Was ist die Identitätsmatrix?

Die Identitätsmatrix ist genau die Einheitsmatrix: eine quadratische Matrix, bei der auf der Hauptdiagonale nur Einsen stehen und sonst überall Nullen. Du schreibst sie oft als oder , wobei die Größe (Zeilen und Spalten) angibt.

Ist die Einheitsmatrix gleich 1?

Die Einheitsmatrix ist nicht die Zahl 1, sondern eine Matrix, die bei der Matrixmultiplikation die gleiche Rolle spielt wie 1 bei Zahlen. Multiplizierst du eine passende Matrix mit , bleibt unverändert, egal ob links oder rechts.

Wie berechnet man die Einheitsmatrix?

Du stellst die Einheitsmatrix der Größe auf, indem du alle Elemente zuerst 0 setzt und dann auf der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) 1 einträgst. Zum Beispiel ist .

Video

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Einheitsmatrix

Wichtige Inhalte in diesem Video

Einheitsmatrix — einfach erklärt

(00:12)

Neutrales Element in der Matrixmultiplikation

(01:13)

Invers zu sich selbst

Du fragst dich, was eine Einheitsmatrix ist und welche Eigenschaften sie hat? Das erfährst du hier und im Video.

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Inhaltsübersicht

Einheitsmatrix — einfach erklärt

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(00:12)

Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der nur die Hauptdiagonale aus Einsen besteht. Alle anderen Elemente in der Matrix sind null.

Die Hauptdiagonale geht dabei von links oben nach rechts unten. Da eine Einheitsmatrix quadratisch ist, hat sie genauso viele Zeilen wie Spalten, also zum Beispiel 2 x 2 oder 3 x 3.

Eine Einheitsmatrix kannst du auch Identitätsmatrix nennen. Daher verwendest du als Bezeichnung für eine Einheitsmatrix entweder E für Einheitsmatrix oder I für Identitätsmatrix. Zusätzlich kann ein Index angeben, welche Größe die Matrix hat. Zum Beispiel kannst du eine 2 x 2 Einheitsmatrix mit E_2 bezeichnen.

So sieht eine 2×2 Einheitsmatrix aus:

$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Das Bild erklärt das Konzept der Einheitsmatrix anhand einer drei mal drei Matrix, in der nur die Elemente auf der Hauptdiagonalen Eins sind, während alle anderen Elemente Null sind. — Beispiel einer Einheitsmatrix

Übrigens: Die Dimension gibt an, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix hat. Sie wird in der Form m x n angegeben, wobei $die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten ist.$

Eigenschaften einer Einheitsmatrix

Eine Einheitsmatrix hat mehrere besondere Eigenschaften:

neutrales Element in der Matrixmultiplikation
invers zu sich selbst
einzigartig
transponierbar
Spur entspricht der Anzahl der Zeilen (oder Spalten) der Matrix
Determinante ist 1

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Neutrales Element in der Matrixmultiplikation

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(01:13)

Die Einheitsmatrix funktioniert in der Matrixmultiplikation wie die Zahl 1 bei der normalen Multiplikation. Multiplizierst du eine Matrix A mit der Einheitsmatrix, kommt wieder die ursprüngliche Matrix A heraus. Sie ist in der Rechnung also neutral und verändert die ursprüngliche Matrix nicht.

$A \cdot E = A$ , $E \cdot A = A$

Beispiel:

Matrix mal Einheitsmatrix: $A \cdot E = A$

$A = \begin{pmatrix} \textcolor{red}2 & \textcolor{red}3 \\ \textcolor{orange}4 & \textcolor{orange} 5 \end{pmatrix}$ $E_2= \begin{pmatrix} \textcolor{blue}1 &\textcolor{teal} 0 \\ \textcolor{blue}0 &\textcolor{teal} 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \textcolor{red}2 & \textcolor{red}3 \\ \textcolor{orange}4 & \textcolor{orange} 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \textcolor{blue}1 &\textcolor{teal} 0 \\ \textcolor{blue}0 &\textcolor{teal} 1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \textcolor{red}2 \cdot \textcolor{blue}1 + \textcolor{red}3 \cdot \textcolor{blue}0 & \textcolor{red}2 \cdot \textcolor{teal}0 + \textcolor{red}3 \cdot \textcolor{teal}1 \\ \textcolor{orange}4 \cdot \textcolor{blue}1 + \textcolor{orange}5 \cdot \textcolor{blue}0 & \textcolor{orange}4 \cdot \textcolor{teal}0 + \textcolor{orange}5 \cdot \textcolor{teal}1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \textcolor{violet}2 & \textcolor{violet}3 \\ \textcolor{violet}4 & \textcolor{violet} 5 \end{pmatrix}$

Einheitsmatrix mal Matrix: $E \cdot A = A$

$E_2= \begin{pmatrix} \textcolor{red}1 & \textcolor{red}0 \\ \textcolor{orange}0 & \textcolor{orange} 1 \end{pmatrix}$ $A= \begin{pmatrix} \textcolor{blue}2 &\textcolor{teal} 3 \\ \textcolor{blue}4 &\textcolor{teal} 5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \textcolor{red}1 & \textcolor{red}0 \\ \textcolor{orange}0 & \textcolor{orange} 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \textcolor{blue}2 &\textcolor{teal} 3 \\ \textcolor{blue}4 &\textcolor{teal} 5 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \textcolor{red}1 \cdot \textcolor{blue}2 + \textcolor{red}0 \cdot \textcolor{blue}4 & \textcolor{red}1 \cdot \textcolor{teal}3 + \textcolor{red}0 \cdot \textcolor{teal}5 \\ \textcolor{orange}0 \cdot \textcolor{blue}2 + \textcolor{orange}1\cdot \textcolor{blue}4 & \textcolor{orange}0 \cdot \textcolor{teal}3 + \textcolor{orange}1 \cdot \textcolor{teal}5 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \textcolor{violet}2 & \textcolor{violet}3 \\ \textcolor{violet}4 & \textcolor{violet} 5 \end{pmatrix}$

