Was ist Orthogonalität?

Orthogonalität bedeutet bei Vektoren, dass sie senkrecht zueinander stehen und einen Winkel von 90° bilden. Algebraisch passt dazu, dass ihr Skalarprodukt Null wird. Deshalb prüfst du Orthogonalität, indem du das Skalarprodukt ausrechnest und als Ergebnis 0 erhältst.

Was ist der Unterschied zwischen senkrecht und orthogonal?

Senkrecht und orthogonal bedeuten in der Mathematik meistens dasselbe: Zwei Objekte schneiden sich im rechten Winkel. Orthogonal ist der Fachbegriff, den du besonders bei Vektoren, Geraden oder Ebenen verwendest. Senkrecht ist die alltagssprachlichere Bezeichnung, die du oft in der Geometrie liest.

Sind orthogonal und parallel das Gleiche?

Orthogonal und parallel sind nicht das Gleiche: Orthogonale Vektoren stehen im rechten Winkel zueinander, parallele Vektoren zeigen in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung. Parallel erkennst du daran, dass ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Orthogonal erkennst du am Skalarprodukt 0.

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Orthogonal Vektor

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was sind orthogonale Vektoren?

(00:16)

Orthogonalität von Vektoren überprüfen

(00:36)

Orthogonalen Vektor bestimmen

(01:38)

Du hast zwei Vektoren gegeben und sollst überprüfen, ob sie orthogonal sind? Was orthogonale Vektoren sind und wie du sie berechnest, zeigen wir dir hier im Beitrag und im Video !

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Inhaltsübersicht

Was sind orthogonale Vektoren?

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(00:16)

Orthogonale Vektoren sind Vektoren, die senkrecht zueinander stehen. Das bedeutet, sie bilden zusammen einen rechten Winkel. Daher auch der Begriff „orthogonal“, der aus dem Griechischen stammt und rechtwinklig bedeutet. Dabei ist das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren immer gleich Null:

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$\vec{a} \circ \vec{b} = 0$

Übrigens: Es kann auch vorkommen, dass zwei Vektoren gar keinen Winkel einschließen. In dem Fall sind sie parallel zueinander.

Orthogonalität von Vektoren überprüfen

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(00:36)

Mithilfe des Skalarproduktes berechnest du, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind. Wie das geht, schauen wir uns jetzt an einem Beispiel an!

Du hast zwei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 5 \\ -5 \end{array}\right)$ gegeben. Um nun die Vektoren auf Orthogonalität zu prüfen, gehst du wie folgt vor:

Als Erstes setzt du die Vektoren in die Formel des Skalarproduktes ein:
$\vec{a} \circ \vec{b} = 0 \rightarrow \left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 5 \\ -5 \end{array}\right)$
Danach berechnest du aus beiden Vektoren das Skalarprodukt:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{b_1} + \textcolor{magenta}{a_2} \cdot \textcolor{magenta}{b_2} + \textcolor{teal}{a_3} \cdot \textcolor{teal}{b_3}$

$\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{magenta}{2} \\ \textcolor{teal}{-4} \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{-5} \\ \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{teal}{-5} \end{array}\right) = \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{(-5)} + \textcolor{magenta}{2} \cdot \textcolor{magenta}{5} + \textcolor{teal}{(-4)} \cdot \textcolor{teal}{(-5)}$
Im letzten Schritt berechnest du nur noch das Ergebnis der Gleichung:
6 • (-5) + 2 • 5 + (-4) • (-5) = 0
-30 + 10 + 20 = 0
0 = 0 ✓

Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null ist, handelt es sich um zwei zueinander orthogonale Vektoren. Denn sie bilden zusammen einen rechten Winkel.

Ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren ungleich Null, bilden sie zusammen keinen rechten Winkel und sind nicht orthogonal. Das wäre zum Beispiel bei diesen Vektoren der Fall:

$\left(\begin{array}{c} 1,5 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 1,5 \cdot 4 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 6 + 2 + 2= 10 \neq 0$

Orthogonalität

Nicht nur Vektoren, sondern auch Geraden und Flächen können zueinander orthogonal sein. Das kannst du wie folgt prüfen:

Zwei Geraden g und m sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null ist: $\vec{u_g} \cdot \vec{u_m} = 0$
Zwei Ebenen E und H sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren gleich Null ist: $\vec{n_E} \cdot \vec{n_H} = 0$
Eine Gerade g und eine Ebene E sind orthogonal, wenn der Normalenvektor der Ebene ein Vielfaches (x) des Richtungsvektors der Geraden ist: $x \cdot \vec{n_E} = \vec{u_g}$

