrix viele Nulleinträge hat. Beispiel: Bei zählt pro Zeile nur Spalte 1 und 3.

Was ist der häufigste Denkfehler bei Assoziativität, wenn ich A · (B · v) rechne?

Der häufigste Denkfehler ist, Assoziativität mit Vertauschbarkeit zu verwechseln und die Reihenfolge zu ändern. Du darfst nur umklammern: , aber nicht . Die Klammer ändert den Rechenweg, nicht die Reihenfolge.

Wie unterscheide ich sicher, ob ich das Skalarprodukt oder Matrix mal Vektor rechnen soll?

Du rechnest Skalarprodukt, wenn du zwei gleich lange Vektoren hast und ein Skalar herauskommen soll. Du rechnest Matrix mal Vektor, wenn links eine Matrix steht und das Ergebnis wieder ein Vektor ist. Beispiel: , aber bleibt ein Vektor.

Warum darf ich bei Matrix mal Vektor die Reihenfolge nicht einfach tauschen, auch wenn die Dimensionen zufällig passen?

Du darfst die Reihenfolge nicht tauschen, weil Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, also meist . Außerdem beschreibt eine lineare Abbildung auf Spaltenvektoren, während (falls definiert) ein anderer Rechentyp mit anderer Bedeutung ist.

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Matrix mal Vektor

Wichtige Inhalte in diesem Video

Matrix mal Vektor einfach erklärt

(00:14)

Matrix mal Vektor Beispiele

(01:32)

Matrix mal Vektor Rechenregeln

(03:20)

Willst du wissen, wie du eine Matrix mal Vektor rechnen kannst und welche Rechenregeln du beachten musst? Hier und in unserem Video zeigen wir dir alles Wichtige dazu!

Inhaltsübersicht

Matrix mal Vektor einfach erklärt

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(00:14)

Die Matrix mal Vektor Rechnung ist Teil der Matrizenmultiplikation. Genauer gesagt wird hier eine Matrix mit einem Vektor multipliziert. Um das Ergebnis zu erreichen, musst du das Zeile-mal-Spalte-Prinzip anwenden:

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Du musst also die Werte der ersten Spalte der Matrix mit allen Zahlen des Vektors multiplizieren. Dann summierst du die Werte auf. Das ergibt allerdings nur die erste Zeile des Ergebnisvektors. Deshalb musst du den Schritt für die folgenden Zeilen der Matrix wiederholen.

Wichtig: Damit du Matrix mit Vektor multiplizieren kannst, muss die Spaltenanzahl der Matrix (hier 3) mit der Zeilenanzahl des Vektors (hier 3) übereinstimmen.

Matrix mal Vektor Beispiele

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(01:32)

Beispiel 1: Es sind die Matrix B und der Vektor $\vec{e}$ gegeben:

$B=\left(\begin{array}{lll} \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{4}& \textcolor{orange}{6}\end{array}\right)\quad\quad\vec{e}= \left(\begin{array}{c} \textcolor{violet}{1} \\ \textcolor{violet}{0} \\ \textcolor{violet}{1} \end{array}\right)$

Du rechnest also

$B\cdot\vec{e}=\left(\begin{array}{lll} \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{4}& \textcolor{orange}{6}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} \textcolor{violet}{1} \\ \textcolor{violet}{0} \\ \textcolor{violet}{1} \end{array}\right)$

Zuerst betrachtest du die erste und hier auch einzige Spalte in der Matrix. Sie musst du jetzt mit jedem Wert des Vektors multiplizieren. Das sieht dann so aus:

$\left(\begin{array}{ccccc} \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{violet}{1} & +& \textcolor{orange}{4}\cdot \textcolor{violet}{0} & + &\textcolor{orange}{6} \cdot \textcolor{violet}{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \textcolor{teal}{8}\end{array}\right)$

Wichtig: Das Ergebnis der Rechnung bleibt immer ein Vektor! In diesem Beispiel hat er aber nur eine Zeile.

Beispiel 2:

$B=\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{3}& \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{1}\\ \textcolor{blue}{4}&\textcolor{blue}{-1}&\textcolor{blue}{0} \end{array}\right)\quad\quad\vec{k}=\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}4\\\textcolor{violet}1\\\textcolor{violet}2\end{arry}\right)$

Jetzt musst du Matrix mit Vektor multiplizieren:

$\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{3}& \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{1}\\ \textcolor{blue}{4}&\textcolor{blue}{-1}&\textcolor{blue}{0} \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}4\\\textcolor{violet}1\\\textcolor{violet}2\end{arry}\right)=\left(\begin{array}{ccrcc}\textcolor{orange}3\cdot \textcolor{violet}4&+&\textcolor{orange}2\cdot\textcolor{violet}1&+&\textcolor{orange}1\cdot\textcolor{violet}2\\ \textcolor{blue}4\cdot\textcolor{violet}4&+&\textcolor{blue}{(-1)}\cdot\textcolor{violet}1&+&\textcolor{blue}0\cdot\textcolor{violet}2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\textcolor{teal}{16}\\\textcolor{teal}{15}\end{array}\right)$

