Wie erkenne ich, ob eine Gerade eine Tangente ist?

Eine Gerade ist eine Tangente, wenn sie den Graphen in einem Berührpunkt trifft und dort dieselbe Steigung hat. Rechnerisch prüfst du: Der Punkt liegt auf Funktion und Gerade und die Geradensteigung ist . Zum Beispiel muss für auch gelten.

Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen in die Punktsteigungsform?

Häufige Fehler beim Einsetzen in die Punktsteigungsform sind Vorzeichenfehler und das Verwechseln von mit . In muss wirklich stehen. Beispiel: Bei ist richtig, nicht .

Wann schneidet eine Tangente den Graphen trotzdem noch einmal?

Eine Tangente schneidet den Graphen trotzdem noch einmal, wenn die Funktion die Tangente im Berührpunkt kreuzt. Das passiert typischerweise an einem Wendepunkt mit schräger Tangente, wenn die Krümmung wechselt und der Graph von einer Seite auf die andere geht. Dann gibt es am Berührpunkt zwar gleiche Steigung, aber kein „reines“ Anliegen.

Wie berechne ich eine Tangente, wenn nur ein Punkt gegeben ist?

Mit nur einem Punkt kannst du eine Tangente nur berechnen, wenn zusätzlich die Funktion oder die Steigung bekannt ist. Aus der Funktion bekommst du und und setzt in ein. Ohne Steigung gibt es unendlich viele Geraden durch denselben Punkt.

Warum ist die Ableitung die Steigung der Tangente an der Stelle?

Die Ableitung ist die Steigung der Tangente, weil sie die momentane Änderungsrate der Funktion an beschreibt. Diese Steigung entsteht als Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der zweite Punkt gegen rückt. Genau dieser Grenzwert ist die Tangentensteigung.

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Tangente

Du willst wissen, was eine Tangente ist und wie du eine Tangentengleichung aufstellst? Hier im Beitrag und im Video erklären wir dir Schritt für Schritt, wie es geht!

Inhaltsübersicht

Tangente einfach erklärt

Die Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in genau einem Punkt berührt. Den Punkt nennst du daher auch „Berührpunkt“. An dieser Stelle hat die Tangente die gleiche Steigung wie die Funktion. Beide sind an dieser Stelle also gleich „steil“.

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Eine Tangente lässt sich mit einer Gleichung beschreiben. Schauen wir uns das einmal genauer an.

Tangentengleichung berechnen mit der Geradengleichung

Da die Tangente eine Gerade ist, kannst du sie genau wie jede andere Gerade mit der klassischen Geradengleichung y = m · x + t beschreiben. Dabei steht m für die Steigung der Geraden und t für den y-Achsenabschnitt, also den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du die Gleichung aufstellst: Du hast folgende Funktion gegeben und möchtest die Tangente an der Stelle x = 2 berechnen.

f(x) = x³ – 6x²+ 9x + 1

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Schritt 1 — Punkt berechnen

Damit du die Tangentengleichung aufstellen kannst, brauchst du zuerst den y-Wert des Berührpunkts. Setze dazu die Funktion ein:

f(2) = 2³– 6 · 2² + 9 · 2 + 1 = 3

Der Punkt, an dem die Tangente anliegt, ist also .

Schritt 2 — Funktion ableiten

Als Nächstes brauchst du die Ableitung der Funktion, damit du die Steigung der Tangente berechnen kannst.

f(x) = x³ – 6x²+ 9x + 1
f'(x) = 3x²– 12x + 9

Schritt 3 — Steigung m berechnen

Jetzt setzt du den Wert in die Ableitung ein:

f'(2) = 3 · 2² – 12 · 2 + 9 = 12 – 24 + 9 = – 3

Die Steigung der Tangente m ist also –3.

Schritt 4 — y-Achsenabschnitt t bestimmen

Nun kannst du den y-Achsenabschnitt berechnen. Dafür setzt du die Steigung und deinen Punkt in deine Gleichung ein. Die Steigung m ist -3, für y setzt du 3 ein und für x setzt du 2 ein:

3 = -3 · 2 + t
3 = -6 + t

Diese Gleichung löst du nach t auf, indem du auf beiden Seiten plus 6 rechnest:

9 = t

Dein ausgerechnetes t setzt du jetzt in die Gleichung ein. Die Tangentengleichung an der Stelle lautet also y = -3x + 9.

