Wie erkennt man am Skalarprodukt, ob der Winkel zwischen zwei Vektoren spitz oder stumpf ist?

Am Skalarprodukt erkennst du spitz oder stumpf über das Vorzeichen: Ist das Skalarprodukt positiv, ist der Winkel spitz, ist es negativ, ist der Winkel stumpf. Zum Beispiel: (spitzer Winkel), aber (stumpfer Winkel).

Was, wenn das Skalarprodukt 0 ist?

Wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht zueinander und der Winkel beträgt . Zum Beispiel: , also gilt und damit .

Kann der Winkel zwischen zwei Vektoren auch größer als 180° sein?

Der Winkel zwischen zwei Vektoren, den du mit berechnest, liegt immer zwischen und . Ein „Winkel größer als “ wäre der Winkel, wenn du einmal außen herum misst, aber in der Vektorrechnung meint man normalerweise den kleineren Winkel bis maximal .

Video

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Winkel zwischen zwei Vektoren

Wichtige Inhalte in diesem Video

Winkel zwischen zwei Vektoren einfach erklärt

(00:12)

Anleitung zur Winkelberechnung

(02:08)

Winkelberechnung: Beispiele

(02:34)

Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit einer Formel berechnen. Wie das genau funktioniert und worauf du achten musst, zeigen wir dir hier und im Video Schritt für Schritt!

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Inhaltsübersicht

Winkel zwischen zwei Vektoren einfach erklärt

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(00:12)

Um einen Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, benötigst du folgende Formel:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Damit findest du heraus, wie groß der Winkel θ (Theta) zwischen den Vektoren  $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  ist.

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Was brauchst du dafür?

Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ : Dabei multiplizierst du die beiden Vektoren miteinander. Daraus bekommst du am Ende nur eine Zahl: das Skalarprodukt.
Betrag eines Vektors $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ : Das ist die Länge der Vektoren — wie bei einem Pfeil im Raum.

Sobald du Skalarprodukt und Längen berechnet hast, setzt du alles in die Formel ein. Mit dem Taschenrechner kannst du dann den Winkel berechnen. Wie das genau geht, zeigen wir dir im nächsten Schritt.

Anleitung zur Winkelberechnung

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(02:08)

Den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest du am besten Schritt für Schritt. Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

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Schritt 1: Skalarprodukt berechnen

Das Skalarprodukt ist eine Rechenregel, mit der du zwei Vektoren miteinander vergleichen kannst. Du nimmst dafür die entsprechenden Zahlen aus beiden Vektoren, multiplizierst sie miteinander und addierst das Ergebnis.

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Am Beispiel sieht das so aus:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5$

➡️Diese Zahl zeigt dir, wie ähnlich sich die Richtungen der beiden Vektoren sind. Ein großer Wert bedeutet: die Vektoren zeigen eher in dieselbe Richtung.

Schritt 2: Längen der Vektoren berechnen

Der Betrag eines Vektors beschreibt, wie groß der Vektor ist — also wie lang der Pfeil ist, den er im Koordinatensystem darstellt:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

Eingesetzt mit den Werten aus dem Beispiel:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Schritt 3: Werte in die Formel einsetzen

Jetzt kennst du das Skalarprodukt (Zähler) und die Längen (Nenner). Beides setzt du in die Winkel-Formel ein:

$\cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} \approx 0{,}71$

➡️Der Cosinus gibt dir eine Zahl zwischen –1 und 1. Je nachdem, wie ähnlich oder unterschiedlich die Richtungen sind, liegt der Wert näher bei 1 (kleiner Winkel) oder bei –1 (großer Winkel, fast entgegengesetzt).

Schritt 4: Winkel mit dem Taschenrechner berechnen

Jetzt drehst du den Cosinus wieder um. Dafür brauchst du die Umkehrfunktion arccos. So bekommst du den Winkel in Grad. Das machst du mit der Taste cos⁻¹ auf dem Taschenrechner:

$\theta = \cos^{-1}(0{,}71) \approx 45{,}6^\circ$

➡️ Damit weißt du jetzt, dass der Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ etwa 46° beträgt. Das ist ein spitzer Winkel, die beiden Pfeile gehen also deutlich auseinander, sind aber nicht senkrecht zueinander.

Winkelberechnung: Beispiele

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(02:34)

Jetzt, wo du die Rechenschritte kennst, wird’s praktisch. In den nächsten beiden Beispielen zeigen wir dir, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren im zweidimensionalen und im dreidimensionalen Raum berechnest.