Invers zu sich selbst

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(02:13)

Multiplizierst du eine Matrix mit ihrer inversen Matrix $A^{-1}$ , erhältst du als Ergebnis die Einheitsmatrix. Das Besondere bei der Einheitsmatrix ist, dass ihre inverse Matrix $E^{-1}$ auch die Einheitsmatrix ist.

Das bedeutet, wenn du die Einheitsmatrix mit sich selbst multiplizierst, erhältst du wieder die Einheitsmatrix. Sie ist also zu sich selbst invers.

$E^{-1}$ =

Beispiel:

$E_2 = \begin{pmatrix} \textcolor{red}1 & \textcolor{red}0 \\ \textcolor{orange}0 & \textcolor{orange} 1 \end{pmatrix}$ ${E_2}^{-1} = \begin{pmatrix} \textcolor{blue}1 &\textcolor{teal} 0 \\ \textcolor{blue}0 &\textcolor{teal} 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \textcolor{red}1 & \textcolor{red}0 \\ \textcolor{orange}0 & \textcolor{orange} 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \textcolor{blue}1 &\textcolor{teal} 0 \\ \textcolor{blue}0 &\textcolor{teal} 1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \textcolor{red}1 \cdot \textcolor{blue}1 + \textcolor{red}0 \cdot \textcolor{blue}0 & \textcolor{red}1 \cdot \textcolor{teal}0 + \textcolor{red}0 \cdot \textcolor{teal}1 \\ \textcolor{orange}0 \cdot \textcolor{blue}1 + \textcolor{orange}1 \cdot \textcolor{blue}0 & \textcolor{orange}0 \cdot \textcolor{teal}0 + \textcolor{orange}1 \cdot \textcolor{teal}1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \textcolor{violet}1 & \textcolor{violet}0 \\ \textcolor{violet}0 & \textcolor{violet} 1 \end{pmatrix}$

Einzigartig

Es gibt für jede Größe einer quadratischen Matrix genau eine Einheitsmatrix. Sie ist also einzigartig für jede Dimension.

Beispiel:

$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ist die einzige 2×2 Einheitsmatrix

$E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ist die einzige 3×3 Einheitsmatrix

Transponierbar

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(03:04)

Die Einheitsmatrix ändert sich nicht, wenn du sie transponierst, also wenn du ihre Zeilen und Spalten vertauschst. Die transponierte Matrix der Einheitsmatrix ist wieder die Einheitsmatrix. Damit ist die Einheitsmatrix spiegelsymmetrisch zu ihrer Hauptdiagonalen.
$E^{T}$ =

Beispiel:

$E_2 = \begin{pmatrix} \textcolor{red}1 & \textcolor{red}0 \\ \textcolor{orange}0 & \textcolor{orange} 1 \end{pmatrix}$ ${E_2}^{T} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}1 & \textcolor{orange}0 \\ \textcolor{red}0 & \textcolor{orange} 1 \end{pmatrix}$

Spur

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(03:28)

Die Spur der Einheitsmatrix, also die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonale, entspricht der Anzahl der Zeilen (oder Spalten) der Matrix. Für eine 3×3-Einheitsmatrix ist die Spur also 3.

Beispiel:

$E_3 = \begin{pmatrix} \textcolor{red}1 & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{red}1 &0\\0&0&\textcolor{red}1 \end{pmatrix}$ Spur (E_3) = 1 + 1 + 1 = 3

Determinante

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(03:58)

Die Determinante der Einheitsmatrix ist immer 1. Bei einer Matrix, bei der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind, ist die Determinante das Produkt der Elemente aus der Hauptdiagonale. Eine Einheitsmatrix hat in der Hauptdiagonalen nur Einsen.

det(E)=1

Beispiel:

$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $det(E_2)= 1 \cdot 1 = 1$

Einheitsmatrix — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist die Identitätsmatrix?

Die Identitätsmatrix ist genau die Einheitsmatrix: eine quadratische Matrix, bei der auf der Hauptdiagonale nur Einsen stehen und sonst überall Nullen. Du schreibst sie oft als oder , wobei die Größe (Zeilen und Spalten) angibt.
Ist die Einheitsmatrix gleich 1?

Die Einheitsmatrix ist nicht die Zahl 1, sondern eine Matrix, die bei der Matrixmultiplikation die gleiche Rolle spielt wie 1 bei Zahlen. Multiplizierst du eine passende Matrix mit , bleibt unverändert, egal ob links oder rechts.
Wie berechnet man die Einheitsmatrix?

Du stellst die Einheitsmatrix der Größe $n \times n$ auf, indem du alle Elemente zuerst 0 setzt und dann auf der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) 1 einträgst. Zum Beispiel ist $I_4=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Determinante berechnen

Jetzt weißt du, was die Einheitsmatrix ist und welche besonderen Eigenschaften sie hat. Wenn du dir nochmal ansehen willst, wie du die Determinante einer Matrix berechnest, schau hier rein.