Wie erkenne ich, ob ich Produktregel oder Kettenregel brauche?

Du brauchst die Produktregel bei einer Multiplikation zweier Funktionen und die Kettenregel bei einer Funktion in einer Funktion. Ein Malpunkt oder Klammern nebeneinander sprechen für ein Produkt, eine Potenz oder Funktion mit „Innenleben“ für eine Verkettung. Beispiel: Produktregel, Kettenregel.

Wann kann ich einen Bruch erst umformen statt die Quotientenregel zu nutzen?

Einen Bruch darfst du erst umformen, wenn du ihn als Produkt mit einer Potenz schreiben kannst. Dann nutzt du Produktregel und Potenzregel statt der Quotientenregel. Beispiel: , danach ist Kettenregel für nötig.

Welche Fehler passieren oft bei Minuszeichen beim Ableiten von Summen?

Häufig wird ein Minuszeichen beim Ableiten „verloren“ oder falsch auf mehrere Terme verteilt. Bei Summen und Differenzen bleibt jedes Vorzeichen beim jeweiligen Term stehen, nur der Term selbst wird abgeleitet. Beispiel: Aus wird korrekt und nicht .

Wie leite ich Potenzen mit negativen Exponenten richtig ab?

Potenzen mit negativen Exponenten leitest du mit der Potenzregel genauso ab wie andere Potenzen. Setze auch dann ein, wenn gilt: . Beispiel: , also .

Warum darf ich bei einem Produkt nicht einfach beide Teile ableiten?

Bei einem Produkt ist die Ableitung nicht einfach das Produkt der Ableitungen, weil sich beide Faktoren gleichzeitig ändern. Deshalb braucht man die Produktregel . Beispiel: Für wäre „beide ableiten“ , korrekt ist aber .

Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Potenzregel und Faktorregel“

Hier geht's zum Video „Summenregel und Differenzregel“

Hier geht's zum Video „Produktregel“

Hier geht's zum Video „Kettenregel“

Hier geht's zum Video „Ableitung bestimmter Funktionen“

Ableitungsregeln einfach erklärt

Wichtige Inhalte in diesem Video

Ableitungsregeln — Konstantenregel

Ableitungsregeln — Produktregel

(01:52)

Ableitungsregeln — Quotientenregel

(02:28)

Ableitungsregeln — Kettenregel

(03:18)

Es gibt eine Vielzahl von verschiedenen Ableitungsregeln. Wie du sie richtig anwendest, zeigen wir dir hier im Beitrag und im Video mit Beispielen!

Inhaltsübersicht

Ableitungsregeln — Konstantenregel

im Videozur Stelle im Video springen

(00:13)

Wenn du eine Funktion hast, die nur aus einer Zahl besteht, ist die Ableitung immer Null.

Konstantenregel

y = C → y‘ = 0

Zum Beispiel:

y = 3

y‘ = 0

Potenzregel

im Videozur Stelle im Video springen

(00:41)

Steht in einer Funktion eine Potenz, kannst du sie mit der Potenzregel ableiten. Die Zahl vom Exponenten ziehst du dabei nach vorne und verringerst den Exponenten selbst um 1.

Potenzregel

y = xⁿ → y‘ = n • x^n-1

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an:

y = x⁵

y = 5 • x^5-1

y = 5 • x⁴

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Faktorregel

Die Faktorregel besagt, dass beim Ableiten einer Funktion, die mit einer Zahl multipliziert wird, diese einfach erhalten bleibt. Sie wird nur mit der abgeleiteten Funktion verrechnet.

Faktorregel

y = a • f(x) → y‘ = a • f'(x)

Schau dir dazu dieses Beispiel an:

y = 5 • x²

y‘ = 5 • 2 • x

y‘ = 10 • x

Wichtig: Besteht die Funktion nach der Zahl nur aus einem x, fällt bei der Ableitung nur das x weg. Zum Beispiel: y = 6x → y‘ = 6.

Summenregel

im Videozur Stelle im Video springen

(01:21)

Sind zwei oder mehr Funktionen als Summe miteinander verbunden, kannst du die gesamte Funktion mit der Summenregel ableiten. Dazu leitest du einfach die einzelnen Funktionen zwischen den Plus-Zeichen ab und fügst sie dann zusammen.

Summenregel

y = u + v → y‘ = u‘ + v‘

Das siehst du an diesem Beispiel:

y = -5x² + 4x⁶

y‘ = -5 • 2 • x^2-1+ 4 • 6 • x^6-1

y‘ = -10x + 24x⁵

Differenzregel

Die Differenzregel funktioniert wie die Summenregel: Du brauchst nur die einzelnen Teile abzuleiten:

Differenzregel

y = u – v → y‘ = u‘ – v‘

Zum Beispiel:

y = 5x – x³

y‘ = 5 – 3x²

Ableitungsregeln — Produktregel

im Videozur Stelle im Video springen

(01:52)

Wenn du ein Produkt aus zwei Funktionen ableiten möchtest, brauchst du die Produktregel. Dazu musst du die beiden Funktionen ableiten und folgende Formel anwenden:

Produktregel

y = u • v → y‘ = u‘ • v + u • v‘

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

y = (x² + x) • 2x

u = x² + x

u‘ = 2x + 1

v = 2x

v‘ = 2

y‘ = (2x + 1) • 2x + (x² + x) • 2

Ableitungsregeln — Quotientenregel

im Videozur Stelle im Video springen

(02:28)