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Orthogonalen Vektor bestimmen

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(01:38)

Es kann aber auch vorkommen, dass du nur einen Vektor gegeben hast, zu dem du einen orthogonalen Vektor bestimmen sollst. Auch hier benötigst du das Skalarprodukt. Wie genau das funktioniert, zeigen wir dir jetzt:

Du hast den Vektor $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)$ gegeben und möchtest dazu einen orthogonalen Vektor $\vec{b}$ bestimmen.

Den Vektor setzt du auch hier wieder in die Formel vom Skalarprodukt ein:
$\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{magenta}{1} \\ \textcolor{teal}{4} \end{array}\right) \cdot \vec{b} = 0$
Nun löst du die Formel für das Skalarprodukt auf. Für den Vektor $\vec{b}$ setzt du die Variablen ein und erhältst eine Gleichung:
$\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{b_1} + \textcolor{magenta}{1} \cdot \textcolor{magenta}{b_2} + \textcolor{teal}{4} \cdot \textcolor{teal}{b_3} = 0$
Für zwei der Variablen kannst du jetzt beliebige Zahlen einsetzen. In unserem Beispiel setzen wir b₁ = 2 und b₂ = 6 ein. Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
3 • 2 + 1 • 6 + 4 • b₃ = 0

Wichtig: Du kannst beliebige Variablen wählen, außer den Vektor $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ ! Damit ist zwar das Skalarprodukt gleich null, aber der Vektor besitzt keine Länge. Dadurch schließen die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ keinen rechten Winkel ein.
Diese Gleichung löst du nun nach b₃ auf:
3 • 2 + 1 • 6 + 4 • b₃ = 0
6 + 6 + 4 • b₃= 04 • b₃= -12
b₃ = -3

Nun hast du alle Werte für den zu $\vec{a}$ orthogonalen Vektor $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{magenta}{6} \\ \textcolor{teal}{ -3} \end{array}\right)$ .

Tipp: Sollst du zu zwei Vektoren einen orthogonalen Vektor bestimmen, berechnest du das Kreuzprodukt der gegebenen Vektoren. Wie das geht, erklären wir dir hier!

Zwei orthogonale Vektoren

Zu jedem Vektor gibt es zahlreiche orthogonale Vektoren. Musst du jedoch nicht nur einen, sondern zwei orthogonale Vektoren angeben, kannst du einen Trick anwenden: Hast du zu einem gegebenen Vektor bereits einen orthogonalen Vektor berechnet, kannst du durch Verändern der Vorzeichen einen zweiten orthogonalen Vektor bestimmen: $\vec{b_1} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right) \rightarrow \vec{b_2} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -6 \\ 3 \end{array}\right)$

Sowohl Vektor $\vec{b_1}$ als auch Vektor $\vec{b_2}$ bilden mit Vektor $\vec{a}$ einen rechten Winkel.

Orthogonal Vektor — häufigste Fragen

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Was ist Orthogonalität?

Orthogonalität bedeutet bei Vektoren, dass sie senkrecht zueinander stehen und einen Winkel von 90° bilden. Algebraisch passt dazu, dass ihr Skalarprodukt Null wird. Deshalb prüfst du Orthogonalität, indem du das Skalarprodukt ausrechnest und als Ergebnis 0 erhältst.
Was ist der Unterschied zwischen senkrecht und orthogonal?

Senkrecht und orthogonal bedeuten in der Mathematik meistens dasselbe: Zwei Objekte schneiden sich im rechten Winkel. Orthogonal ist der Fachbegriff, den du besonders bei Vektoren, Geraden oder Ebenen verwendest. Senkrecht ist die alltagssprachlichere Bezeichnung, die du oft in der Geometrie liest.
Sind orthogonal und parallel das Gleiche?

Orthogonal und parallel sind nicht das Gleiche: Orthogonale Vektoren stehen im rechten Winkel zueinander, parallele Vektoren zeigen in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung. Parallel erkennst du daran, dass ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Orthogonal erkennst du am Skalarprodukt 0.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Jetzt weißt du, dass zwei orthogonale Vektoren immer einen Winkel von 90° einschließen. Wie du beliebige Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest, erklären wir dir hier!