Wie sehe ich schnell, welche Länge der Ergebnisvektor bei Matrix mal Vektor hat?

Die Länge des Ergebnisvektors ist immer gleich der Zeilenanzahl der Matrix. Das liegt daran, dass jede Matrixzeile ein Skalarprodukt mit dem Vektor bildet und damit genau eine Ergebnis-Komponente liefert. Beispiel: Eine -Matrix mal ein -Vektor ergibt einen -Vektor.

Warum ist Matrix mal Vektor nicht dasselbe wie Vektor mal Matrix?

Matrix mal Vektor ist meist nicht dasselbe wie Vektor mal Matrix, weil sich Reihenfolge und Dimensionen ändern. Eine -Matrix mal -Vektor ergibt , aber ein -Vektor mal ist oft gar nicht definiert. Außerdem ist Matrizenmultiplikation nicht kommutativ.

Welche Fehler passieren am häufigsten beim Zeile mal Spalte Prinzip?

Am häufigsten werden Zeilen und Spalten verwechselt oder die Dimensionen passen nicht zusammen. Außerdem werden Produkte oft nicht vollständig addiert oder Vorzeichenfehler gemacht, besonders bei negativen Zahlen. Ein weiterer Klassiker ist, aus Versehen zwei Zeilen zu multiplizieren statt eine Zeile mit der passenden Spalte.

Wie rechne ich Matrix mal Vektor, wenn der Vektor als Zeilenvektor geschrieben ist?

Wenn der Vektor als Zeilenvektor steht, musst du ihn für Matrix mal Vektor zuerst transponieren. Durch Transponieren wird aus dem Zeilenvektor ein Spaltenvektor , der zur Spaltenanzahl der Matrix passt. Beispiel: Aus wird .

Was bedeutet Matrix mal Vektor als Transformation in der Geometrie?

Matrix mal Vektor beschreibt eine lineare Transformation, also wie Punkte oder Pfeile im Raum systematisch verändert werden. Je nach Matrix entsteht eine Drehung, Streckung, Spiegelung oder Scherung, ohne „Biegen“ von Geraden. Beispiel: streckt in x-Richtung.

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Matrix mal Vektor

Wichtige Inhalte in diesem Video

Matrix mal Vektor einfach erklärt

(00:14)

Matrix mal Vektor Beispiele

(01:32)

Matrix mal Vektor Rechenregeln

(03:20)

Willst du wissen, wie du eine Matrix mal Vektor rechnen kannst und welche Rechenregeln du beachten musst? Hier und in unserem Video zeigen wir dir alles Wichtige dazu!

Inhaltsübersicht

Matrix mal Vektor einfach erklärt

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(00:14)

Die Matrix mal Vektor Rechnung ist Teil der Matrizenmultiplikation. Genauer gesagt wird hier eine Matrix mit einem Vektor multipliziert. Um das Ergebnis zu erreichen, musst du das Zeile-mal-Spalte-Prinzip anwenden:

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Du musst also die Werte der ersten Spalte der Matrix mit allen Zahlen des Vektors multiplizieren. Dann summierst du die Werte auf. Das ergibt allerdings nur die erste Zeile des Ergebnisvektors. Deshalb musst du den Schritt für die folgenden Zeilen der Matrix wiederholen.

Wichtig: Damit du Matrix mit Vektor multiplizieren kannst, muss die Spaltenanzahl der Matrix (hier 3) mit der Zeilenanzahl des Vektors (hier 3) übereinstimmen.

Matrix mal Vektor Beispiele

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(01:32)

Beispiel 1: Es sind die Matrix B und der Vektor $\vec{e}$ gegeben:

$B=\left(\begin{array}{lll} \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{4}& \textcolor{orange}{6}\end{array}\right)\quad\quad\vec{e}= \left(\begin{array}{c} \textcolor{violet}{1} \\ \textcolor{violet}{0} \\ \textcolor{violet}{1} \end{array}\right)$

Du rechnest also

$B\cdot\vec{e}=\left(\begin{array}{lll} \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{4}& \textcolor{orange}{6}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} \textcolor{violet}{1} \\ \textcolor{violet}{0} \\ \textcolor{violet}{1} \end{array}\right)$

Zuerst betrachtest du die erste und hier auch einzige Spalte in der Matrix. Sie musst du jetzt mit jedem Wert des Vektors multiplizieren. Das sieht dann so aus:

$\left(\begin{array}{ccccc} \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{violet}{1} & +& \textcolor{orange}{4}\cdot \textcolor{violet}{0} & + &\textcolor{orange}{6} \cdot \textcolor{violet}{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \textcolor{teal}{8}\end{array}\right)$

Wichtig: Das Ergebnis der Rechnung bleibt immer ein Vektor! In diesem Beispiel hat er aber nur eine Zeile.

