LGS lösen

Lineare Gleichungssysteme — einfach erklärt

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mindestens zwei linearen Gleichungen. Indem du das LGS löst, findest du heraus, wie die Graphen der Gleichungen in einem Koordinatensystem zueinander stehen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Du hast folgende lineare Gleichungen gegeben: 

I. y = 2x – 3
II. y = -0,5x + 7

Zeichnest du die beiden Funktionen nun in ein Koordinatensystem ein, bekommst du folgende Abbildung:

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Wie du siehst, schneiden sich die beiden Geraden im Punkt (4|5). Anstatt das durch Einzeichnen herauszufinden, kannst du es auch berechnen. Dafür brauchst du ein lineares Gleichungssystem. Die Lösung des LGS verrät dir nämlich, ob die Geraden…

• einen gemeinsamen Schnittpunkt haben,
• parallel verlaufen oder
• identisch sind, also dieselbe Gerade abbilden.

Lineare Gleichungssysteme lösen — mögliche Ergebnisse

Je nach Fall sehen die Ergebnisse wie folgt aus:

• Wenn die Geraden sich schneiden, hat das LGS eine eindeutige Lösung (z. B. x₁ = 5 und x₂ = 7)
   
• Wenn die Geraden parallel zueinander sind, entspricht das Ergebnis einer falschen Aussage (z. B. 5 = 7)
   
• Wenn die Geraden identisch sind, ist die Lösung des LGS eine wahre Aussage (z. B. 0 = 0)

Lineare Gleichungssysteme lösen — Lösungsansätze

Um auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems zu kommen, hast du verschiedene Möglichkeiten:

• das Einsetzungsverfahren
• das Gleichsetzungsverfahren
• das Additionsverfahren

Damit aus unserem Beispiel von oben ein LGS wird, machen wir aus dem y die Unbekannte x₂. Durch darauffolgendes Umformen bekommen wir folgendes lineares Gleichungssystem:

I. 2x₁ + x₂ = 13
II. x₁ – x₂ = -1

Nun haben wir zwei Unbekannte: x₁ und x₂.

Wichtig: Die Variablen x haben bei einem LGS immer die Potenz 1. Sobald also ein x² in der Gleichung vorkommt, ist es kein lineares Gleichungssystem mehr.

Lineare Gleichungssysteme lösen — Einsetzungsverfahren

Beginnen wir mit dem Einsetzungsverfahren.  

• 1. Schritt: Löse eine der beiden Gleichungen nach einer Unbekannten, beispielsweise I. nach x₁ auf.
• 2. Schritt: Setze das dadurch erhaltene Ergebnis für die Unbekannte in die II. Gleichung anstatt x₁ ein.
• 3. Schritt: Gleichung II. enthält nun nur noch eine Variable, hier x₂. Löse nach ihr auf, damit du die Lösung für x₂ erhältst.
• 4. Schritt: Setze die Lösung für x₂ in die Gleichung I. ein und löse jetzt nach x₁ auf. So erhältst du das Ergebnis des LGS.

Einsetzungsverfahren — Beispielrechnung

Schauen wir uns das Einsetzungsverfahren anhand des Beispiels von oben an:

I. 2x₁ + x₂ = 13
II. x₁ – x₂ = -1

Hier bietet es sich an, die II. Gleichung nach einer der beiden Unbekannten aufzulösen. Es wird nämlich nur ein Umstellungsschritt benötigt. Wir haben uns für x₁ entschieden, es geht aber genauso mit x₂.

II. x₁ – x₂ = -1     |+ x₂
2a) x₁ = -1 + x₂

Den Term (-1 + x₂) setzt du jetzt in I. für x₁ ein:

2x₁ + x₂ = 13   | einsetzen
2 · (-1 + x₂) + x₂ = 13    | zusammenfassen
-2 + 2x₂ + x₂ = 13      | zusammenfassen
-2 + 3x₂ = 13    | + 2
3x₂ = 15    | : 3
x₂ = 5

Die Lösung für x₂ ist also 5. Die 5 setzt du nun für x₂ in 2a) ein, um das Ergebnis für x₁ zu bekommen:

x₁ = -1 + x₂    | einsetzen
x₁ = -1 + 5
x₁ = 4

Aus der Lösung x₁ = 4 und x₂ = 5 leitest du ab, dass die beiden Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Und zwar im Punkt (4|5).

Lineare Gleichungssysteme lösen — Gleichsetzungsverfahren

Eine weitere Möglichkeit zum Lösen eines LGS ist das Gleichsetzungsverfahren.  

• 1. Schritt: Löse beide Gleichungen nach einer Unbekannten auf, beispielsweise nach x₁.
• 2. Schritt: Setze die beiden Gleichungen jetzt gleich. Dafür setzt du für x₁ in eine der Gleichungen den Term der anderen ein. Du erhältst eine Gleichung, die nur die Variable x₂ enthält.
• 3. Schritt: Löse sie nach x₂ auf. Nun hast du die Lösung für x₂.
• 4. Schritt: Setze die Lösung jetzt in eine der umgeformten Gleichungen ein, rechne aus und erhalte auch die Lösung für x₁.

Gleichsetzungsverfahren — Beispielrechnungen

Gehen wir auch das Gleichsetzungsverfahren nochmal Schritt für Schritt an unserem Beispiel durch.