Mithilfe der Quotientenregel kannst du Funktionen ableiten, die Brüche enthalten. Dazu bestimmst du jeweils die Ableitung der Funktionen im Zähler und im Nenner und setzt sie in die Formel ein:

Quotientenregel

$\mathbf{y = \frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \rightarrow y^{\prime} = \frac{\textcolor{red}{u^{\prime}} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v^{\prime}}}{\textcolor{blue}{v^2}}}$

Zum Beispiel:

$y = \frac{5x}{x^3 + x}$

u = 5x

u‘ = 5

v = x³ + x

v‘ = 3x² + 1

$y' = \mathbf{\frac{\textcolor{red}{5} \cdot (\textcolor{blue}{x^3 + x}) - \textcolor{red}{5x} \cdot (\textcolor{blue}{3x^2 + 1}) }{(\textcolor{blue}{x^3 + x})^2}}$

Ableitungsregeln — Kettenregel

im Videozur Stelle im Video springen

(03:18)

Die Kettenregel benutzt du, um zusammengesetzte Funktionen abzuleiten. Dabei gibt es immer eine äußere und eine innere Funktion. Beide leitest du ab und nutzt die Formel der Kettenregel, um die gesamte Funktion abzuleiten:

Kettenregel

y = u(v(x)) → y‘ = u'(v(x)) • v'(x)

Ein Beispiel für eine verkettete Funktion ist:

y = (7x² + 3)³

u = x³

u‘ = 3x²

v = 7x² + 3

v‘ = 14x

y‘ = 3 • (7x² + 3)² • 14x

Spezielle Ableitungen

Häufig laufen dir auch besondere Funktionen wie Wurzel- oder Logarithmusfunktionen über den Weg, die du ableiten musst. Wir haben dir die Wichtigsten hier zusammengestellt:

	Funktion	Ableitung
Wurzel ableiten	$y =\sqrt{x}$	$y' =\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ableitung Sinus	y =sin(x)	$y' =\cos(x)$
Ableitung Cosinus	$y =\cos(x)$	$y' =-\sin(x)$
Ableitung Tangens	$y =\tan(x)$	$y' =\frac{1}{\cos^2(x)}$
e Funktion ableiten		$y' = \ln(a) \cdot a^x$
ln ableiten	$y =\ln(x)$	$y' =\frac{1}{x}$

Tipp: Steht bei einer Exponentialfunktion vor dem Exponenten x noch eine weitere Zahl k, leitest du die Funktion so ab: y = e^kx→ y‘ = k • e^kx.

Ableitungsregeln — Übersicht

Hier hast du nochmal eine Übersicht über die wichtigsten Ableitungsregeln:

ableitungsregeln, ableitungs regeln, ableitungsregel, ableitung regel, alle ableitungsregeln, ableitungen regeln, ableiten regeln, ableutng regel, ableitung regeln — Ableitungsregeln Übersicht

Ableitungsregeln einfach erklärt — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob ich Produktregel oder Kettenregel brauche?

Du brauchst die Produktregel bei einer Multiplikation zweier Funktionen und die Kettenregel bei einer Funktion in einer Funktion. Ein Malpunkt oder Klammern nebeneinander sprechen für ein Produkt, eine Potenz oder Funktion mit „Innenleben“ für eine Verkettung. Beispiel: $(x^2+x)\cdot 2x$ Produktregel, Kettenregel.
Wann kann ich einen Bruch erst umformen statt die Quotientenregel zu nutzen?

Einen Bruch darfst du erst umformen, wenn du ihn als Produkt mit einer Potenz schreiben kannst. Dann nutzt du Produktregel und Potenzregel statt der Quotientenregel. Beispiel: $\frac{x^2}{x^3+x}=x^2\cdot (x^3+x)^{-1}$ , danach ist Kettenregel für $(x^3+x)^{-1}$ nötig.
Welche Fehler passieren oft bei Minuszeichen beim Ableiten von Summen?

Häufig wird ein Minuszeichen beim Ableiten „verloren“ oder falsch auf mehrere Terme verteilt. Bei Summen und Differenzen bleibt jedes Vorzeichen beim jeweiligen Term stehen, nur der Term selbst wird abgeleitet. Beispiel: Aus wird korrekt und nicht .
Wie leite ich Potenzen mit negativen Exponenten richtig ab?

Potenzen mit negativen Exponenten leitest du mit der Potenzregel genauso ab wie andere Potenzen. Setze auch dann ein, wenn gilt: $\frac{d}{dx}x^n=n\cdot x^{n-1}$ . Beispiel: $x^{-3}\rightarrow -3\cdot x^{-4}$ , also $-\frac{3}{x^4}$ .
Warum darf ich bei einem Produkt nicht einfach beide Teile ableiten?

Bei einem Produkt ist die Ableitung nicht einfach das Produkt der Ableitungen, weil sich beide Faktoren gleichzeitig ändern. Deshalb braucht man die Produktregel $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ . Beispiel: Für $x\cdot x$ wäre „beide ableiten“ $1\cdot 1=1$ , korrekt ist aber .

Ableitung bestimmter Funktionen

Du siehst, dass du für manche Funktionen wie beim Sinus oder der e-Funktion eine spezielle Ableitungsregel brauchst. Schau dir dafür am besten gleich unser Video zur Ableitung bestimmter Funktionen an.