Was mache ich, wenn die Ableitung an der Stelle null ist?

Wenn ist, ist die Tangente waagrecht und die Normale ist eine senkrechte Gerade. Dann kannst du keine Steigung berechnen, weil du durch 0 teilen würdest. Die Normale lautet stattdessen , zum Beispiel bei : .

Wie erkenne ich, ob meine Normale wirklich senkrecht zur Tangente ist?

Du erkennst die Senkrechtlage daran, dass die Steigungen das Produkt haben. Das gilt genau dann, wenn beide Geraden nicht senkrecht bzw. waagrecht sind. Beispiel: Hat die Tangente , dann muss die Normale haben.

Welche Fehler passieren oft beim Umformen der Normalengleichung?

Häufige Fehler sind ein falsches Vorzeichen bei und ein falsch ausmultipliziertes . Außerdem wird oft vergessen oder mit verwechselt. Beispiel: Aus wird falsch statt .

Wie berechne ich die Normale, wenn ich nur einen Punkt und die Tangente habe?

Wenn Punkt und Tangente gegeben sind, nimm die Tangentensteigung und setze . Danach nutzt du die Punkt-Steigungsform durch den Punkt : . Beispiel: Tangente , Punkt ergibt .

Wann gibt es an einem Punkt mehrere Normalen zur gleichen Kurve?

Mehrere Normalen an einem Punkt gibt es, wenn die Kurve dort keine eindeutige Tangente hat. Das passiert zum Beispiel bei Ecken oder Spitzen, wo die Steigung von links und rechts verschieden ist. Dann gibt es auch keine eindeutige Senkrechte dazu, sondern mehrere mögliche Normalenrichtungen.

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Normale

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist eine Normale?

(00:12)

Normale berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung

(00:24)

Beispiel 2: Polynomfunktionen

(01:05)

In diesem Beitrag erklären wir dir, was eine Normale ist und wie du sie berechnest.

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Inhaltsübersicht

Normale einfach erklärt

Stell dir vor, du hast an einem Punkt einer Funktion eine Tangente und drehst sie jetzt an diesem Punkt um 90°. Die Gerade die dadurch entsteht, wird als Normale bezeichnet und steht senkrecht zur Tangente. Das heißt, dass zwischen den beiden Geraden ein rechter Winkel besteht.

Normale, Normalengleichung — Normale einer Funktion

Was ist eine Normale?

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(00:12)

Die Normale ist eine lineare Funktion , die senkrecht zur Tangente steht, das heißt, dass der Winkel, den die beiden Funktionen einspannen, 90° beträgt.

Da du die Normale erhältst, indem du die Tangente am Berührpunkt $(x_0 \vert y_0)$ um 90° drehst, entspricht die Steigung der Normale

$m = -\frac{1}{f'(x_0)}.$

Zur Bestimmung der Normalengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung:

Allgemeine Normalengleichung

$y_N (x) = -\frac{1}{f^{\prime}(x_0)} \cdot (x - x_0) + y_0$ ,

wobei $(x_0 \vert y_0)$ die Koordinaten der Betrachtungsstelle sind.

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Normale berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung

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(00:24)

Nun folgt eine ausführliche Schritt-für-Schritt Anleitung zur Berechnung einer Normalengleichung.

Hast du eine Funktion f und eine Stelle x_0 gegeben und sollst nun eine Normale an der Stelle x_0 bestimmen, dann gehst du wie folgt vor:

Schritt 1: Berechne die erste Ableitung $f^{\prime}(x)$ .

Schritt 2: Setze x_0 in die erste Ableitung ein, um so die Steigung der Funktion an der Stelle x_0 zu berechnen.

Schritt 3: Falls die y-Koordinate noch nicht bekannt ist, setzt du x_0 in die Funktion f ein.

Schritt 4: Jetzt setzt du die Koordinaten der Betrachtungsstelle $(x_0 \vert y_0)$ und die Steigung $f^{\prime}(x_0)$ in die Normalengleichung ein

$y_N (x) = -\frac{1}{f^{\prime}(x_0)} \cdot (x - x_0) + y_0$

und du erhältst die gesuchte Normale.

Beispiel 1: Lineare Funktionen

Wir wollen für die lineare Funktion

f(x) = 4x +1

die Normale an der Stelle x_0 = 1 bestimmen.

Schritt 1: Zunächst benötigst du die erste Ableitung der Funktion f

$f^{\prime}(x) = 4.$

Schritt 2: Nun willst du die Steigung an der Stelle x_0=1 wissen. Dazu setzt du x_0 = 1 in $f^{\prime}$ ein

$f^{\prime}(1) = 4.$

Schritt 3: Da die y-Koordinate des Betrachtungspunkts noch nicht bekannt ist, setzt du dafür x_0 in die Funktion f ein

$f(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5.$

Schritt 4: Jetzt, da du alles Wichtige hast, kannst du die Werte in die Normalengleichung einsetzen

$y_N(x) = -\frac{1}{4} \cdot (x - 1) + 5$

$= -\frac{1}{4}x + \frac{21}{4}$

Beispiel 2: Polynomfunktionen

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(01:05)

Schauen wir uns jetzt eine Polynomfunktion höheren Grades an. Dazu sei die Funktion

$f(x) = -\frac{5}{8}x^3 +\frac{9}{4}x^2$

gegeben. Wir wollen die Normale an der Stelle x_0 = 2 berechnen.

