Welche Methode nehme ich für die Determinante bei 2×2, 3×3 und größeren Matrizen?

Für 2×2 nimmst du die Formel , für 3×3 die Regel von Sarrus. Für größere nxn-Matrizen nutzt du meist den Laplaceschen Entwicklungssatz oder bringst die Matrix per Gauß in eine obere Dreiecksmatrix und multiplizierst dann die Diagonaleinträge.

Wie rechne ich die Determinante bei einer 2×2 Matrix aus?

Du berechnest bei einer 2×2 Matrix das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale. Für gilt . Beispiel: .

Wie berechne ich die Determinante bei einer 3×3 Matrix mit der Regel von Sarrus?

Mit der Regel von Sarrus addierst du drei „Vorwärts“-Produkte und ziehst drei „Rückwärts“-Produkte ab. Für gilt . Dabei setzt du die Einträge direkt ein.

Was bedeutet beim Laplace Entwicklungssatz die kleinere Matrix, die nach dem Streichen von Zeile und Spalte entsteht?

Diese kleinere Matrix heißt und entsteht, wenn du in die i-te Zeile und j-te Spalte streichst. Ihre Determinante ist der Teil, der beim Entwickeln mit dem Faktor in die Summe eingeht.

Wie komme ich mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren auf die Determinante?

Du wandelst die Matrix mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren in eine obere Dreiecksmatrix um. In einer solchen Matrix stehen unter der Hauptdiagonale nur Nullen, und die Determinante ist dann das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale von .

Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Determinante 2x2“

Hier geht's zum Video „Determinante 3x3“

Hier geht's zum Video „Laplacescher Entwicklungssatz“

Determinante berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Determinante berechnen einfach erklärt

(00:11)

Determinante berechnen 2×2

(00:11)

Determinante berechnen 3×3

(00:45)

Determinante berechnen nxn

(01:46)

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du von verschiedenen Matrizen die Determinante berechnen kannst. Du möchtest es anschaulich erklärt bekommen? Dann ist unser Video genau das Richtige für dich!

Inhaltsübersicht

Determinante berechnen einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

(00:11)

Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Determinante einer Matrix zu berechnen. Je nachdem wie groß die Matrix ist, ist eine Methode leichter als die andere.

In den folgenden Abschnitten zeigen wir dir, wann du welches Verfahren anwenden musst.

Hinweis: Für die Notation der Determinante einer Matrix A findest du die Schreibweisen $\det(A)$ oder |A| .

Determinante berechnen 2×2

im Videozur Stelle im Video springen

(00:11)

Fangen wir mit der Berechnung der Determinante von 2×2-Matrizen an.

Die Determinante einer 2×2 Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ berechnest du, indem du die Komponenten der Matrix in die Formel

$\det(A) = a \cdot d - c \cdot b$

einsetzt. Das heißt, du berechnest zuerst das Produkt der Hauptdiagonale und ziehst dann das Produkt der Nebendiagonale ab.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel 1

Wenn du zum Beispiel die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ gegeben hast, dann lautet die Determinante

$\det(A) = (1 \cdot 2) - (5 \cdot (-3)) = 17$ .

Du multiplizierst also zuerst die Elemente der Hauptdiagonale $1 \cdot 2$ und ziehst dann das Produkt $5 \cdot (-3)$ der Nebendiagonale ab. Schau dir das Video zur 2×2 Determinante an, um mehr Beispiele zu sehen.

Beispiel 2

im Videozum Video springen

Die Determinante eine 2×2 Matrix berechnest du wie folgt.

$\det\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} = ((-1) \cdot 0) - ((-5) \cdot (-2)) = -10$

Noch mehr Beispiele findest du in unserem Video!

Zum Video: Determinante 2x2 — Zum Video: Determinante 2×2

Determinante berechnen 3×3

im Videozur Stelle im Video springen

(00:45)

Gehen wir nun eine Dimension höher. Um die Determinante einer 3×3 Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ zu bestimmen, verwendest du die Regel von Sarrus.

$\det(A) = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h - g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b$

Regel von Sarrus, Die Regel von Sarrus, 3x3 Determinante, Determinante 3x3, 3x3 Determinante berechnen, 3x3 Determinanten berechnen, Berechnung einer 3x3 Determinante, Berechnung 3x3 Determinante, Determinante einer 3x3 Matrix — Die Regel von Sarrus

Beispiel 1

Schau dir zum Beispiel die Matrix $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -1 & -4 & 2 \end{pmatrix}$ an. Du berechnest die Determinante wie folgt.

$\det(A) = (4 \cdot 3 \cdot 2) + ((-1) \cdot 2 \cdot (-1)) + ((-2) \cdot (-3) \cdot (-4)) - ((-1) \cdot 3 \cdot (-2))$

$- ((-4) \cdot 2 \cdot 4) - (2 \cdot (-3) \cdot (-1))$

=22

Um die Determinante der Matrix A zu berechnen setzt du also die Komponente in die Formel ein. Im Video zur 3×3 Determinante erfährst du mehr zur genauen Berechnung.