Tangentengleichung berechnen — die 4 Schritte

Punkt berechnen
Ableitung berechnen
Steigung berechnen
y-Achsenabschnitt berechnen

Tangentengleichung berechnen mit der Punktsteigungsform

Um die Tangentengleichung zu berechnen, kannst du auch eine spezielle Form dieser Gleichung verwenden, die Punktsteigungsform:

y_t(x) = f'(x₀) · (x – x₀) + y₀

Sie sieht zwar anders aus, drückt aber genau dasselbe wie die normale Geradengleichung aus. Du brauchst hier genau wie bei der Geradengleichung einen Punkt, nämlich (x₀|y₀) und die Steigung f′(x₀), also die Ableitung deiner Funktion an dieser Stelle.

Nehmen wir das Beispiel von eben, um uns das Ganze einmal Schritt für Schritt anzuschauen — wir berechnen wieder die Tangente an der Stelle x = 2.

f(x) = x³ – 6x²+ 9x + 1

Schritt 1 — Punkt berechnen

Als Erstes berechnest du wieder den y-Wert des Berührpunkts. Setze dazu die Funktion ein:

f(2) = 2³– 6 · 2² + 9 · 2 + 1 = 3

Der Punkt , an dem die Tangente anliegt, ist also .

Schritt 2 — Funktion ableiten

Als Nächstes bestimmst du die Ableitung — damit berechnest du die Steigung der Tangente.

f'(x) = 3x²– 12x + 9

Schritt 3 — Steigung berechnen

Jetzt setzt du den Wert in die Ableitung ein:

f'(2) = 3 · 2² – 12 · 2 + 9 = 12 – 24 + 9 = – 3

Die Steigung der Tangente f'(x₀) ist also –3.

Schritt 4 — Tangentengleichung aufstellen

Nun kannst du die Tangente berechnen, indem du alle Bausteine in die Tangentengleichung einsetzt.

y_t(x) = f'(x₀) · (x – x₀) + y₀
y_t(x) = (-3) · (x – 2) + 3

Das kannst du noch zusammenfassen zu:

y_t (x) = -3x + 6 + 3
y_t (x) = -3x + 9

Die Tangentengleichung an der Stelle lautet also y_t(x) = -3x + 9

Waagerechte Tangente

Manche Tangenten verlaufen waagerecht. Das passiert immer dann, wenn die Steigung an einer Stelle null ist.

Wenn die Steigung gleich null ist, heißt das auch, dass die Ableitung an der Stelle null ist: f'(x) = 0. Das ist bei Hochpunkten (A), Tiefpunkten (B) oder Sattelpunkten (C) der Fall. Die Tangentengleichung entspricht dann dem y-Achsenabschnitt.

Tangente — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob eine Gerade eine Tangente ist?

Eine Gerade ist eine Tangente, wenn sie den Graphen in einem Berührpunkt trifft und dort dieselbe Steigung hat. Rechnerisch prüfst du: Der Punkt liegt auf Funktion und Gerade und die Geradensteigung ist . Zum Beispiel muss für auch $y_{\text{Gerade}}(x_0)=f(x_0)$ gelten.
Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen in die Punktsteigungsform?

Häufige Fehler beim Einsetzen in die Punktsteigungsform sind Vorzeichenfehler und das Verwechseln von mit . In $y_t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+y_0$ muss wirklich stehen. Beispiel: Bei ist richtig, nicht .
Wann schneidet eine Tangente den Graphen trotzdem noch einmal?

Eine Tangente schneidet den Graphen trotzdem noch einmal, wenn die Funktion die Tangente im Berührpunkt kreuzt. Das passiert typischerweise an einem Wendepunkt mit schräger Tangente, wenn die Krümmung wechselt und der Graph von einer Seite auf die andere geht. Dann gibt es am Berührpunkt zwar gleiche Steigung, aber kein „reines“ Anliegen.
Wie berechne ich eine Tangente, wenn nur ein Punkt gegeben ist?

Mit nur einem Punkt kannst du eine Tangente nur berechnen, wenn zusätzlich die Funktion oder die Steigung bekannt ist. Aus der Funktion bekommst du und und setzt in ein. Ohne Steigung gibt es unendlich viele Geraden durch denselben Punkt.
Warum ist die Ableitung die Steigung der Tangente an der Stelle?

Die Ableitung ist die Steigung der Tangente, weil sie die momentane Änderungsrate der Funktion an beschreibt. Diese Steigung entsteht als Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der zweite Punkt gegen rückt. Genau dieser Grenzwert ist die Tangentensteigung.

Wendetangente berechnen

Auch an einem Wendepunkt gibt es eine Tangente. Sie sieht aus wie eine schräg verlaufende Gerade und du berechnest sie genauso wie jede andere Tangente. Der Unterschied liegt im Verhalten des Funktionsgraphen.

An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung — die Funktion hat dort eine andere Krümmung. Wenn du genauer wissen willst, wie du die Wendetangente berechnest, schau dir hier unseren Beitrag und unser Video dazu an.