Wie erkenne ich, ob ich Substitution statt Potenzregel brauche?

Du brauchst Substitution, wenn im Integranden eine innere Funktion mit ihrer Ableitung „mitläuft“. Dann setzt du und ersetzt durch , sodass ein einfacheres Integral entsteht. Beispiel: passt zur Substitution .

Wie entscheide ich, ob partielle Integration bei einem Produkt passt?

Partielle Integration passt, wenn der Integrand ein Produkt ist und eine Funktion beim Ableiten einfacher wird. Dann wählst du als den Teil, der beim Ableiten „schrumpft“, und als den Teil, der sich gut integrieren lässt. Beispiel: ist typisch, weil zu 1 wird.

Welche Fehler passieren oft beim Aufleiten mit der Potenzregel?

Häufige Fehler bei der Potenzregel sind: Exponenten nicht um 1 erhöhen, durch den falschen neuen Exponenten teilen oder vergessen. Außerdem ist ein Sonderfall, weil gilt. Beispiel: Aus wird , nicht .

Wann darf ich die Integrationskonstante C weglassen?

Die Integrationskonstante darfst du weglassen, wenn du ein bestimmtes Integral mit Grenzen berechnest. Dann hebt sich beim Einsetzen in automatisch weg, weil es in beiden Werten gleich ist. Beispiel: Bei reicht .

Wie prüfe ich schnell, ob meine Stammfunktion richtig ist?

Eine Stammfunktion ist richtig, wenn ihre Ableitung wieder genau den ursprünglichen Integranden ergibt. Leite dazu dein Ergebnis ab und vergleiche mit , inklusive Vorzeichen und Faktoren. Beispiel: Wenn , dann ist und passt zu .

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Aufleiten

Wichtige Inhalte in diesem Video

Aufleiten einfach erklärt

Du möchtest wissen, wie das Aufleiten funktioniert? Hier und im Video erklären wir dir einfach und verständlich, wie du Schritt für Schritt eine Funktion aufleitest.

Inhaltsübersicht

Aufleiten einfach erklärt

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(00:14)

Beim Aufleiten berechnest du die Stammfunktion bzw. das Integral F(x) deiner Funktion. Deshalb sagst du zum Aufleiten eigentlich „integrieren“. Mithilfe der Aufleitung kannst du dann den Flächeninhalt unter deinem Funktionsgraphen bestimmen.

aufleiten, aufleitung, aufleiten formel, funktionen aufleiten, aufleiten mathe, x aufleiten, kettenregel aufleiten, aufleiten regeln, aufleitungsregeln, produktregel aufleiten — Aufleiten liefert dir die Fläche F(x) unter deinem Graphen f(x)

Das Aufleiten ist das genaue Gegenteil vom Ableiten. Denn mit der Aufleitung machst du die Rechnung der Ableitung rückgängig. So ist deine Stammfunktion F(x) abgeleitet die Funktion f(x). Wenn du f(x) hingegen aufleitest, erhältst du wieder F(x).

$F(x) = \int_0^x f(x)\mathop{\mathrm{d}x} \quad\Longleftrightarrow\quad F'(x) = f(x)$

Um aufzuleiten brauchst du dich nur an die Integrationsregeln zu halten. Die zeigen wir dir jetzt!

Konstanten aufleiten

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(00:57)

Die einfachste Art der Aufleitung ist die Aufleitung von Konstanten. Um solche Konstanten aufzuleiten, multiplizierst du sie mit x und addierst dann ein C. C ist dabei die sogenannte Integrationskonstante und steht für eine beliebige Zahl.

f(x) = 3 → F(x) = 3x + C
f(x) = 5 → F(x) = 5x + C

Du brauchst das C, weil es für eine Aufleitung f(x) unendlich viele Stammfunktionen F(x) gibt. Sieh dir dafür folgendes Beispiel an.

F₁(x) = 3x + 4 → f(x) = 3
F₂(x) = 3x + 7 → f(x) = 3

Für f(x) = 3 kann die Stammfunktion sowohl F₁(x) als auch F₂(x) sein. Theoretisch könntest du also eine beliebige Zahl an deine Stammfunktion anhängen. Weil es damit aber unendlich viele richtige Lösungen geben würde, hängst du einfach die Konstante C an.

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Integrationsregeln

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(02:01)

Als Nächstes sehen wir uns die wichtigsten Integrationsregeln an. Das sind die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel.

