Was ist eine Funktionsgleichung?

Eine Funktionsgleichung ist das, was hinter dem Gleichheitszeichen steht. Zum Beispiel bei f(x) = x² – 4x + 2 ist die Funktionsgleichung: x² – 4x + 2. Oft ist mit Funktionsgleichung aber auch den ganzen Ausdruck mit f(x)= davor gemeint

Was ist die allgemeine Funktionsgleichung?

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist f(x) = m·x + t. Die allgemein Funktionsgleichung einer quadratischen Funktionen hingegen ist f(x) = ax²+bx+c.

Wie sieht die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus?

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form f(x) = m·x + t. Dabei ist m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt, also da wo der Graph die y-Achse schneidet.

Wie bestimmt man eine Funktionsgleichung?

Eine Funktionsgleichung kannst du auf unterschiedliche Weisen bestimmen. Wenn du den Graphen einer Funktion hast, kannst du oft die wichtigsten Informationen auslesen. Bei einer Geraden wären das die Steigung m und der y-Achsenabschnitt t. Ansonsten musst du durch Rechnung die Werte einsetzen und Stück für Stück nach den anderen Variablen auflösen.

Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Steigung berechnen“

Hier geht's zum Video „Steigungsdreieck“

Funktionsgleichung

Name: Funktionsgleichung
Uploaded: 2025-03-31T12:00:22Z
Duration: 4 min 33 s
Description: Funktionsgleichung

Wichtige Inhalte in diesem Video

Funktionsgleichung einfach erklärt

(00:16)

Funktionsgleichung linearer Funktionen aufstellen

(01:15)

Eine Funktionsgleichung kannst du auf verschiedene Arten bestimmen. Hier und im Video zeigen wir dir Möglichkeiten wie du lineare und quadratische Funktionen aufstellen kannst.

Inhaltsübersicht

Funktionsgleichung einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

(00:16)

Eine Funktionsgleichung beschreibt eine konkrete mathematische Gleichung und ist das, was hinter dem Gleichheitszeichen steht. Ist f(x) = 2x + 3 deine Funktion, dann ist 2x + 3 die Funktionsgleichung.

Die Begriffe Funktion, Funktionsgleichung und Funktionsgraph werden in Mathe regelmäßig verwechselt. So kannst du sie einfach unterscheiden:

Die Funktion gibt dir an, wie jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet wird. Sie heißt f(x) und beschreibt eher ein allgemeines Konzept.
Eine Funktionsgleichung steht hinter dem Gleichheitszeichen. Bei ihr handelt es sich um die konkrete Schreibweise einer Funktion.
Der Funktionsgraph zeigt die Funktion grafisch im Koordinatensystem. Einen Beispielgraphen siehst du im Bild.

direkt ins Video springen

Funktionsgraph einer linearen Funktion

Wie du die Funktionsgleichung von linearen und quadratischen Funktionen bestimmen kannst, erfährst du jetzt.

Funktionsgleichung linearer Funktionen aufstellen

im Videozur Stelle im Video springen

(01:15)

Lineare Funktionen kannst du auf verschiedene Arten aufstellen. Dafür notierst du immer zuerst die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden:

f(x) = m • x + t

Das m gibt dabei die Steigung der Gerade an und das t den y-Achsenabschnitt, also den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse.

1. Funktionsgleichung am Graphen ablesen

Hast du den Graphen einer linearen Funktion gegeben, kannst du die Funktionsgleichung durchs Ablesen in 4 Schritten bestimmen. Schau dir das an folgendem Beispiel an:

lineare Funktion Gerade Steigung Steigungsdreieck y-Achsenabschnitt, funktionsgleichung, funktionsgleichung lineare funktion, allgemeine funktionsgleichung, was ist eine funktionsgleichung, funktionsgleichungen aufstellen, funktionsgleichung beispiel, lineare funktionsgleichungen — Lineare Funktionsgleichung am Graphen ablesen

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben

f(x) = m • x + t

Schritt 2: y-Achsenabschnitt t ablesen

Der y-Achsenabschnitt ist nichts anderes, als die Stelle wo die Geraden die y-Achse schneidet.

t = −1

Schritt 3: Steigung m berechnen

Dafür zeichnest du am besten ein Steigungsdreieck ein. Dabei fragst du dich:

Δy Wie viele Kästchen gehst du nach oben/unten?
Δx Wie viele Kästchen gehst du nach rechts/links?

