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Betrag eines Vektors

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Wichtige Inhalte in diesem Video

Betrag eines Vektors — einfach erklärt

Betrag eines Vektors berechnen

Betrag eines Vektors — Formel herleiten

Betrag Vektor — Eigenschaften

Was ist der Betrag eines Vektors und wie berechnest du ihn? Das erklären wir dir hier im Beitrag und im Video!

Inhaltsübersicht

Betrag eines Vektors — einfach erklärt

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Der Betrag eines Vektors ist die Länge des Vektors. Je länger der Vektor, desto größer ist also auch der Betrag. Du erkennst den Betrag eines Vektors $\vec{v}$ an den Betragsstrichen um ihn herum: $|\vec{v}|$ .

Um die Länge eines Vektors zu berechnen, nutzt du diese Formel: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2}}$ . Das heißt, du quadrierst die einzelnen Komponenten des Vektors, addierst sie und ziehst daraus die Wurzel.

Für den Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{6} \\ \textcolor{teal}{3} \end{array}\right)$ sieht das zum Beispiel so aus: $|\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{6}^2 + \textcolor{teal}{3}^2} = \sqrt{40}$

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Der Betrag bzw. die Länge eines Vektors ist immer eine positive reelle Zahl. Grund dafür ist, dass die einzelnen Komponenten v₁ und v₂ in der Formel quadriert werden. Somit werden auch negative Komponenten positiv.

Betrag eines Vektors berechnen

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Den Betrag eines Vektors berechnest du immer gleich. Egal, ob es sich um einen Vektor mit zwei oder drei Komponenten handelt:

Formel für Vektoren mit zwei Komponenten:
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{v_1} \\ \textcolor{teal}{v_2} \end{array}\right)$ → $|\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{v_1}^{2} + \textcolor{teal}{v_2}^{2}}$
Formel für Vektoren mit drei Komponenten:
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{v_1} \\ \textcolor{teal}{v_2} \\ \textcolor{purple}{v_3} \end{array}\right)$ → $|\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{v_1}^{2} + \textcolor{teal}{v_2}^{2} + \textcolor{purple}{v_3}^{2}}$

Um die Länge eines Vektors zu bestimmen, quadrierst du also zuerst die einzelnen Komponenten und addierst sie. Schließlich ziehst du aus der Summe die Wurzel. Und schon hast du den Betrag des Vektors!

Schauen wir uns das an ein paar Beispielen an.

Beispiel — Betrag eines Vektors mit 2 Komponenten

Du hast zum Beispiel den Vektor $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{teal}{-4} \end{array}\right)$ gegeben. Um den Betrag zu berechnen, setzt du die Zahlen der Komponenten in die Formel ein:

$|\vec{a}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{v_1}^{2} + \textcolor{teal}{v_2}^{2}}$

$|\vec{a}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{3}^2 + (\textcolor{teal}{-4})^2}$

Nun quadrierst du die Komponenten, addierst sie und ziehst die Wurzel:

$|\vec{a}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{9} + \textcolor{teal}{16}}$

$|\vec{a}| = \sqrt{25}$

$|\vec{a}| = 5$

Beispiel — Betrag eines Vektors mit 3 Komponenten

Den Betrag eines Vektors mit drei Komponenten berechnest du auf dieselbe Weise. Beispielsweise hast du den Vektor $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{-2} \\ \textcolor{teal}{3} \\ \textcolor{purple}{-6} \end{array}\right)$ .

Auch hier setzt du die Werte in die Formel ein:

$|\vec{b}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{v_1}^{2} + \textcolor{teal}{v_2}^{2} + \textcolor{purple}{v_3}^{2}}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(\textcolor{magenta}{-2})^2 + \textcolor{teal}{3}^2 + (\textcolor{purple}{-6})^2}$

Und nun kannst du den Betrag berechnen:

$|\vec{b}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{4} + \textcolor{teal}{9} + \textcolor{purple}{36}}$

$|\vec{b}| = \sqrt{49}$

$|\vec{b}| = 7$

Betrag eines Vektors — Formel herleiten

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Die Formel für den Betrag kannst du dir aber auch selbst ableiten. Dazu schauen wir uns einen Vektor mit zwei Komponenten an: $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1^ \\ v_2 \end{array}\right)$ an.

Vektoren zeigen, in welche Richtung ein Punkt im Koordinatensystem verschoben wurde. Ein Vektor mit zwei Komponenten wird dabei nur entlang der x- und der y-Achse verschoben. Die Komponente v₁ zeigt die Änderung der x-Koordinate und die Komponente v₂ die Änderung der y-Koordinate. Somit kannst du das Ganze als rechtwinkliges Dreieck darstellen.

