Wie unterscheide ich beim Ableiten von e-Funktionen schnell innere Funktion und äußere Funktion?

Bei ist die äußere Funktion immer , die innere Funktion ist der ganze Exponent . Das liegt daran, dass zuerst der Exponent gebildet wird und danach die e-Funktion darauf angewendet wird. Beispiel: Bei ist innen .

Welche Fehler passieren am häufigsten, wenn ich e mit Kettenregel ableite?

Am häufigsten fehlt beim Ableiten von der Faktor aus der Kettenregel. Außerdem wird oft nur ein Teil des Exponenten abgeleitet oder Vorzeichen werden übersehen. Beispiel: Aus wird fälschlich statt .

Wie leite ich e hoch einer Funktion ab, wenn im Exponenten ein Bruch oder eine Wurzel steht?

Du leitest immer als ab, auch bei Brüchen oder Wurzeln im Exponenten. Entscheidend ist, dass du den Exponenten als innere Funktion komplett ableitest. Beispiel: .

Wie leite ich Funktionen wie e hoch e hoch x ab, ohne die Kettenregel zu vergessen?

Bei wendest du die Kettenregel zweimal an, weil eine e-Funktion im Exponenten steckt. Zuerst bleibt die äußere Form stehen, dann multiplizierst du mit der Ableitung des Exponenten . Ergebnis: .

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e Funktion ableiten

Wichtige Inhalte in diesem Video

E Funktion ableiten einfach erklärt

(00:12)

Kettenregel e Funktion ableiten

(00:45)

E Funktion ableiten Aufgaben

(02:50)

Du möchtest die e Funktion ableiten? Wenn du eine Exponentialfunktion wie e^x ableiten möchtest, brauchst du die Kettenregel und andere Ableitungsregeln. Wie das funktioniert, zeigen wir dir in diesem Beitrag und dem Video .

Inhaltsübersicht

E Funktion ableiten einfach erklärt

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(00:12)

Die Ableitung der e Funktion ist die e Funktion selbst.

Ableitung e Funktion

f(x) = e^x → f'(x) = e^x

Das kannst du dir leicht merken. Schwieriger wird es erst, wenn du e Funktionen ableiten möchtest, die in ihrem Exponenten kompliziertere Ausdrücke als nur stehen haben.

In so einem Fall musst du die Kettenregel anwenden, um die e-Funktion ableiten zu können. Dafür bestimmst du die innere Funktion h(x) und äußere Funktion g(x), berechnest deren Ableitungen h'(x) und g'(x) und setzt sie anschließend in die Formel der Kettenregel

f'(x) = g'(h(x)) • h'(x)

ein. Die innere Funktion ist dabei in der Regel der Exponent und die äußere Funktion ist eine e Funktion.

Kettenregel e Funktion ableiten

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(00:45)

Sehen wir uns ein paar Beispiele für kompliziertere Ableitungen von e hoch x an:

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel 1

f(x) = $\textcolor{red}{2e}^{\textcolor{blue}{5x^2}}$

In diesem Fall lautet die

innere Funktion h und Ableitung h‘:

h(x) = 5x² → h'(x) = 10x

äußere Funktion g und Ableitung g‘:

g(x) = 2e^x → g'(x) = 2e^x

Zur Bestimmung der inneren Ableitung musstest du die Potenz- und Faktorregel anwenden.

Setzt du die Funktionen in die Formel der Kettenregel ein, erhältst du schließlich

$\begin{align*} f'(x) &= \textcolor{red}{g'(}\textcolor{blue}{h(x)} \textcolor{red}{)} \cdot \textcolor{blue}{h'(x)} \\ &=\textcolor{red}{2e}^{\textcolor{blue}{{5x^2}}} \cdot \textcolor{blue}{10x}\\ &=20x \cdot e^{5x^2} \end{align*}$

Beispiel 2

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zum e Funktion Ableiten an:

