Wozu dient die Spur einer Matrix?

Die Spur einer Matrix dient als kompakte Kennzahl, die nur aus den Hauptdiagonaleinträgen entsteht und viele Rechnungen zusammenfasst. Du nutzt sie, weil sie bei Transposition gleich bleibt und bei ähnlichen Matrizen unverändert ist. Außerdem entspricht die Spur der Summe der Eigenwerte und taucht im charakteristischen Polynom auf.

Kann die Spur einer Matrix negativ sein?

Die Spur einer Matrix kann negativ sein, weil du entlang der Hauptdiagonale auch negative Einträge haben kannst. Die Spur ist nur deren Summe, daher kann das Ergebnis jedes Vorzeichen haben. Zum Beispiel hat die Diagonale die Spur .

Ist die Spur die Summe der Eigenwerte?

Die Spur ist die Summe der Eigenwerte einer quadratischen Matrix. Dabei zählst du jeden Eigenwert mit seiner algebraischen Vielfachheit, also so oft, wie er als Nullstelle im charakteristischen Polynom vorkommt. Deshalb passt die Spur auch dann, wenn Eigenwerte mehrfach auftreten.

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Spur einer Matrix

Wichtige Inhalte in diesem Video

Spur einer Matrix einfach erklärt

(00:11)

Spur einer Matrix berechnen

(01:49)

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der Spur einer Matrix. Wir zeigen dir wie du sie berechnen kannst und welche Eigenschaften sie besitzt. Schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Spur einer Matrix einfach erklärt

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(00:11)

In Worten gefasst entspricht die Spur einer Matrix der Summe der Elemente entlang der Hauptdiagonale dieser Matrix .

Die Elemente entlang der Hauptdiagonale sind dadurch charakterisiert, dass beide Indizes, die den Standort des Elements innerhalb der Matrix festlegen, denselben Wert annehmen.

Spur Matrix: Formel mit Summenzeichen

Wenn wir die Elemente von entlang der Hauptdiagonale mit $A_{ii}$ bezeichnen, dann kannst du die Spur folgendermaßen berechnen.

$\mathsf{Spur}(A) = A_{11} + A_{22} + A_{33} + ... + A_{nn} = \sum \limits_{i = 1}^n A_{ii}$

Beispielsweise ergibt sich für die Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&2 \\44&2&3\\12&63&7\\\end{array}\right)$

die Spur aus der Summe der Diagonalelemente

$\mathsf{Spur}(A) = 1+2+7=10$ .

Weitere Notationen für die Spur sind spur, spr, Sp, sp oder auch Trace, trace, Tr oder tr für die englische Bezeichnung trace.

Spur einer Matrix berechnen

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(01:49)

Wenn du eine quadratische Matrix gegeben hast

$A=\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\dots&A_{1n} \\A_{21}&A_{22}&\dots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\dots&A_{nn}\\\end{array}\right)$ ,

dann kannst du mit

$\mathsf{Spur}(A) = A_{11} + A_{22} + A_{33} + ... + A_{nn} = \sum \limits_{i = 1}^n A_{ii}$

die Spur von ausrechnen. In diesem Abschnitt schauen wir uns zwei konkrete Beispiele an.

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Beispiel 1: Spur einer 3×3-Matrix

Wir haben folgende Matrix gegeben

$A=\left(\begin{array}{ccc}3&3&5 \\11&4&9\\7&7&15\\\end{array}\right)$ .

Die Elemente entlang der Hauptdiagonale lauten

$A_{11} = 3, A_{22} = 4$ und $A_{33} = 15$ .

Damit ergibt sich die Spur von zu

$\mathsf{Spur}(A) = \sum \limits_{i = 1}^3 A_{ii} = A_{11} + A_{22} + A_{33} = 3 + 4 + 15 = 22$ .

Beispiel 2: Spur einer 4×4-Matrix

Wir haben folgende Matrix gegeben.