Potenzregel

Die erste wichtige Regel ist die Potenzregel. Mit ihr leitest du Potenzfunktionen ab:

$\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1}$ ⋅ xⁿ⁺¹+ C

Das schauen wir uns genauer an dem Beispiel f(x) = x² an. Deine Hochzahl ist hier n = 2. Mehr brauchst du nicht, um alles in die Potenzregeln einzusetzen.

f(x) = x²
F(x) = $\int x^2 \,dx = \frac{1}{2+1}$ ⋅ x²⁺¹ + C = $\frac{1}{3}$ x³ + C

Faktorregel

Dann gibt es noch die Faktorregel. Hier ziehst du den Koeffizienten einer Funktion beim Aufleiten vor das Integral. Sieh dir dafür das Beispiel f(x) = 3x² an.

f(x) = 3x²
F(x) = $\int 3x^2 \,dx$ = 3 ⋅ $\int x^2 \,dx$ = 3 ⋅ $\frac{1}{2+1}$ ⋅ x²⁺¹ + C
F(x) = 3 ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ x³ + C = x³ + C

Tipp: Die Faktorregel verwendest du oft in Kombination mit der Potenzregel. Deswegen verwendest du auch die gleiche Formel, nur dass du den Koeffizienten erst vor das Integral ziehst.

Summenregel

Die Summenregel vom Ableiten gibt es auch beim Aufleiten. Wenn du mehrere Summanden hast, darfst du sie einzeln integrieren. Schaue dir am besten ein paar Beispiele dazu an:

f(x) = 3x + 8x⁴
F(x) = $\int$ 3x + 8x⁴
F(x) = $\int$ 3x + $\int$ 8x⁴
→ F(x) = $\textcolor{red}{\frac{3}{2}}$ x² + $\textcolor{blue}{\frac{8}{5}}$ x⁵ + C

f(x) = 6x³ + 5x² + x
F(x) = $\int$ 6x³ + 5x² + x
F(x) = $\int$ 6x³ + $\int$ 5x² + $\int$ x
→ F(x) = $\textcolor{red}{\frac{6}{4}}$ x⁴ + $\textcolor{blue}{\frac{5}{3}}$ x³ + $\textcolor{olive}{\frac{1}{2}}$ x² + C

Partielle Integration und Substitution

Beim Aufleiten gibt es für komplexere Funktionen, auch noch komplexere Integrationsregeln.

Bei Funktionen, die aus Produkten von mehreren Teilfunktionen bestehen, verwendest du die partielle Integration. Wie du solche Funktionen aufleitest, zeigen wir dir hier.
Bei gebrochen-rationalen oder anderen verketteten Funktionen wendest du die Integration durch Substitution an. Hier erklären wir dir genauer, wie das geht.

Aufleiten — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob ich Substitution statt Potenzregel brauche?

Du brauchst Substitution, wenn im Integranden eine innere Funktion mit ihrer Ableitung „mitläuft“. Dann setzt du und ersetzt $g'(x)\,dx$ durch , sodass ein einfacheres Integral entsteht. Beispiel: $\int 2x\,(x^2+1)^5\,dx$ passt zur Substitution .
Wie entscheide ich, ob partielle Integration bei einem Produkt passt?

Partielle Integration passt, wenn der Integrand ein Produkt ist und eine Funktion beim Ableiten einfacher wird. Dann wählst du als den Teil, der beim Ableiten „schrumpft“, und als den Teil, der sich gut integrieren lässt. Beispiel: $\int x\,e^x\,dx$ ist typisch, weil zu 1 wird.
Welche Fehler passieren oft beim Aufleiten mit der Potenzregel?

Häufige Fehler bei der Potenzregel sind: Exponenten nicht um 1 erhöhen, durch den falschen neuen Exponenten teilen oder vergessen. Außerdem ist ein Sonderfall, weil $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$ gilt. Beispiel: Aus $\int x^2\,dx$ wird $\frac{1}{3}x^3+C$ , nicht $\frac{1}{2}x^3$ .
Wann darf ich die Integrationskonstante C weglassen?

Die Integrationskonstante darfst du weglassen, wenn du ein bestimmtes Integral mit Grenzen berechnest. Dann hebt sich beim Einsetzen in automatisch weg, weil es in beiden Werten gleich ist. Beispiel: Bei $\int_0^2 x\,dx$ reicht $F(x)=\frac{1}{2}x^2$ .
Wie prüfe ich schnell, ob meine Stammfunktion richtig ist?

Eine Stammfunktion ist richtig, wenn ihre Ableitung wieder genau den ursprünglichen Integranden ergibt. Leite dazu dein Ergebnis ab und vergleiche mit , inklusive Vorzeichen und Faktoren. Beispiel: Wenn $F(x)=\frac{1}{3}x^3+C$ , dann ist und passt zu .