Beispiel 2:

$B=\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{3}& \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{1}\\ \textcolor{blue}{4}&\textcolor{blue}{-1}&\textcolor{blue}{0} \end{array}\right)\quad\quad\vec{k}=\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}4\\\textcolor{violet}1\\\textcolor{violet}2\end{arry}\right)$

Jetzt musst du Matrix mit Vektor multiplizieren:

$\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{3}& \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{1}\\ \textcolor{blue}{4}&\textcolor{blue}{-1}&\textcolor{blue}{0} \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}4\\\textcolor{violet}1\\\textcolor{violet}2\end{arry}\right)=\left(\begin{array}{ccrcc}\textcolor{orange}3\cdot \textcolor{violet}4&+&\textcolor{orange}2\cdot\textcolor{violet}1&+&\textcolor{orange}1\cdot\textcolor{violet}2\\ \textcolor{blue}4\cdot\textcolor{violet}4&+&\textcolor{blue}{(-1)}\cdot\textcolor{violet}1&+&\textcolor{blue}0\cdot\textcolor{violet}2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\textcolor{teal}{16}\\\textcolor{teal}{15}\end{array}\right)$

Beispiel 3:

$A=\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{-2}& \textcolor{orange}{0}& \textcolor{orange}{4}\\ \textcolor{blue}{3}&\textcolor{blue}{1}&\textcolor{blue}{-4}\\ 0&0&3 \end{array}\right)\quad\quad\vec{g}=\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}0\\\textcolor{violet}2\\\textcolor{violet}3\end{array}\right)$

Auch bei einer Matrix mit drei Zeilen gehst du genauso vor:

$\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{-2}& \textcolor{orange}{0}& \textcolor{orange}{4}\\ \textcolor{blue}{3}&\textcolor{blue}{1}&\textcolor{blue}{-4}\\ 0&0&3 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}0\\\textcolor{violet}2\\\textcolor{violet}3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcccr} \textcolor{orange}{(-2)}\cdot\textcolor{violet}0&+& \textcolor{orange}{0}\cdot\textcolor{violet}2&+& \textcolor{orange}{4}\cdot\textcolor{violet}3\\ \textcolor{blue}{3}\cdot\textcolor{violet}0&+&\textcolor{blue}{1}\cdot\textcolor{violet}2&+&\textcolor{blue}{(-4)}\cdot\textcolor{violet}3\\ 0\cdot\textcolor{violet}0&+&0\cdot\textcolor{violet}2&+&3\cdot\textcolor{violet}3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \textcolor{teal}{12} \\ \textcolor{teal}{-10} \\\textcolor{teal}{9}\end{array}\right)$

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Matrix mal Vektor Rechenregeln

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(03:20)

Für die Multiplikation von Matrix mit Vektor musst du zwei wichtige Rechenregeln beachten:

Assoziativität: Wenn zwei Matrizen (A und B) und ein Vektor multipliziert werden, kannst du die Klammern beliebig setzen:

(A · B) · $\vec{v}$ = A · (B · $\vec{v}$ )
Distributivität:
Du kannst bei der Matrix mal Vektorrechnung Klammern auflösen:

(A + B) · $\vec{v}$ = A · $\vec{v}$ + B · $\vec{v}$
A · ( $\vec{v}$ + $\vec{w})$ = A · $\vec{v}$ + A · $\vec{w}$

Matrix mal Vektor — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie sehe ich schnell, welche Länge der Ergebnisvektor bei Matrix mal Vektor hat?

Die Länge des Ergebnisvektors ist immer gleich der Zeilenanzahl der Matrix. Das liegt daran, dass jede Matrixzeile ein Skalarprodukt mit dem Vektor bildet und damit genau eine Ergebnis-Komponente liefert. Beispiel: Eine $2\times 3$ -Matrix mal ein $3\times 1$ -Vektor ergibt einen $2\times 1$ -Vektor.
Warum ist Matrix mal Vektor nicht dasselbe wie Vektor mal Matrix?

Matrix mal Vektor ist meist nicht dasselbe wie Vektor mal Matrix, weil sich Reihenfolge und Dimensionen ändern. Eine $m\times n$ -Matrix mal $n\times 1$ -Vektor ergibt $m\times 1$ , aber ein $1\times n$ -Vektor mal $m\times n$ ist oft gar nicht definiert. Außerdem ist Matrizenmultiplikation nicht kommutativ.
Welche Fehler passieren am häufigsten beim Zeile mal Spalte Prinzip?

Am häufigsten werden Zeilen und Spalten verwechselt oder die Dimensionen passen nicht zusammen. Außerdem werden Produkte oft nicht vollständig addiert oder Vorzeichenfehler gemacht, besonders bei negativen Zahlen. Ein weiterer Klassiker ist, aus Versehen zwei Zeilen zu multiplizieren statt eine Zeile mit der passenden Spalte.
Wie rechne ich Matrix mal Vektor, wenn der Vektor als Zeilenvektor geschrieben ist?

Wenn der Vektor als Zeilenvektor $1\times n$ steht, musst du ihn für Matrix mal Vektor zuerst transponieren. Durch Transponieren wird aus dem Zeilenvektor ein Spaltenvektor $n\times 1$ , der zur Spaltenanzahl der Matrix passt. Beispiel: Aus wird $\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)$ .
Was bedeutet Matrix mal Vektor als Transformation in der Geometrie?

Matrix mal Vektor beschreibt eine lineare Transformation, also wie Punkte oder Pfeile im Raum systematisch verändert werden. Je nach Matrix entsteht eine Drehung, Streckung, Spiegelung oder Scherung, ohne „Biegen“ von Geraden. Beispiel: $\left(\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2x\\y\end{array}\right)$ streckt in x-Richtung.

Matrizen multiplizieren

Super! Jetzt kannst du Matrix mal Vektor rechnen. Willst du noch wissen, wie du Matrizen miteinander multiplizieren kannst? Dann schau in unserem Video dazu rein!