z Standardisierung

z Standardisierung einfach erklärt

Die z Standardisierung verstehst du am besten an einem Beispiel:

Deine Freunde Lena und Lukas wollen ihre Englischkenntnisse überprüfen und legen dafür einen Sprachtest ab. Während Lena den TOEFL absolviert und 90 Punkte erreicht, nimmt Lukas am IELTS teil und erhält 8 Punkte. Im Anschluss fragst du dich: Wer von beiden hat die besseren Englischkenntnisse?

Nun lassen sich diese Werte nicht unmittelbar miteinander vergleichen. Einerseits basieren die Testergebnisse auf verschiedenen Bewertungssystemen, andererseits liegen den Tests unterschiedliche Mittelwerte und Streuungen zugrunde.

Mithilfe der z Standardisierung (oder auch z Transformation) kannst du in der Statistik Werte unterschiedlicher Maßeinheiten und Stichproben in eine gemeinsame Einheit überführen, um diese vergleichbar zu machen. Dafür berechnest du den sogenannten z-Wert:

z Standardisierung Beispiel

Wie genau funktioniert die z Standardisierung in der Statistik? Schau dir zum besseren Verständnis ein Beispiel an:

Angenommen, du möchtest wissen, ob ein deutscher oder ein französischer Schüler besser in einem Mathetest abgeschnitten hat. Während der deutsche Schüler die Note 2 geschrieben hat, hat der französische Schüler die Note 12 erreicht.

Die vorliegenden Testergebnisse kannst du aus zwei Gründen nicht unmittelbar miteinander vergleichen:

• Erstens liegen den Ergebnissen unterschiedliche Bewertungssysteme zugrunde. Während die Notenskala in Deutschland von 1 bis 6 reicht, werden in Frankreich Noten von 0 bis 20 Punkten vergeben, wobei 0 Punkte für eine sehr schlechte Leistung und 20 Punkte für eine sehr gute Leistung stehen. Die Testergebnisse der Schüler wurden also in unterschiedlichen Einheiten gemessen.
• Zweitens haben die Schüler nicht exakt denselben Test geschrieben, weshalb sich der Mittelwert und die Streuung der Testergebnisse auch unabhängig von den unterschiedlichen Notenskalen unterscheiden dürften. Um die Leistungen der beiden Schüler objektiv miteinander vergleichen zu können, musst du auch diese Tatsache berücksichtigen.

Doch hier kommt die Lösung! Denn mithilfe der z Standardisierung kannst du beide Probleme gleichzeitig beheben.

z-Wert berechnen

Die z Standardisierung (oder auch z Transformation) ist ein statistisches Verfahren, mit dem du Werte unterschiedlicher Maßeinheiten und Stichproben in eine gemeinsame Einheit überführen kannst, um diese vergleichbar zu machen. Dafür berechnest du den sogenannten z-Wert:

Wie du siehst, benötigst du für die Berechnung den Mittelwert  μ und die Standardabweichung  σ. Beim Mittelwert μ handelt es sich um den Durchschnitt der Messwerte, d.h. in unserem Beispiel den Notendurchschnitt des jeweiligen Mathetests. Die Standardabweichung σ hingegen ist ein Streuungsmaß und beschreibt die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert, hier also die durchschnittliche Abweichung der Testergebnisse vom Notendurchschnitt. 

Angenommen, es liegen folgende Zahlen vor: 

μ = 3 und σ = 1  (Mathetest des deutschen Schülers)
μ = 14 und σ = 4  (Mathetest des französischen Schülers)

Dann ergeben sich folgende z-Werte:

• für den deutschen Schüler (x = 2):

     

• für den französischen Schüler (x = 12):

     

Jetzt weißt du, wie du den z-Wert in der Statistik berechnest. Doch wie kannst du den z-Wert interpretieren? 

z-Wert interpretieren

Der z-Wert ist in Standardabweichungen vom Mittelwert gemessen. Ein z-Wert von 1 bedeutet beispielsweise, dass dieser Wert eine Standardabweichung oberhalb des Mittelwerts liegt. Ein z-Wert von -3 bedeutet, dass dieser Wert drei Standardabweichungen unterhalb des Mittelwertes liegt.

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Der deutsche Schüler (z = – 1) liegt mit seinem Testergebnis also eine Standardabweichung unterhalb des Mittelwertes. Der französische Schüler (z = – 0,5) liegt mit seinem Testergebnis auch unter dem Mittelwert, allerdings nur eine halbe Standardabweichung.

Welcher der beiden Schüler hat denn nun relativ gesehen besser abgeschnitten?

Vorsicht: bei der Interpretation des Vorzeichens des z-Wertes! Denn diese hängt von der zugrundeliegenden Skala des Testergebnisses ab. 

Während der deutsche Schüler mit seinem Testergebnis überdurchschnittlich gut abgeschnitten hat, liegt die Leistung des französischen Schülers unterhalb des Klassendurchschnittes. Dies liegt daran, dass die Noten im deutschen Schulsystem mit sinkender Zahl besser werden (1 sehr gut – 6 ungenügend), während die Noten in Frankreich mit steigender Zahl besser werden (0 ungenügend – 20 sehr gut).

Der deutsche Schüler hat im Mathetest also relativ gesehen besser abgeschnitten als der französische Schüler. 

Transformation von Verteilungen

Geschafft! Nun weißt du, wie du den z-Wert in der Statistik berechnest und interpretierst.

Doch was genau passiert eigentlich bei der z Standardisierung? 

Durch die z Standardisierung wird jede beliebige Verteilung in eine Verteilung mit dem Mittelwert μ = 0 und der Standardabweichung σ = 1 transformiert (daher auch der Name z Transformation). Dabei bleibt die relative Position der Werte und damit die ursprüngliche Verteilungsform erhalten.

Die z Standardisierung wandelt zum Beispiel eine beliebige Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung um.

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Standardnormalverteilung 

Viele Merkmale in der Natur sind normalverteilt. So folgt beispielsweise die Körpergröße in Deutschland einer Normalverteilung. Eine besondere Form der Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung. 

Du möchtest mehr zum Thema Standardnormalverteilung erfahren? Hier gelangst du zu unserem Video!