Beispiel 2

im Videozum Video springen

Die Determinante einer 3×3 Matrix berechnest du wie folgt

$\det \begin{pmatrix} -6 & 5 & -4 \\ 2 & 5 & 2 \\ 5 & 4 & 0 \end{pmatrix}= ((-6) \cdot 5 \cdot 0) + (5 \cdot 2 \cdot 5) + ((-4) \cdot 2 \cdot 4)$

$- (5 \cdot 5 \cdot (-4)) -(4 \cdot 2 \cdot (-6) )- (0 \cdot 2 \cdot 5)$

= 166 .

Du möchtest es ausführlich erklärt bekommen? Dann ist unser Video genau das richtige für dich!

Zum Video: Determinante 3x3 — Zum Video: Determinante 3×3

Determinante berechnen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Welche Methode nehme ich für die Determinante bei 2×2, 3×3 und größeren Matrizen?

Für 2×2 nimmst du die Formel $a\cdot d-c\cdot b$ , für 3×3 die Regel von Sarrus. Für größere nxn-Matrizen nutzt du meist den Laplaceschen Entwicklungssatz oder bringst die Matrix per Gauß in eine obere Dreiecksmatrix und multiplizierst dann die Diagonaleinträge.
Wie rechne ich die Determinante bei einer 2×2 Matrix aus?

Du berechnest bei einer 2×2 Matrix das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale. Für $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt $\\det(A)=a\cdot d-c\cdot b$ . Beispiel: $\det\begin{pmatrix}1&-3\\5&2\end{pmatrix}=(1\cdot2)-(5\cdot(-3))=17$ .
Wie berechne ich die Determinante bei einer 3×3 Matrix mit der Regel von Sarrus?

Mit der Regel von Sarrus addierst du drei „Vorwärts“-Produkte und ziehst drei „Rückwärts“-Produkte ab. Für $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$ gilt $\\det(A)=a e i+b f g+c d h-g e c-h f a-i d b$ . Dabei setzt du die Einträge direkt ein.
Was bedeutet beim Laplace Entwicklungssatz die kleinere Matrix, die nach dem Streichen von Zeile und Spalte entsteht?

Diese kleinere Matrix heißt $A_{ij}$ und entsteht, wenn du in die i-te Zeile und j-te Spalte streichst. Ihre Determinante $\\det(A_{ij})$ ist der Teil, der beim Entwickeln mit dem Faktor $a_{ij}\cdot(-1)^{i+j}$ in die Summe eingeht.
Wie komme ich mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren auf die Determinante?

Du wandelst die Matrix mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren in eine obere Dreiecksmatrix $\\tilde A$ um. In einer solchen Matrix stehen unter der Hauptdiagonale nur Nullen, und die Determinante ist dann das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale von $\\tilde A$ .

Determinante berechnen nxn

im Videozur Stelle im Video springen

(01:46)

Nun schauen wir uns an, wie du von einer noch größeren Matrix die Determinante berechnen kannst.

Laplace Entwicklungssatz

im Videozum Video springen

Hast du eine nxn Matrix $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$ gegeben, dann kannst du die Determinante berechnen, indem du den Laplaceschen Entwicklungssatz anwendest.

$\det(A) = \sum \limits_{j=1}^{n}a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})$ , wenn du nach der i-ten Zeile entwickelst.

$\det(A) = \sum \limits_{i=1}^{n}a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})$ , wenn du nach der j-ten Spalte entwickelst.

$a_{ij}$ ist der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte und $A_{ij}$ die Matrix, die entsteht, wenn du die i-te Zeile und j-te Spalte der Matrix A streichst.

Determinante berechnen 4×4 Beispiel

Um die Determinante der 4×4 Matrix $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -5 & -2 \\ 5 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & -4 & 0 & -6 \\ 0 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ zu berechnen, verwenden wir den Laplaceschen Entwicklungssatz und entwickeln dabei nach der dritten Zeile (i=3) . Die Determinante von A lautet also

$\det(A) =$

$0 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ -2 & 4 & 2 \\ 5 & 2 & 3 \end{pmatrix} + (-4) \cdot (-1)^{3+2} \cdot \det\begin{pmatrix} -3 & -5 & -2 \\ 5 & 4 & 2 \ \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$+ 0 \cdot (-1)^{3+3} \cdot \det\begin{pmatrix} -3 & 4 & -2 \\ 5 & -2 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \end{pmatrix} + (-6) \cdot (-1)^{3+4} \cdot \det\begin{pmatrix} -3 & 4 & -5 \\ 5 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

$= 4 \cdot 31 + 6 \cdot (-93) = -434$

Beachte, dass der erste und dritte Summand wegfallen, da sie jeweils eine 0 als Faktor enthalten. Schau dir unser Video zum Laplaceschen Entwicklungssatz an, wenn du genauer wissen möchtest, wie du ihn anwendest.

Zum Video: Laplacescher Entwicklungssatz

Determinante berechnen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren

Hast du eine Matrix gegeben, die unterhalb der Hauptdiagonale nur Nullen enthält, dann ist die Determinante das Produkt der Elemente aus der Hauptdiagonale. Das heißt, du kannst die Determinante einer Matrix berechnen, indem du zuerst A mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens in eine obere Dreiecksmatrix $\tilde{A}$ transformierst und anschließend die Determinante von $\tilde{A}$ berechnest.