Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Übungsaufgaben mit gegebenen Gleichungen

Los geht’s mit je einem Beispiel zu den drei Lösungsverfahren. Danach warten weitere Aufgaben auf dich, bei denen du testen kannst, ob du alles verstanden hast.

Wenn du dir die drei Lösungsverfahren noch einmal genauer anschauen möchtest, dann klicke hier.

Aufgabe 1 — Einsetzungsverfahren

Aufgabe: Löse dieses Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
(I) y = 2x + 1
(II) 3x + y = 6

Lösung: x = 1, y = 3

Rechenweg:

Das Einsetzungsverfahren bietet sich hier an, weil in Gleichung (I) y schon isoliert ist. So kannst du direkt in Gleichung (II) einsetzen:

→ Setze y = 2x + 1 in (II) ein:
3x + (2x + 1) = 6

→ Jetzt zusammenfassen:
3x + 2x + 1 = 6
5x + 1 = 6

→ Subtrahiere 1:
5x = 5

→ Teile durch 5:
x = 1

→ Setze x = 1 in Gleichung (I) ein:
y = 2 · 1 + 1 = 3

Antwort: x = 1, y = 3

Aufgabe 2 — Additionsverfahren

Aufgabe: Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
(I) 2x + 3y = 12
(II) 4x – 3y = 6

Lösung: x = 3, y = 2

Rechenweg:
In den beiden Gleichungen kommen +3y und — 3y vor. Da sich diese Terme beim Addieren genau aufheben, bietet sich das Additionsverfahren hier besonders an.

→ Addiere die beiden Gleichungen:
(2x + 3y) + (4x – 3y) = 12 + 6
6x = 18

→ Teile durch 6:
x = 3

→ Setze x = 3 in Gleichung (I) ein:
2 · 3 + 3y = 12
6 + 3y = 12

→ Subtrahiere 6:
3y = 6

→ Teile durch 3:
y = 2

Also lautet die Lösung: x = 3 und y = 2

Aufgabe 3 — Gleichsetzungsverfahren

Aufgabe: Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren.
(I) y = 5x – 2
(II) y = – x + 10

Lösung: x = 2, y = 8

Rechenweg:
Beide Gleichungen sind bereits nach y umgestellt. Das macht das Gleichsetzungsverfahren besonders praktisch — du kannst die rechten Seiten direkt gleichsetzen.

→ Setze gleich:
5x – 2 = – x + 10

→ Bringe x auf eine Seite:
5x + x = 10 + 2
6x = 12

→ Teile durch 6:
x = 2

→ Setze x = 2 in Gleichung (I) ein:
y = 5 · 2 – 2 = 10 – 2 = 8

Die Lösung ist also: x = 2 und y = 8

Weitere Übungsaufgaben

1. Aufgabe:
(I) y = 4x – 2
(II) 2x + y = 10

Verfahren: Einsetzungsverfahren
Lösung: x = 2, y = 6

2. Aufgabe:
(I) 3x – 2y = 4
(II) x + 2y = 10

Verfahren: Additionsverfahren
Lösung: x = 3,5, y = 3,25

3. Aufgabe:
(I) 5x + y = 13
(II) 3x – y = 3

Verfahren: Additionsverfahren
Lösung: x = 2, y = 3

4. Aufgabe:
(I) x = y + 1
(II) x + y = 11

Verfahren: Einsetzungsverfahren
Lösung: x = 6, y = 5

5. Aufgabe:
(I) 2x + 3y = 18
(II) 4x + 6y = 36

Verfahren: Additions- oder Gleichsetzungsverfahren
Lösung: Unendlich viele Lösungen (beide Gleichungen sind Vielfache voneinander)

6. Aufgabe:
(I) x – 2y = 1
(II) 2x – 4y = 10

Verfahren: Additions- oder Gleichsetzungsverfahren
Lösung: Keine Lösung (beide Geraden sind parallel)

Textaufgaben — finde das passende Verfahren

Hier kommen drei Sachaufgaben aus dem Alltag. Manchmal wird dir gesagt, welches Verfahren du verwenden sollst — manchmal musst du es selbst herausfinden. Überlege zuerst, wie du die Situation in ein Gleichungssystem umwandelst. Dann löse es Schritt für Schritt.

1. Aufgabe – Tickets für den Zoo

Ein Erwachsenenticket für den Zoo kostet 9 €, ein Kinderticket 5 €. Eine Familie kauft insgesamt 6 Tickets und zahlt dafür 38 €. Wie viele Erwachsene und wie viele Kinder waren dabei? Löse diese Aufgabe mit dem Einsetzungsverfahren.

Lösung: 2 Erwachsenentickets, 4 Kindertickets

Rechenweg:
x = Anzahl der Erwachsenentickets
y = Anzahl der Kindertickets

→ Die Familie kauft insgesamt 6 Tickets:
(I) x + y = 6

→ Die Gesamtkosten betragen 38 €:
9 € pro Erwachsener und 5 € pro Kind
(II) 9x + 5y = 38

Da sich Gleichung (I) leicht nach x oder y umstellen lässt, bietet sich das Einsetzungsverfahren an.

→ Stelle (I) nach x um:
x + y = 6 │− y
x = 6 – y

→ Setze in (II) ein:
9(6 – y) + 5y = 38
54 – 9y + 5y = 38
54 – 4y = 38
– 4y = – 16
y = 4

→ Jetzt y in (I) einsetzen:
x + 4 = 6
x = 2

Antwort: 2 Erwachsene, 4 Kinder

2. Aufgabe – Wie viel kosten ein Heft und ein Block?

Du kaufst 2 Hefte und 1 Block und zahlst 7 €. Eine Freundin kauft 1 Heft und 2 Blöcke und zahlt 8 €. Wie viel kostet ein Heft, wie viel ein Block?