I. 2x₁ + x₂ = 13
II. x₁ – x₂ = -1

Du löst im ersten Schritt beide Gleichungen nach x₁ oder x₂ auf. In unserem Beispiel lösen wir nach x₂ auf:

I. 2x₁ + x₂ = 13    |- 2x₁
1a) x₂ = 13 – 2x₁   

II. x₁ – x₂ = -1    |- x₁
-x₂ = -1 – x₁    |· (-1)
2a) x₂ = 1 + x₁

Nun setzt du in 1a) den Term (1 + x₁) für x₂ ein:

x₂ = 13 – 2x₁     | einsetzen
1 + x₁ = 13 – 2x₁

Die Gleichung löst du im nächsten Schritt nach x₁ auf:

1 + x₁ = 13 – 2x₁    |+ 2x₁
1 + 3x₁ = 13    |- 1
3x₁ = 12    |: 3
x₁ = 4

Die Lösung x₁ = 4 setzt du nun in die Gleichung 2a) ein:

x₂ = 1 + x₁    | einsetzen
x₂ = 1 + 4    | zusammenfassen
x₂ = 5

Auch mit dem Gleichsetzungsverfahren kommst du zum Ergebnis, dass sich die beiden Geraden im Punkt (4|5) schneiden.

Lineare Gleichungssysteme lösen — Additionsverfahren

Das dritte Lösungsverfahren ist das Additionsverfahren. Hier kommst du auf die Lösung, indem du eine der beiden Variablen in einer Gleichung eliminierst. 

• 1. Schritt: Ändere eine der beiden Gleichungen, z. B. II., so ab, dass du I. +/- II. rechnen kannst und dadurch eine Unbekannte wegfällt. Nun hast du die Gleichung I. mit nur einer Variablen.
• 2. Schritt: Löse nach der Variable auf.
• 3. Schritt: Setze das Ergebnis in die nicht veränderte II. Gleichung ein und berechne die zweite Unbekannte. Jetzt hast du für beide Variablen die Lösungen.

Additionsverfahren — Beispielrechnung

Schauen wir uns auch das Additionsverfahren anhand unseres Beispiels an:

I. 2x₁ + x₂ = 13
II. x₁ – x₂ = -1

Im ersten Schritt wollen wir eine der Variablen in der I. Gleichung eliminieren. Eine Möglichkeit das x₁ wegzubekommen, ist II. mal -2 zu rechnen. Denn im I. Term hast du 2x₁ und im II. nur eins:

I. 2x₁ + x₂ = 13
II. x₁ – x₂ = -1    |· (-2)
2a) -2x₁ + 2x₂ = 2

Um das x₁ in I. zu eliminieren, rechnest du nun I. + 2a). Dafür addierst du einfach die linke Seite von I. mit der linken Seite von 2a). Dasselbe machst du auch mit den beiden rechten Seiten: 

I. 2x₁ + x₂ = 13    |+ 2a)
1a) 2x₁ + x₂ -2x₁ + 2x₂ = 13 + 2
1a) 3x₂ = 15

1a) kannst du jetzt nach x₂ auflösen:

1a) 3x₂ = 15   |: 3
x₂ = 5

Nun setzt du noch 5 in II. für x₂ ein und löst nach x₁ auf:

II. x₁ – x₂ = -1    |einsetzen
x₁ – 5 = -1    |+ 5
x₁ = 4

Das Additionsverfahren führt ebenfalls zur Lösung, dass sich die beiden Geraden im Punkt (4|5) schneiden. Du siehst also, dass es keine Rolle spielt, welches Verfahren du anwendest. Denn alle führen zur selben Lösung.

Schau dir also am besten das lineare Gleichungssystem an und überlege, welches der drei Verfahren am besten umzusetzen ist.

Lineare Gleichungssysteme lösen — Besondere Ergebnisse

Zwei Geraden können sich aber nicht nur schneiden. Sie können auch parallel oder identisch sein. Wie da die Lösung des linearen Gleichungssystems aussieht, schauen wir uns jetzt anhand je eines Beispiels an.

Besondere Ergebnisse — parallele Graphen

Betrachten wir folgendes Gleichungssystem:

I. 3x₁ + 2x₂ = 5
II. 1,5x₁ + x₂ = 4

Für das Lösen verwenden wir das Einsetzungsverfahren. Das bietet sich hier an, da du II. mit nur einem Schritt nach x₂ auflösen kannst:

II. 1,5x₁ + x₂ = 4    |- 1,5x₁
x₂ = 4 – 1,5x₁

Jetzt setzt du das Ergebnis für x₂ in I. ein und löst auf:

I. 3x₁ + 2x₂ = 5    | einsetzen
3x₁ + 2 · (4 – 1,5x₁) = 5    | Klammer lösen
3x₁ + 8 – 3x₁ = 5     | zusammenfassen
8 = 5

Da das Ergebnis 8 = 5 eine Falschaussage ist, sind die beiden Geraden parallel zueinander.

Besondere Ergebnisse — identische Graphen

Schauen wir uns als Letztes noch an, wie die Lösung eines linearen Gleichungssystems aussieht, wenn die Geraden identisch sind. Unser Beispiel dafür ist:

I. 2x₁ + 3x₂ = 6
II. 4x₁ + 6x₂ = 12

Zur Übung lösen wir dieses System mit dem Additionsverfahren. Dafür teilst du II. durch 2:

II. 4x₁ + 6x₂ = 12     | : 2
2a) 2x₁ + 3x₂ = 6

Jetzt rechnest du I. – 2a) um x₁ zu eliminieren:

I. 2x₁ + 3x₂ = 6    | – 2a)
1a) 2x₁ + 3x₂ – 2x₁ – 3x₂ = 6 – 6     | zusammenfassen
0 = 0

Da die beiden Gleichungen nach dem Halbieren von II. identisch waren, bekommst du die Lösung 0 = 0. Das ist eine wahre Aussage, wodurch die beiden Geraden identisch sind.

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Du möchtest das Lösen von LGS noch etwas üben? Dann schau hier bei unserem Beitrag zu lineare Gleichungssysteme Aufgaben vorbei!