Wie erkenne ich, ob ich Differenzenquotient oder Ableitung brauche?

Den Differenzenquotienten brauchst du für die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen und , die Ableitung für die Steigung in genau einem Punkt. Der Differenzenquotient nutzt zwei Funktionswerte und beschreibt eine Sekante, die Ableitung entspricht der Tangente. Beispiel: „zwischen und “ bedeutet Differenzenquotient.

Welche Fehler passieren oft, wenn ich f(a) und f(b) einsetze?

Häufige Fehler beim Einsetzen von und sind vertauschte Werte, vergessene Klammern und ein falsches im Nenner. Das führt schnell zu Vorzeichenfehlern oder falschen Zahlen. Beispiel: Richtig ist , falsch wäre .

Warum ist die mittlere Änderungsrate nicht die Steigung im Punkt?

Die mittlere Änderungsrate ist nicht die Steigung im Punkt, weil sie die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte misst. Die Steigung im Punkt gehört zur Tangente und entsteht erst als Grenzwert, wenn immer näher an rückt. Beispiel: Zwischen und erhältst du eine Durchschnittssteigung, nicht die Tangentensteigung bei .

Wie deute ich ein negatives Ergebnis beim Differenzenquotienten?

Ein negativer Differenzenquotient bedeutet, dass die Funktionswerte im Intervall von nach im Durchschnitt abnehmen. Dann ist , also fällt der Graph zwischen den beiden Stellen insgesamt. Beispiel: Wenn eine Wegfunktion sinken würde, hieße das, dass die zurückgelegte Strecke kleiner wird, was in Sachaufgaben oft unplausibel ist.

Welche Einheit hat der Differenzenquotient bei Sachaufgaben?

Die Einheit des Differenzenquotienten ist immer „Einheit von pro Einheit von “. Das liegt daran, dass durch geteilt wird. Beispiel: Bei Strecke in Kilometern und Zeit in Stunden hat der Differenzenquotient die Einheit km/h und entspricht einer mittleren Geschwindigkeit.

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Differenzenquotient

Wichtige Inhalte in diesem Video

Differenzenquotient einfach erklärt

(00:14)

Mittlere Änderungsrate Differenzenquotient

(00:34)

Differenzenquotient Aufgaben

(01:21)

Grenzwert des Differenzenquotienten

(03:52)

In diesem Artikel erklären wir dir, was der Differenzenquotient ist und in welchem Zusammenhang er mit dem Differentialquotienten steht. Dafür verwenden wir viele Grafiken und Beispiele.

Du möchtest gern alles Wichtige über den Differenzenquotient erfahren, aber bist eher der audiovisuelle Lern-Typ? Kein Problem! Schau dir einfach unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Differenzenquotient einfach erklärt

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(00:14)

Angenommen du hast eine Funktion f(x) gegeben und eine Gerade, die den Graphen von in zwei Punkten A(a,f(a)) und B(b, f(b)) schneidet, eine sogenannte Sekante.

Differenzenquotient

Der Differenzenquotient ist dann gegeben durch:

$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

und beschreibt die Steigung der Sekante.

Mittlere Änderungsrate Differenzenquotient

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(00:34)

Graphisch sieht die beschriebene Situation folgendermaßen aus:

Du hast also eine Funktion f(x) und eine Sekante gegeben, die den Graphen in zwei Punkten und schneidet. Dein Ziel ist es die Steigung dieser Sekante zu bestimmen. Dafür zeichnest du ein sogenanntes Steigungsdreieck unterhalb der Sekante ein.

Differenzenquotient Steigung Sekante — Steigungsdreieck

Für deren Steigung musst du nun die Höhe des Dreiecks $\Delta y$ durch die Länge des Dreiecks $\Delta x$ teilen, das heißt

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Für die Höhe siehst du dir den y-Abschnitt des Dreiecks an. Da die Ecken des Dreiecks auf den Punkten und liegen, berechnest du ihn folgendermaßen:

$\Delta y = f(b)-f(a).$

Das Gleiche machst du auch für die Länge beziehungsweise den x-Abschnitt des Dreiecks und erhältst so:

$\Delta x = b-a.$

Nun setzt du deine Ergebnisse in die Formel des Steigungsdreiecks ein und bekommst damit die Definition des Differenzenquotient, auch mittlere Änderungsrate genannt:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

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Differenzenquotient Aufgaben

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(01:21)

Vielleicht hast du dich gerade gefragt, wieso man den Differenzenquotient auch mittlere Änderungsrate nennt. Schauen wir dazu zwei Beispiele an.

Beispiel 1

Betrachten wir ein theoretisches Differenzenquotient Beispiel und zwar sollst du die mittlere Änderungsrate der Funktion

f(x)=x^2+x

zwischen a=3 und b=11 bestimmen. Entsprechend der Differenzenquotient Formel berechnest du also

$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$=\frac{f(11)-f(3)}{11-3}$

$=\frac{11^2+11-(3^2+3)}{8}$

$=\frac{132-12}{8}$

=15.