Lösung: Heft = 2 €, Block = 3 €

Rechenweg:

Multipliziere (II) mit 2:

x = Preis für ein Heft
y = Preis für einen Block

→ Du zahlst 2x + y = 7
→ Deine Freundin zahlt x + 2y = 8

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
(I) 2x + y = 7
(II) x + 2y = 8

Jetzt überlegst du, welches Verfahren passt:
Um das Additionsverfahren nutzen zu können, brauchst du in beiden Gleichungen denselben x- oder y-Term.
Gleichung (II) lässt sich dafür leicht mit 2 multiplizieren — so entsteht 2x, genau wie in Gleichung (I).

→ Multipliziere (II) mit 2:
2x + 4y = 16

→ Gleichung (I) bleibt:
2x + y = 7

→ Jetzt subtrahieren:
(2x + 4y) – (2x + y) = 16 – 7
2x – 2x + 4y – y = 9
3y = 9
y = 3

→ Setze y = 3 in Gleichung (I) ein:
2x + 3 = 7
2x = 4
x = 2

Antwort: Heft kostet 2 €, Block kostet 3 €

3. Aufgabe — Umfang eines Rechtecks

Ein Rechteck ist 4 cm länger als es breit ist. Sein Umfang beträgt 28 cm. Wie lang und wie breit ist das Rechteck?

Lösung: Breite = 5 cm, Länge = 9 cm

Rechenweg:

x = Breite
y = Länge

→ Die Länge ist 4 cm mehr als die Breite:
(I) y = x + 4

→ Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich mit: 2x + 2y = 28
(II) 2x + 2y = 28

Da in Gleichung (I) y bereits isoliert ist, bietet sich hier das Einsetzungsverfahren an.

→ Setze y = x + 4 in (II) ein:
2x + 2(x + 4) = 28
2x + 2x + 8 = 28
4x + 8 = 28

→ Subtrahiere 8:
4x = 20

→ Teile durch 4:
x = 5

→ Setze x = 5 in (I) ein:
y = 5 + 4 = 9

Antwort: Breite 5 cm, Länge 9 cm

Prüfungsähnliche Aufgaben

Diese Aufgaben sind wie in der Prüfung: Mehrteilig, mit echten Anwendungsbezügen und Anforderungen auf drei verschiedenen Niveaus.

Aufgabe 1 — Kartenverkauf beim Schulfest

Beim Schulfest werden Tickets verkauft. Eine Kinderkarte kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 7 €. Am Ende wurden 100 Karten verkauft und 550 € eingenommen.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf.
b) Berechne, wie viele Kinder- und wie viele Erwachsenenkarten verkauft wurden.
c) Überprüfe dein Ergebnis durch Einsetzen und beurteile, ob es realistisch ist.

Lösung:
a)
x = Kinderkarten
y = Erwachsenenkarten
→ (I) x + y = 100
→ (II) 4x + 7y = 550

b) Rechenweg:

→ Da beide Gleichungen x enthalten, und die x-Terme gleich gemacht werden können, bietet sich das Additionsverfahren an.

→ Multipliziere (I) mit 4, damit du das Additionsverfahren anwenden kannst:
4x + 4y = 400

→ Jetzt subtrahierst du die Gleichungen:
(4x + 7y) – (4x + 4y) = 550 — 400
3y = 150
y = 50

→ Setze y in (I) ein:
x + 50 = 100
x = 50

Antwort: 50 Kinderkarten, 50 Erwachsenenkarten

c)
Kontrolle durch Einsetzen:
4 · 50 + 7 · 50 = 200 + 350 = 550 → stimmt

Reflexion:
Eine gleichmäßige Verteilung (50/50) ist möglich und sinnvoll — besonders bei einem Schulfest mit vielen Familien.

Aufgabe 2 — Pflanzenverkauf

Ein Gärtner verkauft Pflanzen in kleinen und großen Töpfen. Kleine kosten 3 €, große 8 €. Er verkauft 40 Töpfe und nimmt 190 € ein.

a) Formuliere ein Gleichungssystem.
b) Berechne, wie viele kleine und große Töpfe verkauft wurden.
c) Begründe, warum du dich für das Lösungsverfahren entschieden hast.

Lösung:
a)
x = kleine Töpfe
y = große Töpfe
(I) x + y = 40
(II) 3x + 8y = 190

b) Rechenweg:

→ Da sich Gleichung (I) leicht nach x umstellen lässt, bietet sich das Einsetzungsverfahren an.

→ Stelle (I) nach x um, damit du das Einsetzungsverfahren verwenden kannst:
x = 40 – y

→ Setze in (II) ein:
3(40 – y) + 8y = 190
120 – 3y + 8y = 190
5y = 70
y = 14
x = 40 – 14 = 26

Antwort: 26 kleine, 14 große Töpfe

c) Das Einsetzungsverfahren eignet sich hier gut, weil in (I) schon eine Variable leicht isoliert werden kann. Dadurch lässt sich das System schnell und übersichtlich lösen.

Noch mehr Aufgaben zum Üben

Du willst noch mehr Aufgaben rechnen und sicherer im Umgang mit linearen Gleichungssystemen werden? Dann hol dir unser Arbeitsblatt mit zusätzlichen Übungen — perfekt zum Wiederholen, Vertiefen und Selbsttesten.

Das Arbeitsblatt kannst du dir hier herunterladen:

Gauß-Algorithmus

Lineare Gleichungssysteme kannst du auch mit einem anderen Verfahren lösen — dem Gauß-Algorithmus. Wie das Schritt für Schritt funktioniert, zeigen wir dir hier!