Wie berechnest du das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel berechnest du, indem du alle Werte einer Datenreihe addierst und die Summe durch die Anzahl n der Werte teilst. Die Werte bezeichnest du mit x₁, x₂ bis xₙ, das arithmetische Mittel mit x̄.

Was ist die Formel für den Mittelwert von zwei Zahlen?

Das arithmetische Mittel von zwei Zahlen a und b ist die Zahl m, die genau in der Mitte zwischen a und b liegt. Du kannst es so ausdrücken: m – a = b – m. Das bedeutet, dass der Mittelwert m gleich weit von a und b entfernt ist.

Video

Quiz

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist der Durchschnittswert. Wie du es berechnen und interpretieren kannst, erfährst du hier!

Inhaltsübersicht

Was ist das Arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel ist ein Durchschnittswert in der Statistik. Er ist der in der Statistik am häufigsten genutzte Mittelwert.

Um das arithmetische Mittel zu berechnen, musst du alle einzelnen Messwerte addieren und das Ergebnis durch die Anzahl der Messwerte teilen. Die Formel sieht so aus:

$\bar{x}=\frac{1}{\textcolor{green}n}\sum\limits_{i=1}^{\textcolor{green}n} \textcolor{blue}{x_i} = \frac{\textcolor{blue}{x_1} + \textcolor{blue}{x_2} +\textcolor{blue}{ x_3} +... + \textcolor{blue}{x_n}}{\textcolor{green}n}$

Beispiel:
Peter, Max und Sophia wiegen 80 kg, 75 kg und 55 kg. Du berechnest das arithmetische Mittel, indem du die Körpergewichte zusammenzählst und dann durch die Anzahl der Personen teilst — also 3.

$\bar{x} = \frac{\textcolor{blue}{80} + \textcolor{blue}{75} + \textcolor{blue}{55}}{\textcolor{green}{3}} = \frac{210}{\textcolor{green}{3}} = 70$

Wie kannst du das Arithmetische Mittel berechnen?

Sehen wir uns nun die Berechnung des arithmetischen Mittels Schritt für Schritt an einem Beispiel an. Fünf Studenten erhalten die folgenden Noten in einer Statistik-Klausur:

Student i	1	2	3	4	5
*Note x_i*	2	2	5	3	4

Das arithmetische Mittel berechnest du dann so:

Messwerte addieren: Zuerst rechnest du die einzelnen Noten aus dem Beispiel zusammen.
→ 2 + 2 + 5 + 3 + 4 = 16
Durch Anzahl der Messwerte teilen: Anschließend teilst du die Summe der Noten durch die Anzahl der Noten, die du zusammengerechnet hast. Dadurch erhältst du das arithmetische Mittel.
→ $\frac{16}{\textcolor{green}5} = 3,2$

Danach kannst du noch interpretieren, was das arithmetische Mittel in deinem Fall aussagt. In dem Beispiel beträgt es 3,2. Das bedeutet, die Studierenden haben im Durchschnitt eine Note von 3,2 erreicht.

Ausreißer beim arithmetischen Mittel

Das arithmetische Mittel kann durch Ausreißer stark beeinflusst werden. Das sind extrem hohe oder niedrige Werte. Wenn zum Beispiel ein Student eine sehr schlechte Note hat, kann das den Durchschnitt stark nach unten ziehen — obwohl alle anderen Noten besser sind.

Arithmetisches Mittel — fehlende Werte berechnen

Manchmal kennst du den Mittelwert schon. Stattdessen fehlt dir aber ein anderer Wert — beispielsweise ein einzelner Messwert:

$\bar{x}=\frac{2 + 2 + x_3 + 3 + 4}{5}=3,2$

Mit einer kleinen Anpassung der Formel kannst du den fehlenden Messwert berechnen. Dafür multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit der Anzahl der Messwerte — also mit 5:

2 + 2 + x₃ + 3 + 4 = 16

Diese Gleichung musst du dann noch nach x₃ umstellen und den fehlenden Wert ausrechnen:

x₃ = 5

Der fehlende Beobachtungswert ist also 5.

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Das gewichtete arithmetische Mittel brauchst du, wenn einige Messwerte mehrmals vorkommen. Weil diese Werte mehr Einfluss auf das Ergebnis haben, musst du sie gewichten — du musst sie also mit ihrer Häufigkeit multiplizieren. Diese Häufigkeit kann entweder absolut oder relativ sein:

absolute Häufigkeit: Gibt an, wie oft ein Wert genau gezählt wurde.
→ In einer Klasse haben 5 Schüler eine 1. Die absolute Häufigkeit der Note 1 ist also 5.
relative Häufigkeit: Zeigt, wie oft ein Wert im Verhältnis zur Gesamtzahl vorkommt.
→ Wenn die Klasse aus 20 Schülern besteht, ergibt sich für die Note 1 eine relative Häufigkeit von $\frac{5}{20} = 0,25$ .