2D-Raum

Du berechnest den Winkel zwischen den Vektoren:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

Schritt 1: Skalarprodukt berechnen

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$

Das Ergebnis brauchst du später im Zähler der Formel.

Schritt 2: Längen der Vektoren berechnen

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

Die Beträge kommen in den Nenner.

Schritt 3: Werte in die Formel einsetzen

Setze alles in die Formel ein:

$\cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{5}{\sqrt{221}} \approx 0{,}34$

Schritt 4: Winkel berechnen mit dem Taschenrechner

$\theta = \cos^{-1}(0{,}34) \approx 70{,}1^\circ$

3D-Raum

Gegeben sind die Vektoren:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Schritt 1: Skalarprodukt berechnen
Multipliziere die passenden Komponenten und addiere sie:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 - 4 = -1$

Schritt 2: Beträge der Vektoren berechnen

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$

Schritt 3: In die Formel einsetzen

Nun setzt du alles in die Winkel-Formel ein:

$\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{210}} \approx -0{,}07$

Schritt 4: Winkel berechnen
Zum Schluss nutzt du die Umkehrfunktion vom Cosinus im Taschenrechner:

$\theta = \cos^{-1}(-0{,}07) \approx 94{,}0^\circ$

Übungsaufgaben zur Winkelberechnung

Nun bist du dran! Mit den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen direkt testen. Es gibt je zwei Aufgaben im 2D- und im 3D-Raum. Jede Aufgabe lässt sich in vier Schritten lösen: Skalarprodukt, Beträge berechnen, Formel anwenden, Winkel bestimmen. Berechne immer den Winkel zwischen den Vektoren.

Aufgaben im 2D-Raum

Aufgabe 1:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

Lösung:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4{,}12$

$\cos(\theta) = \frac{11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} \approx 0{,}74$

$\theta = \cos^{-1}(0{,}74) \approx 42{,}5^\circ$

Aufgabe 2:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

Lösung:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 4 + 5 \cdot (-1) = -8 - 5 = -13$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4{,}12$

$\cos(\theta) = \frac{-13}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{17}} \approx -0{,}59$

$\theta = \cos^{-1}(-0{,}59) \approx 126{,}3^\circ$

Aufgaben im 3D-Raum

Aufgabe 3:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$

Lösung:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 4 + 1 \cdot 0 + 5 \cdot (-3) = -8 + 0 - 15 = -23$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30} \approx 5{,}48$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$\cos(\theta) = \frac{-23}{\sqrt{30} \cdot 5} \approx -0{,}84$

$\theta = \cos^{-1}(-0{,}84) \approx 147{,}9^\circ$

Aufgabe 4:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

Lösung:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 0 - 6 + 8 = 2$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \approx 3{,}74$

$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$

$\cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{20}} \approx 0{,}12$

$\theta = \cos^{-1}(0{,}12) \approx 82{,}9^\circ$

Winkel zwischen zwei Vektoren — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkennt man am Skalarprodukt, ob der Winkel zwischen zwei Vektoren spitz oder stumpf ist?

Am Skalarprodukt erkennst du spitz oder stumpf über das Vorzeichen: Ist das Skalarprodukt positiv, ist der Winkel spitz, ist es negativ, ist der Winkel stumpf. Zum Beispiel: $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=1>0$ (spitzer Winkel), aber $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=-1<0$ (stumpfer Winkel).
Was, wenn das Skalarprodukt 0 ist?

Wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht zueinander und der Winkel beträgt $90^\circ$ . Zum Beispiel: $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=1\cdot2+2\cdot(-1)=2-2=0$ , also gilt $\cos(\theta)=0$ und damit $\theta=\cos^{-1}(0)=90^\circ$ .
Kann der Winkel zwischen zwei Vektoren auch größer als 180° sein?

Der Winkel zwischen zwei Vektoren, den du mit $\theta=\cos^{-1}(\dots)$ berechnest, liegt immer zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$ . Ein „Winkel größer als $180^\circ$ “ wäre der Winkel, wenn du einmal außen herum misst, aber in der Vektorrechnung meint man normalerweise den kleineren Winkel bis maximal $180^\circ$ .

Orthogonal Vektor

Zwei Vektoren können nicht nur einen bestimmten Winkel bilden — sie können auch genau senkrecht zueinander stehen. Wann das der Fall ist und was das mit orthogonalen Vektoren zu tun hat, erfährst du hier!