Wie erkenne ich, ob ich h-Methode oder Ableitungsregeln nutzen soll?

Du nutzt die h-Methode, wenn die Ableitung aus der Definition als Grenzwert hergeleitet werden soll. Ableitungsregeln nutzt du, wenn du schnell aus bekannten Regeln berechnen darfst. Steht in der Aufgabe „mit Definition“ oder „Differentialquotient“, ist die h-Methode gemeint.

Welche Fehler passieren oft beim Kürzen mit h in der h-Methode?

Beim Kürzen mit passiert oft der Fehler, zu kürzen, obwohl im Zähler noch kein gemeinsamer Faktor steht. Du darfst erst kürzen, wenn du im Zähler wirklich ausgeklammert hast. Beispiel: erst zu umformen, dann ausklammern.

Warum darf ich h erst am Ende gegen Null gehen lassen?

Du darfst erst am Ende gegen Null gehen lassen, weil sonst der Nenner sofort Null wäre. Dann entstünde eine Division durch Null, und der Ausdruck wäre nicht definiert. Erst nach dem Umformen und Kürzen verschwindet das problematische im Nenner, dann ist der Grenzwert berechenbar.

Wie wähle ich x₀ richtig, wenn ich f'(x₀) berechnen soll?

ist genau der x-Wert, an dem die Steigung der Tangente berechnet werden soll. Wenn in der Aufgabe ein Punkt oder eine Stelle genannt ist, nimmst du dessen x-Koordinate als . Beispiel: „Steigung bei “ bedeutet und du berechnest .

Was mache ich, wenn ich bei f(x+h) keine Klammern richtig auflöse?

Wenn du bei Klammern nicht sicher auflöst, setze zuerst als eine eigene „Variable“ ein und nutze dann bekannte Formeln. Bei Quadraten hilft die binomische Formel: . Beispiel: Aus wird , nicht .

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h Methode

Wichtige Inhalte in diesem Video

H-Methode einfach erklärt

(00:11)

Differentialquotient h Methode

(00:27)

H Methode Aufgaben

(01:30)

In diesem Artikel erklären wir dir die h Methode, eine Methode aus dem Bereich der Differentialrechung, und zeigen dir Beispiele dazu.

Anschaulich und leicht verständlich findest du alles Wichtige zur h Methode in unserem Video . Schau es dir unbedingt an!

Inhaltsübersicht

H-Methode einfach erklärt

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(00:11)

Angenommen du hast eine Funktion f(x) gegeben. Dann kannst du dir mit der h-Methode ihre Ableitungsfunktion f'(x) herleiten.

Merke

Die h Methode lautet:

$f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Sie ist eine andere Interpretation des Differentialquotienten und berechnet daher die Steigung der Tangente am Punkt

Differentialquotient h Methode

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(00:27)

Der Differentialquotient

$\lim \limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

berechnet die Steigung der Funktion am Punkt x_0. Er stellt den Grenzwert des Differenzenquotienten dar. Graphisch gesehen bestimmst du über den Differentialquotient die Steigung der Tangente des Graphen am Punkt x_0, indem du immer mehr an x_0 annäherst.

h Methode Tangente Sekante Ableitung — h Methode

Das bedeutet, du reduzierst den Abstand zwischen und x_0 . Genau diese Sichtweise machst du dir bei der h-Methode zunutze und bezeichnest deshalb den Abstand als

h=x-x_0.

Diese Gleichung löst du nach x=x_0+h auf und setzt h und x in den Differentialquotienten ein. Da du nun den Abstand gegen Null laufen lässt, schreibst du im Grenzwert $h\to 0.$ Das Ergebnis ist die H Formel für den Punkt x_0:

$f'(x_0)=\lim \limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

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H Methode Aufgaben

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(01:30)

Schauen wir uns nun ein Beispiel an und zwar die Funktion

f(x)= x^2.