Absolute Häufigkeit — Beispiel

Wenn die Messwerte in ihrer absoluten Häufigkeit angegeben sind, berechnest du das arithmetische Mittel mit dieser Formel:

$\bar{x} = \frac{1}{\textcolor{green}{n}} \sum\limits_{i=1}^{\textcolor{green}n} \textcolor{blue}{x_i} \cdot \textcolor{red}{H(x_i)} = \frac{\textcolor{blue}{x_1} \cdot \textcolor{red}{H(x_1)} + \textcolor{blue}{x_2} \cdot \textcolor{red}{H(x_2)} + \textcolor{blue}{x_3} \cdot \textcolor{red}{H(x_3)} + \dots + \textcolor{blue}{x_n} \cdot \textcolor{red}{H(x_n)}}{\textcolor{green}{n}}$

H (x_i) ist dabei die absolute Häufigkeit deiner Messwerte. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an: 50 Studierende haben eine Statistik-Klausur geschrieben. Die Noten (x_i) und ihre absoluten Häufigkeiten (H_i) sind in der folgenden Tabelle zu sehen:

*x_i*	1	2	3	4	5
*H(x_i)*	2	9	11	16	12

Das gewichtete arithmetische Mittel mit der absoluten Häufigkeit berechnest du so:

Messwerte mit absoluter Häufigkeit multiplizieren: Zuerst multiplizierst du die einzelnen Noten mit der Häufigkeit, in der sie vorkommen:

1 • 2 = 2
2 • 9 = 18
3 • 11 = 33
4 • 16 = 64
5 • 12 = 60
Addiere die Ergebnisse: Jetzt zählst du die gewichteten Messwerte zusammen:
→ 2 + 18 + 33 + 64 + 60 = 177
Dividiere durch die Anzahl der Messwerte: Nun teilst du die Summe der gewichteten Messwerte durch die Anzahl der Messwerte:
→ $\frac{177}{\textcolor{green}{50}} = 3,54$

Die 50 Studierenden haben also eine Durchschnittsnote von 3,54:

$\bar{x} = \frac{\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{9} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{11} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{16} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{12}}{\textcolor{green}{50}} = \frac{177}{\textcolor{green}{50}} = 3,54$

Relative Häufigkeit — Beispiel

Sind deine Messwerte in relativer Häufigkeit angegeben, sieht die Formel für das arithmetische Mittel so aus:

$\bar{x} = \sum\limits_{i=1}^{n} \textcolor{blue}{x_i} \cdot \textcolor{orange}{h(x_i)}= \textcolor{blue}{x_1} \cdot \textcolor{orange}{h(x_1)} + \textcolor{blue}{x_2} \cdot \textcolor{orange}{h(x_2)} + \textcolor{blue}{x_3} \cdot \textcolor{orange}{h(x_3)} + \dots + \textcolor{blue}{x_n} \cdot \textcolor{orange}{h(x_n)}$

h(xi) ist dabei die relative Häufigkeit deiner Messwerte. Hier siehst du das Beispiel von oben, wenn die Notenverteilung der Statistikklausur in relativer Häufigkeit angegeben wird:

*x_i*	1	2	3	4	5
h(x_i)	*0,04*	*0,18*	*0,22*	*0,32*	*0,24*

Um das arithmetische Mittel zu berechnen, gehst du so vor:

Messwerte mit relativer Häufigkeit multiplizieren: Zuerst multiplizierst du die einzelnen Noten mit ihrer relativen Häufigkeit.

1 • 0,04 = 0,04
2 • 0,18 = 0,36
3 • 0,22 = 0,66
4 • 0,32 = 1,28
5 • 0,24 = 1,2
Addiere die Ergebnisse: Anschließend zählst du die gewichteten Noten zusammen:
→ 0,04 + 0,36 + 0,66 + 1,28 + 1,2 = 3,54

Die Durchschnittsnote der 50 Studierenden beträgt also 3,54:

$\bar{x} = \textcolor{blue}{1}\cdot \textcolor{orange}{0,04} + \textcolor{blue}{2}\cdot \textcolor{orange}{0,18} + \textcolor{blue}{3}\cdot \textcolor{orange}{0,22} + \textcolor{blue}{4}\cdot \textcolor{orange}{0,32} + \textcolor{blue}{5}\cdot \textcolor{orange}{0,24} = 3,54$

Übrigens: Wenn du das arithmetische Mittel mit der relativen Häufigkeit berechnest, musst du nicht mehr durch die Anzahl teilen. Das liegt daran, dass die relative Häufigkeit bereits die Gewichtung der einzelnen Werte berücksichtigt.

Arithmetisches Mittel — häufigste Fragen

Was ist das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel, oder Durchschnitt, ist eine der häufigsten Methoden zur Berechnung von Mittelwerten. Du ermittelst es, indem du alle Werte einer Datenreihe addierst und die Summe durch die Gesamtzahl n der Werte teilst.
Wie berechnest du das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel berechnest du, indem du alle Werte einer Datenreihe addierst und die Summe durch die Anzahl n der Werte teilst. Die Werte bezeichnest du mit x₁, x₂ bis xₙ, das arithmetische Mittel mit x̄.
Was ist die Formel für den Mittelwert von zwei Zahlen?

Das arithmetische Mittel von zwei Zahlen a und b ist die Zahl m, die genau in der Mitte zwischen a und b liegt. Du kannst es so ausdrücken: m – a = b – m. Das bedeutet, dass der Mittelwert m gleich weit von a und b entfernt ist.