Beispiel 3:

$A=\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{-2}& \textcolor{orange}{0}& \textcolor{orange}{4}\\ \textcolor{blue}{3}&\textcolor{blue}{1}&\textcolor{blue}{-4}\\ 0&0&3 \end{array}\right)\quad\quad\vec{g}=\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}0\\\textcolor{violet}2\\\textcolor{violet}3\end{array}\right)$

Auch bei einer Matrix mit drei Zeilen gehst du genauso vor:

$\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{-2}& \textcolor{orange}{0}& \textcolor{orange}{4}\\ \textcolor{blue}{3}&\textcolor{blue}{1}&\textcolor{blue}{-4}\\ 0&0&3 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}0\\\textcolor{violet}2\\\textcolor{violet}3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcccr} \textcolor{orange}{(-2)}\cdot\textcolor{violet}0&+& \textcolor{orange}{0}\cdot\textcolor{violet}2&+& \textcolor{orange}{4}\cdot\textcolor{violet}3\\ \textcolor{blue}{3}\cdot\textcolor{violet}0&+&\textcolor{blue}{1}\cdot\textcolor{violet}2&+&\textcolor{blue}{(-4)}\cdot\textcolor{violet}3\\ 0\cdot\textcolor{violet}0&+&0\cdot\textcolor{violet}2&+&3\cdot\textcolor{violet}3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \textcolor{teal}{12} \\ \textcolor{teal}{-10} \\\textcolor{teal}{9}\end{array}\right)$

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Matrix mal Vektor Rechenregeln

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(03:20)

Für die Multiplikation von Matrix mit Vektor musst du zwei wichtige Rechenregeln beachten:

Assoziativität: Wenn zwei Matrizen (A und B) und ein Vektor multipliziert werden, kannst du die Klammern beliebig setzen:

(A · B) · $\vec{v}$ = A · (B · $\vec{v}$ )
Distributivität:
Du kannst bei der Matrix mal Vektorrechnung Klammern auflösen:

(A + B) · $\vec{v}$ = A · $\vec{v}$ + B · $\vec{v}$
A · ( $\vec{v}$ + $\vec{w})$ = A · $\vec{v}$ + A · $\vec{w}$

Matrix mal Vektor — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie kann ich schnell prüfen, ob das Ergebnis von Matrix mal Vektor überhaupt Sinn ergibt, ohne alles auszurechnen?

Du prüfst schnell, ob die Dimensionen passen und ob die Ergebnislänge stimmt. Konkret muss die Spaltenzahl der Matrix gleich der Länge des Vektors sein, und der Ergebnisvektor hat so viele Einträge wie die Matrix Zeilen hat. Beispiel: $2\times3$ mal $3\times1$ ergibt $2\times1$ .
Wie rechne ich Matrix mal Vektor schneller, wenn im Vektor viele Nullen stehen oder in der Matrix viele Nullen sind?

Du lässt alle Produkte weg, in denen eine Null vorkommt, und addierst nur die übrigen Terme. Das spart besonders Zeit, wenn der Vektor spärlich besetzt ist oder die Matrix viele Nulleinträge hat. Beispiel: Bei zählt pro Zeile nur Spalte 1 und 3.
Was ist der häufigste Denkfehler bei Assoziativität, wenn ich A · (B · v) rechne?

Der häufigste Denkfehler ist, Assoziativität mit Vertauschbarkeit zu verwechseln und die Reihenfolge zu ändern. Du darfst nur umklammern: $(A\cdot B)\cdot v = A\cdot(B\cdot v)$ , aber nicht $A\cdot(B\cdot v)=B\cdot(A\cdot v)$ . Die Klammer ändert den Rechenweg, nicht die Reihenfolge.
Wie unterscheide ich sicher, ob ich das Skalarprodukt oder Matrix mal Vektor rechnen soll?

Du rechnest Skalarprodukt, wenn du zwei gleich lange Vektoren hast und ein Skalar herauskommen soll. Du rechnest Matrix mal Vektor, wenn links eine Matrix steht und das Ergebnis wieder ein Vektor ist. Beispiel: $(1,2,3)\cdot(4,0,1)=7$ , aber $A\cdot(4,0,1)^T$ bleibt ein Vektor.
Warum darf ich bei Matrix mal Vektor die Reihenfolge nicht einfach tauschen, auch wenn die Dimensionen zufällig passen?

Du darfst die Reihenfolge nicht tauschen, weil Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, also meist $A\cdot v \neq v\cdot A$ . Außerdem beschreibt $A\cdot v$ eine lineare Abbildung auf Spaltenvektoren, während $v\cdot A$ (falls definiert) ein anderer Rechentyp mit anderer Bedeutung ist.

Matrizen multiplizieren

Super! Jetzt kannst du Matrix mal Vektor rechnen. Willst du noch wissen, wie du Matrizen miteinander multiplizieren kannst? Dann schau in unserem Video dazu rein!