Du kannst nun die Ableitung der Funktion mithilfe der h-Methode herleiten. Dafür setzt du einfach die Funktion in die obere Formel ein:

$f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim \limits_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}.$

Als nächstes löst du die quadratische Klammer im Zähler mit der Binomischen Formel auf und fasst den Term zusammen:

$f'(x)= \lim \limits_{h\to 0} \frac{x^2 +2xh + h^2 - x^2}{h}$

$=\lim \limits_{h\to 0} \frac{2xh + h^2}{h}.$

Nun kannst du im Zähler ein ausklammern und im Anschluss mit dem im Nenner kürzen:

$f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{h\cdot (2x + h)}{h}$

$= \lim \limits_{h\to 0} 2x + h.$

Schließlich bestimmst du den Grenzwert, indem du für Null einsetzt. Damit ergibt sich die Ableitung

f'(x)=2x.

Falls du noch mehr Beispiele zur Ableitung h Methode sehen möchtest, findest du sie in den Artikeln:

Funktionen und ihre Ableitungen

Wie du siehst kannst du mit der beschriebenen Methode die Ableitung von bestimmten Funktionen herleiten, wie auch die der folgenden:

	Funktion	Ableitung
e Funktion ableiten
ln ableiten	$f(x)=\ln(x)$	$f'(x)=\frac{1}{x}$
Wurzel ableiten	$f(x)=\sqrt{x}$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ableitung Cosinus	$f(x)=\cos(x)$	$f'(x)=-\sin(x)$
Ableitung Sinus	$f(x)=\sin(x)$	$f'(x)=\cos(x)$
Ableitung Tangens	$f(x)=\tan(x)$	$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$

h Methode — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob ich h-Methode oder Ableitungsregeln nutzen soll?

Du nutzt die h-Methode, wenn die Ableitung aus der Definition als Grenzwert hergeleitet werden soll. Ableitungsregeln nutzt du, wenn du schnell aus bekannten Regeln berechnen darfst. Steht in der Aufgabe „mit Definition“ oder „Differentialquotient“, ist die h-Methode gemeint.
Welche Fehler passieren oft beim Kürzen mit h in der h-Methode?

Beim Kürzen mit passiert oft der Fehler, zu kürzen, obwohl im Zähler noch kein gemeinsamer Faktor steht. Du darfst erst kürzen, wenn du im Zähler wirklich $h \cdot (\dots)$ ausgeklammert hast. Beispiel: $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ erst zu $\frac{2xh+h^2}{h}$ umformen, dann ausklammern.
Warum darf ich h erst am Ende gegen Null gehen lassen?

Du darfst erst am Ende gegen Null gehen lassen, weil sonst der Nenner sofort Null wäre. Dann entstünde eine Division durch Null, und der Ausdruck wäre nicht definiert. Erst nach dem Umformen und Kürzen verschwindet das problematische im Nenner, dann ist der Grenzwert berechenbar.
Wie wähle ich x₀ richtig, wenn ich f'(x₀) berechnen soll?

ist genau der x-Wert, an dem die Steigung der Tangente berechnet werden soll. Wenn in der Aufgabe ein Punkt oder eine Stelle genannt ist, nimmst du dessen x-Koordinate als . Beispiel: „Steigung bei “ bedeutet und du berechnest .
Was mache ich, wenn ich bei f(x+h) keine Klammern richtig auflöse?

Wenn du bei Klammern nicht sicher auflöst, setze zuerst als eine eigene „Variable“ ein und nutze dann bekannte Formeln. Bei Quadraten hilft die binomische Formel: . Beispiel: Aus wird , nicht .

Ableitungsregeln

Tatsächlich ist es möglich mit dieser Methode, nicht nur explizite Ableitungen, sondern auch die nachstehenden Ableitungsregeln herzuleiten:

Ableitungsregel	Funktion	Ableitung
Summenregel
Differenzregel
Potenzregel		$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
Faktorregel	$f(x)=a\cdot g(x)$	$f'(x)=a \cdot g'(x)$
Produktregel	$f(x)=g(x)\cdot h(x)$	$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
Quotientenregel	$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$	$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$
Kettenregel		$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$