Betrag eines Vektors, Länge eines Vektors — Die Länge eines Vektors als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

Um nun die Länge des Vektors $|\textcolor{blue}{\vec{v}}|$ zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke nutzen. Dieser besagt a² + b² = c².

Die Komponenten v₁ und v₂ sind in dem Fall a und b und der Vektor $|\textcolor{blue}{\vec{v}}|$ ist c. Wenn du den Satz des Pythagoras nach c auflöst, erhältst du die Formel für den Betrag eines Vektors:

c² = a² + b²

c = $\sqrt{\textcolor{magenta}{a}^2 + \textcolor{teal}{b}^2}$

$|\textcolor{blue}{\vec{v}}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{v_1}^{2} + \textcolor{teal}{v_2}^{2}}$

Für Vektoren mit drei Komponenten kommt zusätzlich die Verschiebung entlang der z-Achse hinzu. Diese dritte Komponente fügst du dann einfach unter der Wurzel hinzu: $|\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{v_1}^{2} + \textcolor{teal}{v_2}^{2} + \textcolor{purple}{v_3}^{2}}$ .

Betrag eines Vektors & Einheitsvektor

Den Betrag eines Vektors brauchst du, um den Einheitsvektor zu berechnen. Das ist ein Vektor mit der Länge 1. Einen normalen Vektor $\vec{v}$ verwandelst du in einen Einheitsvektor $\vec{e_v}$ , indem du ihn durch seinen Betrag dividierst: $\vec{e}_v = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ .

Betrag Vektor — Eigenschaften

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Beim Betrag von Vektoren gibt es ein paar Sachen zu beachten. Sie haben nämlich bestimmte Eigenschaften. Welche das sind, siehst du hier:

Nullvektor:
Der Betrag eines Vektors kann auch 0 sein. Das ist aber nur beim Nullvektor der Fall. Er hat also keine Länge, da der Nullvektor ein Punkt ist: $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)$ → $|\vec{v}| = 0$ .
Gegenvektor:
Ein Vektor hat immer einen Gegenvektor. Der hat dieselben Komponenten, aber mit einem negativen Vorzeichen. Beide haben immer dieselbe Länge. Denn in der Formel für den Betrag eines Vektors werden die einzelnen Komponenten quadriert. Dadurch kann die Länge eines Vektors niemals negativ sein.
Der Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array}\right)$ hat also dieselbe Länge wie sein Gegenvektor $\vec{-v} = \left(\begin{array}{c} -7 \\ -3 \end{array}\right)$ .
Summe zweier Vektoren addieren:
Addierst du zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ , entsteht ein neuer Vektor mit einem neuen Betrag. Dieser kann maximal so groß sein, wie die Summe aus den Beträgen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ .
Skalare Multiplikation:
Multiplizierst du einen Vektor $\vec{v}$ mit einer reellen Zahl k (Skalar) hast du zwei Möglichkeiten den Betrag zu berechnen. Du kannst zuerst den Betrag vom Vektor $\vec{v}$ berechnen und anschließend mit k multiplizieren. Oder du multipliziert erst $\vec{v}$ mit k und berechnest dann den Betrag. Mit beiden Methoden kommst du auf denselben Wert.

Betrag eines Vektors — häufigste Fragen

Was ist der Betrag eines Vektors?
Der Betrag eines Vektors ist die Länge eines Vektors. Die Länge kann dabei nur positive Werte annehmen. Es gibt also keine Beträge von Vektoren, die kleiner als Null sind.
Wie lautet die Formel, um die Länge eines Vektors zu berechnen?
Um die Länge eines Vektors zu bestimmen, nutzt du diese Formel: | a → | = √a₁² + a₂² + a₃². Das heißt, du quadrierst die einzelnen Komponenten des Vektors und addierst sie. Danach ziehst du aus der Summe die Wurzel.
Kann der Betrag eines Vektors gleich Null sein?
Der Betrag eines Vektors kann auch gleich Null sein. Das gilt jedoch nur für den Nullvektor. Bei anderen Vektoren mit Komponenten ungleich Null kann der Betrag nicht Null ergeben.

Skalarprodukt

Du kannst den Betrag eines Vektors auch mithilfe des Skalarprodukts berechnen. Was es genau mit dem Skalarprodukt auf sich hat, erfährst du in unserem Video!

Zum Video: Skalarprodukt

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