Die Steigung m berechnest du nun so:

$\definecolor{ao(english)}{rgb}{0.0, 0.5, 0.0}\textcolor{ao(english)}{m} = \cfrac{\definecolor{burntorange}{rgb}{0.6,0.2,0.0}\textcolor{burntorange}{\Delta y}}{\definecolor{olive}{rgb}{0.5, 0.5, 0.0}\textcolor{olive}{\Delta x}} = \cfrac{\definecolor{burntorange}{rgb}{0.6,0.2,0.0}\textcolor{burntorange}{1}}{\textcolor{olive}{2}}$ = 0,5

Schritt 4: Werte m = 0,5 und t = −1 in Funktionsgleichung einsetzen

f(x) = 0,5 • x − 1

2. Aufstellen mit Punkt und y-Achsenabschnitt

Du kannst auch die Funktionsgleichung aufstellen, wenn du nur den y-Achsenabschnitt gegeben hast. Dann brauchst du nur einen weiteren Punkt P (x|y), um die Geradengleichung zu bestimmen.

Wenn du beispielsweise die Gleichung der Geraden mit dem y-Achsenabschnitt t = 2 durch den Punkt P (2|8) bestimmen willst, gehst du nach fünf Schritten vor:

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben

f(x) = m • x + t

Schritt 2: y-Achsenabschnitt einsetzen

In unserem Beispiel ist das t = 2:

f(x) = m • x + 2

Schritt 3: x-Wert und y-Wert einsetzen

Als nächstes setzt du den x-Wert und den y-Wert des Punktes P (2|8) ein.

8 = m • 2 + 2

Schritt 4: Gleichung nach m auflösen

8 = m ⋅ 2 + 2 | – 2
6 = m ⋅ 2 | : 2
3 = m

Schritt 5: m und t in die Funktionsgleichung einsetzen

Zum Schluss setzt du nur noch die Steigung und den y-Achsenabschnitt in deine Funktionsgleichung ein und du erhältst dein Ergebnis:

f(x) = 3 • x + 2

3. Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmen

Du kannst die Gleichung einer linearen Funktion auch dann bestimmen, wenn du zwei Punkte gegeben hast. Dafür musst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen. Schau dir das für die Punkte P (-3|2) und Q (5|6) einmal genauer an:

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben

f(x) = m • x + t

Schritt 2: Beide Punkte in Gleichung einsetzen und Gleichungssystem aufstellen

(I) 6 = m • 5 + t
(II) 2 = m • (−3) + t

Schritt 3: Eine der Gleichungen nach t auflösen

In unserem Beispiel haben wir die Gleichung (I) nach t aufgelöst:

(I) 6 = m • 5 + t
(I‘) t = 6 − 5 • m

Setze sie dann in die andere Gleichung ein und berechne daraus m:

(I‘) in (II)

2 = (-3) • m + 6 – 5 • m
2 = -8 • m + 6 | – 6
-4 = -8 • m | : (-8)
m = 0,5

Schritt 4: m in (I) oder (II) einsetzen und nach t auflösen

In unserem Beispiel setzt du m = 0,5 in (II) ein und erhältst:

2 = 0,5 • (−3) + t
2 = −1,5 + t | + 1,5
3,5 = t

Schritt 5: m und t in Funktionsgleichung einsetzen

f(x) = 0,5 • x + 3,5

Übrigens: Du kannst eine lineare Funktionsgleichung aus zwei Punkten auch aufstellen, indem du aus den Differenzen der Punkte die Steigung m berechnest $\left(m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\right)$ . Dann setzt du m zusammen mit einem Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung y = m • x + t ein und löst nach t auf.

Damit kennst du jetzt alle Möglichkeiten, wie du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen kannst.

Funktionsgleichung von quadratischen Funktionen aufstellen

Häufig wird auch nach der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gefragt. Ihr Funktionsgraph ist immer eine Parabel. Die allgemeine Funktionsgleichung sieht so aus:

f(x) = ax² + bx + c

1. Parabelgleichung am Graphen ablesen

Wenn du nur den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion gegeben hast, bestimmst du die Funktionsgleichung am besten über die Scheitelpunktform. Schau dir zum Beispiel diesen Graphen an:

Nun gehst du so vor:

Schritt 1: Allgemeine Scheitelpunktform aufstellen

f(x) = a(x − d)²+ e

Schritt 2: Koordinaten des Scheitelpunkts einsetzen

Lese die Koordinaten des Scheitelpunktes ab und setzte sie in die Funktionsgleichung ein. In unserem Beispiel ist das der Punkt S (1|4,5). Es ist also e = 4,5 und d = 1. Damit ergibt sich:

f(x) = a(x − 1)²+ 4,5

Schritt 3: a bestimmen

Um a zu bestimmen brauchst du noch einen weiteren Punkt, den du gut ablesen kannst. Dafür eignet sich beispielsweise die Nullstelle x₂ = 4. Den Punkt P (4|0) setzt du nun in die Gleichung ein und formst nach a um.