Beispiel 2

Angenommen du fährst mit dem Zug in den Urlaub und die Funktion f(x) beschreibt den Weg, den du während deiner Fahrt zurückgelegt hast.

Das heißt auf der x-Achse des Koordinatensystems wird die Zeit in Stunden und auf der y-Achse die Strecke in Kilometern aufgetragen.

Nach einer halben Stunde fährst du an Augsburg vorbei. Bis hierhin hast du bereits eine Strecke von 10km zurückgelegt. Es gilt also:

f(0,5)=10.

Nach insgesamt eineinhalb Stunden kannst du München sehen. Der Zug ist bis jetzt 80km gefahren, was bedeutet:

f(1,5)=80.

Nun möchtest du gerne die mittlere Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke Augsburg-München wissen und zeichnest eine Sekante mit den Schnittpunkten A(0,5;10) und B(1,5;80) ein.

Für die Geschwindigkeit rechnest du nun Strecke durch Zeit:

$v=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Das heißt, du berechnest die Steigung der Sekante, also das eingezeichnete Steigungsdreieck, aus, nämlich:

$v= \frac{\Delta y}{\Delta x}$

$= \frac{f(1,5)-f(0,5)}{1,5-0,5}$

$=\frac{80-10}{1}$

=70.

Auf der Strecke zwischen Augsburg und München hatte der Zug somit eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 70km/h.

In diesem Fall hast du also mit dem Differenzenquotient die mittlere Änderungsrate zwischen a=0,5 und b=1,5 ausgerechnet.

Grenzwert des Differenzenquotienten

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(03:52)

Im Folgenden sehen wir uns an, was passiert, wenn du beim Differenzenquotient Berechnen den Wert immer mehr an den Wert annäherst.

Sekante Tangente Differentialquotient Differenzenquotient — Grenzwert des Differenzenquotienten

Wie du in der Grafik siehst, wird die Sekante zur Tangente, wenn gegen läuft. Genauer gesagt, siehst du hier den Übergang: Differenzenquotient Differentialquotient.

Das heißt der Grenzwert $b \to a$ des Differenzenquotient ergibt den sogenannten Differentialquotienten:

$\lim \limits_{b \to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a},$

welcher die Steigung der Tangente im Punkt berechnet.

Differenzenquotient — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob ich Differenzenquotient oder Ableitung brauche?

Den Differenzenquotienten brauchst du für die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen und , die Ableitung für die Steigung in genau einem Punkt. Der Differenzenquotient nutzt zwei Funktionswerte und beschreibt eine Sekante, die Ableitung entspricht der Tangente. Beispiel: „zwischen und “ bedeutet Differenzenquotient.
Welche Fehler passieren oft, wenn ich f(a) und f(b) einsetze?

Häufige Fehler beim Einsetzen von und sind vertauschte Werte, vergessene Klammern und ein falsches im Nenner. Das führt schnell zu Vorzeichenfehlern oder falschen Zahlen. Beispiel: Richtig ist $\frac{f(11)-f(3)}{11-3}$ , falsch wäre $\frac{f(11)-f(3)}{3-11}$ .
Warum ist die mittlere Änderungsrate nicht die Steigung im Punkt?

Die mittlere Änderungsrate ist nicht die Steigung im Punkt, weil sie die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte misst. Die Steigung im Punkt gehört zur Tangente und entsteht erst als Grenzwert, wenn immer näher an rückt. Beispiel: Zwischen und erhältst du eine Durchschnittssteigung, nicht die Tangentensteigung bei .
Wie deute ich ein negatives Ergebnis beim Differenzenquotienten?

Ein negativer Differenzenquotient bedeutet, dass die Funktionswerte im Intervall von nach im Durchschnitt abnehmen. Dann ist , also fällt der Graph zwischen den beiden Stellen insgesamt. Beispiel: Wenn eine Wegfunktion sinken würde, hieße das, dass die zurückgelegte Strecke kleiner wird, was in Sachaufgaben oft unplausibel ist.
Welche Einheit hat der Differenzenquotient bei Sachaufgaben?

Die Einheit des Differenzenquotienten ist immer „Einheit von pro Einheit von “. Das liegt daran, dass $\Delta y$ durch $\Delta x$ geteilt wird. Beispiel: Bei Strecke in Kilometern und Zeit in Stunden hat der Differenzenquotient die Einheit km/h und entspricht einer mittleren Geschwindigkeit.

Übersicht Differentialrechnung

Du kennst nun den Zusammenhang zwischen dem Differenzenquotient und dem Differentialquotient. Eine andere Interpretation des Differentialquotienten ist die h Methode .

Die folgende Tabelle gibt dir nochmal eine Übersicht über diese drei elementaren Begriffe der Differentialrechnung.

Begriff	Formel	Bedeutung
Differenzenquotient	$\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$	Sekantensteigung
Differentialquotient	$\lim \limits_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$	Tangentensteigung
h Methode	$\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$	Tangentensteigung