Was macht man, wenn vor der höchsten Ableitung ein Faktor a(n) ungleich 1 steht?

Bei einem Faktor vor der höchsten Ableitung teilst du die ganze Differentialgleichung durch , damit der Leitkoeffizient 1 wird, und liest danach das charakteristische Polynom wie gewohnt ab. Beispiel: .

Wie sieht die Lösung aus, wenn das charakteristische Polynom komplexe Nullstellen hat?

Bei komplexen Nullstellen schreibst du die reellen Lösungen als . So bekommst du zwei linear unabhängige, reelle Lösungen aus dem komplexen Paar. Beispiel: .

Wie geht man vor, wenn eine Nullstelle dreifach oder allgemein k-fach vorkommt?

Bei einer -fachen Nullstelle baust du verschiedene Lösungen, indem du mit Potenzen von multiplizierst: . Beispiel: dreifach .

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Charakteristisches Polynom

Name: Charakteristisches Polynom
Uploaded: 2026-04-08T16:48:06Z
Duration: 6 min 18 s
Description: Du möchtest wissen, was ein charakteristisches Polynom ist? Hier zeigen wir dir, wie du lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten mithilfe des charakteristischen Polynoms lösen kannst.

Wichtige Inhalte in diesem Video

Herleitung charakteristisches Polynom

(00:15)

Beispiel 1: Charakteristisches Polynom berechnen

(01:18)

Beispiel 2

(02:35)

Du möchtest wissen, was ein charakteristisches Polynom ist? Hier zeigen wir dir, wie du lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten mithilfe des charakteristischen Polynoms lösen kannst.

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Inhaltsübersicht

Herleitung charakteristisches Polynom

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(00:15)

Eine homogene Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten sieht so aus.

$a_ny^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_1y^\prime+a_0y=0$

Jetzt wollen wir das charakteristische Polynom herleiten. Dazu wählen wir einen Exponentialansatz für y,

$y\left(x\right)=e^{\lambda x}$

und zwar $e^{\lambdax}$ . Diesen kannst du beliebig oft ableiten.

Charakteristisches Polynom — Herleitung charakteristisches Polynom

Danach setzt du den Ansatz und seine Ableitungen in die DGL ein. $e^{\lambdax}$ kommt in jedem Summanden vor. Also kannst du es ausklammern. Das Produkt ist Null, wenn entweder $e^{\lambdax}$ oder der Ausdruck in Klammern Null ist. Natürlich weißt du, dass $e^{\lambdax}$ niemals Null wird. Folglich muss der Ausdruck in Klammern gleich Null sein, damit die Gleichung erfüllt ist.

$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0=0$

Diese nennt sich charakteristisches Polynom oder charakteristische Gleichung, von der du die Nullstellen $\lambda_i$ berechnest. Anschließend setzt du diese in den Exponentialansatz ein und erhältst das Fundamentalsystem deiner Differenzialgleichung.

Beispiel 1: Charakteristisches Polynom berechnen

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(01:18)

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Jetzt wollen wir uns das Ganze an einem Beispiel einmal genauer anschauen:

$y^{\left(3\right)}-6y^{\prime\prime}+11y^\prime-6y=0$

Du kennst jetzt die Herleitung über den Exponentialansatz, du kannst aber Zeit sparen, wenn du das charakteristische Polynom direkt aus der Differenzialgleichung abliest.

$\lambda^3-6\lambda^2+11\lambda-6=0$

Charakteristisches Polynom berechnen — Beispiel 1

Für die dritte Ableitung schreibst du dann $\lambda^3$ , für die zweite $\lambda^2$ und für die erste $\lambda$ . Die Funktion selbst verschwindet einfach, sodass der Faktor 6 alleine dasteht. Jetzt wollen wir die Nullstellen des entstandenen charakteristischen Polynoms bestimmen. Wie das geht, solltest du bereits von Eigenwertaufgaben kennen. Du rätst die erste Lösung $\lambda_1=1$ . Setzt du sie ein, stellst du fest, dass 1 die Gleichung erfüllt.

Als Nächstes machst du eine Polynomdivision. Übrig bleibt ein Polynom zweiten Grades, das du mit der pq-Formel lösen kannst. Du erhältst $\lambda_2$ gleich 2 und $\lambda_3$ gleich 3. Unsere geratene Lösung war $\lambda_1$ gleich 1. Eingesetzt in den Exponentialansatz ergibt sich das Fundamentalsystem

$\left\{e^x,e^{2x},e^{3x}\right\}$

[[faq]]

Charakteristisches Polynom — häufigste Fragen

Beispiel 2

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(02:35)

Machen wir noch ein zweites Beispiel.

$y^{\prime\prime}+4y^\prime+4=0$

Das charakteristische Polynom ergibt sich dann wieder direkt aus der Differenzialgleichung. Somit kannst du es mit der pq-Formel lösen. An der Stelle -2 tritt eine doppelte Nullstelle auf. Das würde auf zweimal ein und dieselbe Lösung führen. Wir wollen aber zwei linear unabhängige Lösungen bestimmen. Um eine zweite Lösung zu erhalten, multiplizieren wir die Lösung mit x und erhalten das Fundamentalsystem.

Charakteristisches Polynom — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was macht man, wenn vor der höchsten Ableitung ein Faktor a(n) ungleich 1 steht?

Bei einem Faktor $a_n\neq 1$ vor der höchsten Ableitung teilst du die ganze Differentialgleichung durch , damit der Leitkoeffizient 1 wird, und liest danach das charakteristische Polynom wie gewohnt ab. Beispiel: $2y''-3y'+y=0 \Rightarrow y''-\tfrac{3}{2}y'+\tfrac{1}{2}y=0 \Rightarrow \lambda^2-\tfrac{3}{2}\lambda+\tfrac{1}{2}=0$ .
Wie sieht die Lösung aus, wenn das charakteristische Polynom komplexe Nullstellen hat?

Bei komplexen Nullstellen $\lambda=\alpha\pm i\beta$ schreibst du die reellen Lösungen als $e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big)$ . So bekommst du zwei linear unabhängige, reelle Lösungen aus dem komplexen Paar. Beispiel: $\lambda=\pm 2i \Rightarrow y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)$ .
Wie geht man vor, wenn eine Nullstelle dreifach oder allgemein k-fach vorkommt?

Bei einer -fachen Nullstelle $\lambda_0$ baust du verschiedene Lösungen, indem du $e^{\lambda_0 x}$ mit Potenzen von multiplizierst: $e^{\lambda_0 x},\, x e^{\lambda_0 x},\, \dots,\, x^{k-1}e^{\lambda_0 x}$ . Beispiel: dreifach $\lambda_0=-1 \Rightarrow e^{-x},\, x e^{-x},\, x^2 e^{-x}$ .