$f(x)=\textcolor{red}{e}^{\textcolor{blue}{3x^2+2}}$

In diesem Beispiel erhältst du als

innere Funktion h und Ableitung h‘:

h(x) = 3x² + 2 → h'(x) = 6x

äußere Funktion g und Ableitung g‘:

g(x) = e^x → g'(x) = e^x

Diese Ergebnisse in die Formel für die Kettenregel eingesetzt, liefert dir schließlich

f'(x) = g'(h(x)) • h'(x) = $\textcolor{red}{e}^{\textcolor{blue}{3x^2+2}}$ • 6x

E Funktion ableiten Aufgaben

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(02:50)

Neben der Kettenregel kann es auch sein, dass du zum Bestimmen der Ableitung einer e Funktion noch weitere Ableitungsregeln benötigst. Im Folgenden stellen wir dir ein paar solcher Beispiele beziehungsweise Aufgabentypen vor, in denen du die e Funktion ableiten musst:

Ableitungsregel	Funktion	Ableitung
Summenregel	f(x) = g(x)+h(x) f(x) = e^3x + e^x	f'(x) = g'(x)+h'(x) f'(x) = e^3x • 3 + e^x
Differenzregel	f(x) = g(x) – h(x) f(x) = $e^x-e^{x^2}$	f'(x) = g'(x) – h'(x) f'(x) = $e^x-e^{x^2}\cdot 2x$
Produktregel	f(x) = g(x) • h(x) f(x) = e^-x • 3x²	f'(x) = g'(x) • h(x) + g(x) • h'(x) f'(x) = -e^-x • 3x² + e^-x • 6x
Quotientenregel	f(x) = $\frac{g(x)}{h(x)}$ f(x) = $\frac{e^x}{x^2+1}$	f'(x) = $\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$ f'(x) = $\frac{e^x\cdot (x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$
Faktorregel	f(x) = a • g(x) f(x) = 4 • e^x	f'(x) = a • g'(x) f'(x) = 4 • e^x
Potenzregel	f(x) = xⁿ f(x) = $({e^x})^4$	f'(x) = n • x^n-1 f'(x) = 4 • $({e^x})^3$

e Funktion ableiten — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie unterscheide ich beim Ableiten von e-Funktionen schnell innere Funktion und äußere Funktion?

Bei $e^{u(x)}$ ist die äußere Funktion immer , die innere Funktion ist der ganze Exponent . Das liegt daran, dass zuerst der Exponent gebildet wird und danach die e-Funktion darauf angewendet wird. Beispiel: Bei $e^{3x^2+2}$ ist innen .
Welche Fehler passieren am häufigsten, wenn ich e mit Kettenregel ableite?

Am häufigsten fehlt beim Ableiten von $e^{u(x)}$ der Faktor aus der Kettenregel. Außerdem wird oft nur ein Teil des Exponenten abgeleitet oder Vorzeichen werden übersehen. Beispiel: Aus $e^{-x^2}$ wird fälschlich $-2x\cdot e^{x^2}$ statt $-2x\cdot e^{-x^2}$ .
Wie leite ich e hoch einer Funktion ab, wenn im Exponenten ein Bruch oder eine Wurzel steht?

Du leitest $e^{u(x)}$ immer als $e^{u(x)}\cdot u'(x)$ ab, auch bei Brüchen oder Wurzeln im Exponenten. Entscheidend ist, dass du den Exponenten als innere Funktion komplett ableitest. Beispiel: $\left(e^{\sqrt{x}}\right)'=e^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
Wie leite ich Funktionen wie e hoch e hoch x ab, ohne die Kettenregel zu vergessen?

Bei $e^{e^x}$ wendest du die Kettenregel zweimal an, weil eine e-Funktion im Exponenten steckt. Zuerst bleibt die äußere Form $e^{e^x}$ stehen, dann multiplizierst du mit der Ableitung des Exponenten . Ergebnis: $\left(e^{e^x}\right)'=e^{e^x}\cdot e^x$ .

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls auswendig wissen und anwenden können:

	Funktion	Ableitung
Wurzel ableiten	f(x) = $\sqrt{x}$	f'(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ableitung Cosinus	f(x) = cos(x)	f'(x) = – sin(x)
Ableitung Sinus	f(x) = sin(x)	f'(x) = cos(x)
Ableitung Tangens	f(x) = tan(x)	f'(x) = $\frac{1}{\cos^2(x)}$
ln ableiten	f(x) = ln(x)	f'(x) = $\frac{1}{x}$