Schritt 1: Mithilfe der Potenz- und Faktorregel berechnest du die Ableitung

$f^{\prime}(x) = -\frac{15}{8}x^2 + \frac{9}{2}x.$

Schritt 2: Nun benötigst du den Wert der Ableitung an der Stelle x_0 = 2 . Dafür setzt du x_0 einfach in $f^{\prime}(x)$ ein und erhältst somit

$f^{\prime}(2) = -\frac{15}{8} \cdot 2^2 + \frac{9}{2} \cdot 2 = \frac{3}{2}.$

Schritt 3: Jetzt fehlt nur noch die y-Koordinate der Betrachtungsstelle. Diese erhältst du indem du x_0 in die Funktion f einsetzt

$f(2) = -\frac{5}{8} \cdot 2^3 +\frac{9}{4} \cdot 2^2 = 4.$

Schritt 4: Zum Schluss setzt du alle Werte in die Normalengleichung und erhältst somit die Normale

$y_N (x) = -\frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot (x - 2) +4$

$= -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}.$

Normale berechnen Aufgaben

Zum Üben findest du nun im Folgenden zwei Aufgaben mit Lösungen.

Aufgabe 1: Normale einer quadratischen Funktion

Berechne die Normalengleichung an der Stelle x_0 = 0 der quadratischen Funktion

f(x) = x^2-x+2.

Lösung: Aufgabe 1

Um erst einmal die Steigung an der Stelle x_0 zu berechnen, brauchst du die erste Ableitung

$f^{\prime}(x) = 2x -1.$

Nun kannst du x_0 = 0 in $f^{\prime}(x)$ einsetzen und erhältst somit

$f^{\prime}(0) = 2 \cdot 0 -1 = -1.$

Um noch die fehlende Koordinate y_0 zu berechnen, setzt du einfach x_0 in die Funktion f ein

f(0) = 0^2-0+2 = 2.

Somit hast du nun alles, was du für die Normale brauchst. Das heißt, du setzt x_0 , y_0 und $f^{\prime}(x_0)$ in die allgemeine Normalengleichung ein

$y_N(x) = -\frac{1}{-1} \cdot (x - 0) + 2$

= x + 2.

Aufgabe 2: Normale einer Polynomfunktion vom Grad 4

Berechne die Normalengleichung an der Stelle x_0 = -1 der Polynomfunktion

$f(x) = x^4+ \frac{1}{3}x^3-x^2+3.$

Normale — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was mache ich, wenn die Ableitung an der Stelle null ist?

Wenn ist, ist die Tangente waagrecht und die Normale ist eine senkrechte Gerade. Dann kannst du keine Steigung $m=-\frac{1}{f'(x_0)}$ berechnen, weil du durch 0 teilen würdest. Die Normale lautet stattdessen , zum Beispiel bei : .
Wie erkenne ich, ob meine Normale wirklich senkrecht zur Tangente ist?

Du erkennst die Senkrechtlage daran, dass die Steigungen das Produkt $m_T \cdot m_N = -1$ haben. Das gilt genau dann, wenn beide Geraden nicht senkrecht bzw. waagrecht sind. Beispiel: Hat die Tangente , dann muss die Normale $m_N=-\frac{1}{4}$ haben.
Welche Fehler passieren oft beim Umformen der Normalengleichung?

Häufige Fehler sind ein falsches Vorzeichen bei $m_N=-\frac{1}{f'(x_0)}$ und ein falsch ausmultipliziertes . Außerdem wird oft vergessen oder mit verwechselt. Beispiel: Aus $y=-\frac{1}{2}(x-4)+3$ wird falsch $y=-\frac{1}{2}x-2+3$ statt $y=-\frac{1}{2}x+2+3$ .
Wie berechne ich die Normale, wenn ich nur einen Punkt und die Tangente habe?

Wenn Punkt und Tangente gegeben sind, nimm die Tangentensteigung und setze $m_N=-\frac{1}{m_T}$ . Danach nutzt du die Punkt-Steigungsform durch den Punkt : . Beispiel: Tangente , Punkt ergibt $y=-\frac{1}{2}(x-1)+5$ .
Wann gibt es an einem Punkt mehrere Normalen zur gleichen Kurve?

Mehrere Normalen an einem Punkt gibt es, wenn die Kurve dort keine eindeutige Tangente hat. Das passiert zum Beispiel bei Ecken oder Spitzen, wo die Steigung von links und rechts verschieden ist. Dann gibt es auch keine eindeutige Senkrechte dazu, sondern mehrere mögliche Normalenrichtungen.

Lösung: Aufgabe 2

Berechne zuerst die erste Ableitung von f

$f^{\prime}(x) = 4x^3+x^2-2x,$

damit du die Steigung an der Stelle x_0 bekommst, indem du x_0 = -1 in $f^{\prime}$ einsetzt

$f^{\prime}(-1) = 4 \cdot (-1)^3+ (-1)^2-2 \cdot (-1) = -1.$

Setze jetzt einfach x_0 in die Funktion f ein, um die noch fehlende y-Koordinate zu erhalten

$f(-1) = (-1)^4+ \frac{1}{3} \cdot (-1)^3- (-1)^2+3 = \frac{8}{3}.$

Somit hast du nun alles, was du zur Berechnung der Normalengleichung brauchst. Mit x_0=-1 , $y_0=\frac{8}{3}$ und $f^{\prime}(x_0)=-1$ erhältst du die Normale