0 = a(4 – 1)² + 4,5
0 = 9a + 4,5 | – 4,5
-4,5 = 9a | : 9
-0,5 = a

Schritt 4: a in Funktionsgleichung einsetzen und ausmultiplizieren

Wenn du a eingesetzt hast, musst du deine Funktionsgleichung nur noch in die allgemeine Funktionsgleichung umformen.

f(x) = −0,5(x − 1)² + 4,5 = −0,5x²+x + 4

Übrigens: Wenn du nicht den Graphen, sondern einen Punkt und die Koordinaten des Scheitels gegeben hast, gehst du genauso wie eben vor und setzt die Koordinaten direkt ein.

2. Funktionsgleichung aus drei Punkten aufstellen

Um eine Parabel aus drei gegebenen Punkten zu errechnen, nutzt du die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c. Dann setzt du alle drei Punkte in je eine Gleichung ein. Dann erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das du auflösen kannst.

Betrachten wir beispielsweise die Parabel durch die drei Punkte A (0|4), B (2|-2) und C (7|0,5).

Um die Funktionsgleichung aus drei Punkten zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen

f(x) = ax² + bx + c

Schritt 2: Punkte A, B und C in jeweils eine Funktionsgleichung einsetzen

(I) 4 = a • 0²+ b • 0 + c
(II) −2 = a • 2²+ b • 2 + c
(III) 0,5 = a • 7²+ b • 7 + c

Schritt 3: Gleichungssystem auflösen

Löse das Gleichungssystem möglichst geschickt. In der Gleichung (I) fallen zum Beispiel die Werte a und b durch Multiplikation mit 0 direkt weg. Übrig bleibt nur noch 4 = c. Das setzt du nun in die beiden anderen Gleichungen ein:

(II) −2 = 4a + 2b + 4
(III) 0,5 = 49a + 7b + 4

Löst du Gleichung (II) nach b auf und setzt sie in die dritte ein, kannst du so a ausrechnen:

(II‘) b = −3 − 2a
(III‘) 0,5 = 49a + 7 • (-3 – 2a) + 4
(III‘) 0,5 = 49a – 21 – 14a + 4
(III‘) 0,5 = 35a – 17
(III‘) 17,5 = 35a
(III‘) a = 0,5

Durch das Einsetzen von a = 0,5 in (II‘) ergibt sich dann b = −4.

Schritt 4: a, b und c in ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen

f(x) = 0,5x²− 4x+ 4

Funktionsgleichung — häufigste Fragen

Was ist eine Funktionsgleichung?

Eine Funktionsgleichung ist das, was hinter dem Gleichheitszeichen steht. Zum Beispiel bei f(x) = x² – 4x + 2 ist die Funktionsgleichung: x² – 4x + 2. Oft ist mit Funktionsgleichung aber auch den ganzen Ausdruck mit f(x)= davor gemeint
Was ist die allgemeine Funktionsgleichung?

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist f(x) = m·x + t. Die allgemein Funktionsgleichung einer quadratischen Funktionen hingegen ist f(x) = ax²+bx+c.
Wie sieht die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus?

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form f(x) = m·x + t. Dabei ist m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt, also da wo der Graph die y-Achse schneidet.
Wie bestimmt man eine Funktionsgleichung?

Eine Funktionsgleichung kannst du auf unterschiedliche Weisen bestimmen. Wenn du den Graphen einer Funktion hast, kannst du oft die wichtigsten Informationen auslesen. Bei einer Geraden wären das die Steigung m und der y-Achsenabschnitt t. Ansonsten musst du durch Rechnung die Werte einsetzen und Stück für Stück nach den anderen Variablen auflösen.

Nullstellen berechnen

Jetzt hast du bereits verschiedenen Verfahren zum Aufstellen von Funktionsgleichungen kennengelernt. Teilweise haben wir dafür auch Nullstellen genutzt. Wie du diese Nullstellen berechnest, erfährst du hier noch genauer.