$A=\left(\begin{array}{cccc}-4&12&12&52 \\15&-6&-12&-1\\64&22&12&-34\\112&65&-72&5\\\end{array}\right)$

Die Elemente entlang der Hauptdiagonale lauten

$A_{11} = -4, A_{22} = -6, A_{33} = 12$ und $A_{44} = 5$ .

Damit ergibt sich die Spur von zu

$\mathsf{Spur}(A) = \sum \limits_{i = 1}^4 A_{ii} = A_{11} + A_{22} + A_{33} + A_{44} = -4 + (-6) + 12 + 5 = 7$ .

Spur Matrix Eigenschaften

In diesem Abschnitt geben wir dir eine Auflistung verschiedener Eigenschaften, die die Spur besitzt.

Eigenwerte und Spur Matrix: Die Spur einer Matrix entspricht der Summe ihrer Eigenwerte .
Charakteristisches Polynom und Spur Matrix: Wenn du das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix berechnest, wirst du feststellen, dass der zweithöchste Koeffizient dieses Polynoms gerade das Negative der Spur der dazugehörigen Matrix ist.
Transponieren und Spur Matrix: Die Spur einer Matrix und die Spur der transponierten Matrix sind gleich, das heißt, es gilt:
$\mathsf{Spur}(A) = \mathsf{Spur}(A^T)$ .
Lineare Abbildungen und Spur Matrix: Die Spur einer Matrix ist eine lineare Abbildung, das heißt es gilt:
$\mathsf{Spur}(a \cdot A + b \cdot B) = a\cdot \mathsf{Spur}(A) + b \cdot \mathsf{Spur}(B)$ .
Kommutativität und Spur Matrix: Die Multiplikation zweier Matrizen muss nicht unbedingt kommutativ sein. Unter der Wirkung der Spur, kannst du aber die Matrizen vertauschen und das Ergebnis bleibt dasselbe, auch wenn die Größe der resultierenden Matrix unterschiedlich sein kann. Konkret gilt:
$\mathsf{Spur}(A \cdot B) = \mathsf{Spur}(B \cdot A)$ ,
wobei und Matrizen mit der „richtigen Größe“ sind, sodass die beiden Produkte $A \cdot B$ und $B \cdot A$ definiert sind und quadratische Matrizen ergeben.
Definitheit und Spur Matrix: Sind und $n \times n$ -Matrizen und ist positiv definit und nicht negativ, dann gilt:
$\mathsf{Spur}(A \cdot B) \geq 0$ .
Ähnliche Matrizen: Die Spur zweier zueinander ähnlichen Matrizen ist gleich, das heißt, es gilt:
$\mathsf{Spur}(B^{-1} \cdot A \cdot B) = \mathsf{Spur}(A)$ ,
wobei eine $n \times n$ -Matrix und eine invertierbare $n \times n$ -Matrix ist.

Spur einer Matrix — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wozu dient die Spur einer Matrix?

Die Spur einer Matrix dient als kompakte Kennzahl, die nur aus den Hauptdiagonaleinträgen entsteht und viele Rechnungen zusammenfasst. Du nutzt sie, weil sie bei Transposition gleich bleibt und bei ähnlichen Matrizen unverändert ist. Außerdem entspricht die Spur der Summe der Eigenwerte und taucht im charakteristischen Polynom auf.
Kann die Spur einer Matrix negativ sein?

Die Spur einer Matrix kann negativ sein, weil du entlang der Hauptdiagonale auch negative Einträge haben kannst. Die Spur ist nur deren Summe, daher kann das Ergebnis jedes Vorzeichen haben. Zum Beispiel hat die Diagonale die Spur .
Ist die Spur die Summe der Eigenwerte?

Die Spur ist die Summe der Eigenwerte einer quadratischen Matrix. Dabei zählst du jeden Eigenwert mit seiner algebraischen Vielfachheit, also so oft, wie er als Nullstelle im charakteristischen Polynom vorkommt. Deshalb passt die Spur auch dann, wenn Eigenwerte mehrfach auftreten.